最新中考数学专题训练类比拓展探究题.docx
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最新中考数学专题训练类比拓展探究题
最新中考数学专题训练---类比、拓展探究题
1.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF.
（1）发现
线段BE与AF的位置关系是______，＝______；
（2）探究
如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，连接AF，BE，
（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）延伸
如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，若AD＝6－2，直接写出旋转角α的度数．
第1题图
1.解：
（1）BE⊥AF，；
【解法提示】∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∴线段BE与AF的位置关系是BE⊥AF；
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝＝2，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴＝＝.
（2）
（1）中结论仍然成立．
理由如下：
如解图①，延长BE交AC于点O，交AF于点M，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴EC＝BC，FC＝AC，∴＝＝，
第1题解图①
∵∠BCE＝∠ACF＝α，∴△BEC∽△AFC，
∴＝＝＝，∠1＝∠2，
∵∠BOC＝∠AOM，∴∠AMO＝∠BCO＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）135°.
【解法提示】如解图②，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，
第1题解图②
∴AB＝4，∠B＝60°，∴DB＝4－（6－2）＝2－2，
∴BH＝DB·cos60°＝－1，DH＝DB·sin60°＝3－，
又∵CH＝2－（－1）＝3－，∴CH＝DH，
∴∠HCD＝45°，∴∠DCA＝45°，∴α＝180°－45°＝135°.
2.如图所示，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠AED＝90°.
探究发现
（1）如图①，点E在AB上，点D与点C重合，点F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为．
问题应用
（2）如图②，在图①的基础上，将△ADE绕A点旋转到如图②所示的位置，其中点D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？
证明你的结论．
拓展延伸
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，连接BD，点F为线段BD的中点，且EF＝6，请直接写出FC的长．
第2题图
2.解：
（1）EF＝FC；90°；
（2）EF＝FC，EF⊥FC，证明如下：
如解图①，延长CF到点M，使CF＝FM，连接DM、ME、EC，
第2题解图①
∵F为BD的中点，∴DF＝FB，
在△BFC和△DFM中，，
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，∴MD＝AC，MD∥BC，
∴∠MDC＝∠BCA＝90°，∴∠MDE＝∠CAE＝135°，
在△MDE和△CAE中，，
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME＝CE，∠MED＝∠CEA，
∴∠MEB＋∠CEA＝∠MED＋∠MEB＝90°，
∴∠MEC＝90°，
又∵F为CM的中点，∴EF＝FC，EF⊥FC；
（3）FC＝6.
【解法提示】如解图②，延长CF到点M，使CF＝FM，连接ME、EC，连接DM交AE于点G，交AC于点H，
∵F为BD的中点，∴DF＝FB.
第2题解图②
在△BFC和△DFM中，，
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM＝BC，∠MDB＝∠CBF，
∴MD＝AC，HD∥BC，
∴∠AHG＝∠BCA＝∠DEG＝90°，
又∵∠AGH＝∠DGE，∴∠MDE＝∠CAE，
在△MDE和△CAE中，，
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME＝CE，∠MED＝∠CEA，
∴∠CEA－∠AEM＝∠MED－∠AEM＝∠AED＝90°，
∴∠MEC＝90°，
又∵F为CM的中点，∴EF＝FC，EF⊥FC.∴FC＝6.
3.已知△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）观察猜想
当△ADE绕点A旋转时，如图①.
填空：
①线段GF、FH之间的数量关系为；
②∠GFH＝；
（2）问题解决
在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；
（3）拓展延伸
在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），请直接写出△FGH周长的最大值和最小值．
第3题图
3.解：
（1）①60°；②GF＝FH；【解法提示】如解图①所示，连接BD、CE，并延长BD交CE于M，设BM交FH于点O，
第3题解图①
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.
∵EG＝GB，EF＝FD，∴FG＝BD，GF∥BD.
∵DF＝EF，DH＝HC，∴FH＝EC，FH∥EC，
∵BD＝CE，∴FG＝FH.
∵∠ADB＋∠ADM＝180°，∴∠AEC＋∠ADM＝180°，
∴∠DME＋∠DAE＝180°，∴∠DME＝120°，
∴∠BMC＝60°，∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°；
（2）如解图②所示，连接AF、EC，
第3题解图②
∵DF＝EF，AD＝AE，∴AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，
∴AF＝＝，
在Rt△ABF中，BF＝＝，
由
（1）知BD＝CE＝BF－DF＝－1，
∴FH＝EC＝；
（3）△FGH的周长的最大值为（a＋b），最小值为（a－b）．
【解法提示】由
（1）可知，△GFH是等边三角形，GF＝BD，∴△GFH的周长＝3GF＝BD，∵AB＝a，AD＝b，∴BD的长的最大值为a＋b，最小值为a－b，∴△FGH的周长的最大值为（a＋b），最小值为（a－b）．
4.如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点．
（1）观察猜想
连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是________，数量关系是________；
（2）探究证明
如图②，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
在点E的运动过程中，当△PCF是等边三角形时，直接写出△ACB与△EDB的两直角边之比．
第4题图
4.解：
（1）PC⊥PD，PC＝PD；
【解法提示】如解图①，过点E作EF⊥BC于F，过点P作PH⊥BC于H，连接PF，易得四边形EFBD是正方形，
∴EF＝ED，∠DEB＝∠FEB＝45°，
∴∠PEF＝∠PED，在△PEF和△PED中，，∴△PEF≌△PED（SAS），
第4题解图①
∴PF＝PD，∠EPF＝∠EPD，
∵AC∥PH∥EF，点P为AE的中点，
∴点H是FC的中点，∴CH＝HF，
又PH⊥BC，∴PC＝PF，
故△PCF是等腰三角形，∴∠CPH＝∠FPH，
∴PC＝PD；
∵∠HPB＝∠HPF＋∠EPF＝45°，
∴∠CPD＝∠CPH＋∠HPF＋∠EPF＋∠EPD＝2（∠HPF＋∠EPF）＝90°，∴PC⊥PD.
第4题解图②
（2）△PCF为等腰三角形，
理由如下：
如解图②，过点P作PH⊥BC于点H，
则AC∥PH∥EF，∵P为AE的中点，
∴点H是FC的中点，∴CH＝HF，
又PH⊥BC，∴PC＝PF，∴△PCF为等腰三角形；
（3）＋2.
【解法提示】如解图③，过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC于点H，由
（1）知，四边形BDEF为正方形，设EF＝BF＝BD＝x，HF＝y，
第4题解图③
∵△PCF是等边三角形，∴PH＝y，
∵PH∥EF，∴△BEF∽△BPH，
∴＝，即＝，
解得y＝x，
∴BC＝x＋2y＝（＋2）x，
∴＝＝＋2.
∴△ACB与△EDB的两直角边之比为＋2.
5.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；
（3）如图③，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
图①图②图③
第5题图
5.解：
（1）如解图①，延长EB交DG于点H，
第5题解图①
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，
∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD＝∠AEB.
在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，
∴∠AEB＋∠ADG＝90°.
∴∠DHE＝180°－∠AEB－∠ADG＝90°，即DG⊥BE；
（2）如解图②,∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，
∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，
∴∠DAG＝∠BAE.
∵AD＝AB，∠DAG＝∠BAE，AG＝AE.
∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG＝BE.
过点A作AM⊥DG于点M，
第5题解图②
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵BD是正方形ABCD的一条对角线，∴∠MDA＝45°.
在Rt△AMD中，
∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴DM＝，AM＝，
在Rt△AMG中，∵AM2＋GM2＝AG2，
∴GM＝
＝
，∴GM＝.
∵DG＝DM＋GM＝＋，
∴BE＝DG＝＋；
（3）△GHE与△BHD面积之和的最大值为6.
理由：
对于△EGH，由于线段GE是固定的，且BE⊥DG，故可得点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，△EGH中GE边上的高最大为外接圆半径即GE.同理对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，△BDH中BD边上的高最大为外接圆半径，即BD，∴△GHE与△BHD面积之和的最大值是S正方形ABCD＋S正方形AEFG＝×22＋×
（2）2＝2＋4＝6.
6.已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与线段CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.
（1）如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图②，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与点B、C重合），求证：
BE＝CF；
（3）如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，直接写出点F到BC的距离．
第6题图
6.
（1）解：
AE＝EF＝AF；
【解法提示】如解图①，连接AC，
第6题解图①
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝∠ACF＝60°，∴AB＝BC＝AC，
即△ABC为等边三角形，
又∵∠BAC＝∠1＋∠2＝60°，∠EAF＝∠2＋∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，在△ABE和△ACF中，
，∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝AF；
（2）证明：
如解图②，连接AC，由
（1）知，AB＝AC，∠ACF＝60°，
第6题解图②
∵∠BAC＝∠4＋∠5＝60°，∠EAF＝∠5＋∠6＝60°，
∴∠4＝∠6，在△ABE和△ACF中，
，∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF；
（3）解：
点F到BC的距离为3－.
【解法提示】由
（2）知，BE＝CF，如解图③，过点A作AG⊥CE于点G，过点F作FH⊥CE于点H，
第6题解图③
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝90°－∠ABC＝30°，
∴∠EAG＝15°＋30°＝45°，
∴△AEG为等腰直角三角形，
又∵AB＝4，∴AG＝AB·cos∠BAG＝4×＝2，
∴BG＝＝＝2，
∵EG＝AG＝2，∴BE＝EG－BG＝2－2，
∴CF＝2－2，
∵FH⊥CE，∴∠FCH＝180°－∠BCD＝60°，
∴FH＝CF·sin∠FCH＝（2－2）×＝3－，
∴点F到BC的距离为3－.
7.已知在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：
＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：
当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？
并证明你的结论；
（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，求的值．
第7题图
7.
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A＝∠FDC＝90°，
∴∠ADE＋∠GDC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠DCG＋∠GDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，∴△AED∽△DFC，
∴＝；
（2）解：
当∠B＋∠EGC＝180°时，＝成立，
证明：
如解图①，在AD上取点M，且M点不与F点重合，使CM＝CD，
第7题解图①
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD∥BC，
∴CM＝AB，∴四边形ABCM是等腰梯形，
∴∠AMC＝∠A，
∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠BCG＋∠BEG＝180°，
又∵∠AED＋∠BEG＝180°，∴∠AED＝∠BCG，
∵AD∥BC，∴∠MFC＝∠BCG，∴∠MFC＝∠AED，
∴△AED∽△MFC，∴＝，即＝；
（3）解：
如解图②，过点C作CH⊥AD于点H，连接AC，BD交于点O，
第7题解图②
∵∠BAD＝90°，DE⊥CF，
∴∠AED＋∠AFG＝360°－180°＝180°，
又∵∠CFH＋∠AFG＝180°，∴∠AED＝∠CFH，
又∵∠DAE＝∠CHF＝90°，
∴△AED∽△HFC，∴＝，
由题意可知△ABD≌△CBD，故可知AC⊥BD，
在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，
∵sin∠ADB＝＝，
∴AO＝＝＝，
∴AC＝2AO＝，DO＝＝，
根据等面积法：
S△ACD＝OD·AC＝HC·AD，
∴HC＝＝＝，
∴＝＝＝.
8.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG.
（1）问题猜想：
如图①，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系；
（2）类比探究：
如图②，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想
（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：
若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF＝120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
第8题图
8.
（1）解：
由平移得EF＝CD＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵FG⊥BD，∴∠DGF＝90°，
∴∠GFD＋∠CDB＝90°，∴∠DFG＝45°，
∴GD＝GF，
在△AGD和△EGF中，
，
∴△AGD≌△EGF（SAS），
∴AG＝EG，∠AGD＝∠EGF，
∴∠AGE＝∠AGD＋∠DGE＝∠EGF＋∠DGE＝90°，
∴AG⊥EG；
（2）证明：
由平移得EF＝CD＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵FG⊥BD，∴∠DGF＝90°，
∴∠GFD＋∠CDB＝90°，
∴∠DFG＝45°，∴GD＝GF，
在△AGD和△EGF中，
，
∴△AGD≌△EGF（SAS），
∴AG＝EG，∠AGD＝∠EGF，
∴∠AGE＝∠AGD－∠DGE＝∠EGF－∠DGE＝90°，
∴AG⊥EG；
（3）解：
画出图形如解图，DE＝2.
第8题解图
【解法提示】同
（1）可得，AG＝EG，AG⊥EG，
∴∠GEA＝45°，
∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，
又∵∠GFD＝45°，
∴由外角性质得∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，
∴∠AED＝∠CEG－∠GEA＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝2，∴DE＝2.
9.
（1）【感知】
如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD＝BE，连接AE、CD交于点M.
填空：
①线段AE、CD之间的数量关系是________；
②∠EMC＝________；
（2）【探究】
如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD＝BE，延长EA交CD于点M，请判断线段AE、CD之间的数量关系及求∠EMC的度数，并说明理由；
（3）【拓展】
如图③，在△ABC中，AB＝AC，F是AC上一点，且∠1＝∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD＝BE，若AF＝CF＝2BE，S△ABF＝6，直接写出S△BCD的值．
第9题图
9.解：
（1）①AE＝CD；②60°；
【解法提示】①在等边△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵AD＝BE，
∴△ADC≌△BEA（SAS），
∴AE＝CD；
②∵△ADC≌△BEA，
∴∠ADC＝∠BEA，
∵在△ABE中，∠BAE＋∠ABE＋∠BEA＝180°，
在△AMD中，∠DMA＋∠ADM＋∠BAE＝180°，
∴∠DMA＝∠ABE＝60°，
∴∠EMC＝∠DMA＝60°.
（2）AE＝CD，∠EMC＝60°，
理由如下：
在等边△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝∠DAC＝120°，
∵AD＝BE，∴△ADC≌△BEA（SAS），
∴CD＝AE，∠ADC＝∠BEA，
∵∠EAB＝∠DAM，∠ABC＝∠BEA＋∠EAB＝60°，
∴∠EMC＝∠ADC＋∠DAM＝60°；
（3）13.
【解法提示】∵∠1＝∠2，
∴AF＝BF，∠DAC＝∠EBA，
∵AD＝BE，AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（SAS），∴S△ADC＝S△BEA，
∵AF＝2BE，AF＝BF，∴BF＝2BE，
∴S△ABE＝S△ABF＝3，∴S△ADC＝3，
∵AF＝CF，∴S△BFC＝S△ABF＝4，
∴S△BCD＝S△BCF＋S△ABF＋S△ADC＝13.
10.在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不与点B重合），E在线段BO上，且∠BPE＝∠BCA，过点B作BG⊥PE交PE的延长线于点F，交AC于点G.
（1）发现
当点P与点C重合时（如图①），填空：
PE、BG的数量关系为________，＝________；
（2）探究
当点P不与点C重合时（如图②），求的值；
（3）应用
把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB＝30°，直接写出的值．
第10题图
10.解：
（1）PE＝BG，；
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，点P与点C重合，
∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°.
∵PF⊥BG，∴∠PFB＝90°，
∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO，
∴∠GBO＝∠EPO，∴△BOG≌△POE（ASA），
∴BG＝PE.
∵∠BPE＝∠BCA，∴∠BPE＝∠GPF，
∵PF⊥BG，∴BF＝BG，
∴BF＝PE，∴＝.
（2）如解图①，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB.
第10题解图①
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NBP＝∠NPB＝45°，∴NB＝NP.
∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，
∴∠MBN＝∠NPE，∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM＝PE.
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠MPF.
∵PF⊥BM，∴BF＝MF，
即BF＝BM.∴BF＝PE，即＝；
（3）.
【解法提示】如解图②，过点P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN＝∠ACB＝30°，∠PNE＝∠BOC＝90°，
由
（2）同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN，
第10题解图②
∵∠BNM＝∠PNE＝90°，
∴△BMN∽△PEN，∴＝，
在Rt△BNP中，tan30°＝＝，
∴＝，即＝，∴＝.
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