浙江省中考《第19讲特殊三角形1等腰三角形》复习讲解.docx
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浙江省中考《第19讲特殊三角形1等腰三角形》复习讲解
第19讲 特殊三角形
第1课时 等腰三角形
1．等腰三角形
考试内容
考试
要求
概念
有两条边 的三角形是等腰三角形．
a
性质
1.等腰三角形是轴对称图形，一般有 条对称轴．
2．性质1：
等腰三角形的两底角 （简写成“等边对 ”）．
3．性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合（简写成“三线合一”）．
c
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形；
2．有两角相等（简写成“等角对 ”）的三角形是等腰三角形．
2.等边三角形
考试内容
考试
要求
概念
有 条边相等的三角形叫做等边三角形．
a
性质
1.具有一般等腰三角形的所有性质；
2．等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于 ；
3．等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴．
c
判定
1.三条边相等的三角形是等边三角形；
2．三个角都 的三角形是等边三角形；
3．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
拓展
S等边△ABC＝
ah＝
a2，h＝
a，其中a为边长，h为高．
考试内容
考试
要求
基本
方法
求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：
（1）当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；
（2）当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部．
c
1．（2019·台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE
2．（2019·丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．
3．（2019·义乌）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____________________cm.
【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．
（1）你能从图中得到哪些信息？
（2）求∠CAE的度数；
（3）求证：
△ADE是等边三角形．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．
类型一 等腰三角形的性质与判定
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．
（1）若顶角40°，则一个底角的度数为________；
（2）若一个内角50°，则顶角的度数为________；
（3）若一个外角为100°，则顶角的度数为________；
（4）若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．
（5）若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．
（6）若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.
【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：
顶角还是底角、内角还是外角；对于（4）（5）没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
1．
（1）（2019·泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．88°D．92°
（2）（2019·绍兴模拟）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
（3）（2019·滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
（4）（2019·温州模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝
cm.
类型二 等边三角形的性质与判定
（1）等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；
（2）如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC的边长为a，则△ADE的周长是________；
（3）如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为________；
（4）如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．
【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．
2．
（1）（2019·本溪模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 .
（2）（2019·上海模拟）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：
①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 .（请写出正确结论的序号）．
3．（2019·河北模拟）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
（1）求证：
AD＝CE；
（2）求∠DFC的度数．
类型三 等腰三角形构造的分类讨论
（2019·黄冈模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．
【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q（即分类讨论），以及利用勾股定理求出OP的长．
4．
（1）（2019·西宁模拟）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．
（2）（2019·丹东模拟）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 个．
类型四 等腰三角形的探究问题
（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.
填空：
①∠AEB的度数为________；
②线段AD、BE之间的数量关系是________．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝
.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用
（2）中的结论解决问题是解决第（3）题的关键．它是中考的热点题型．
5．（2019·江西模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 .
类型五 等腰三角形的综合运用
（2019·石家庄模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）．
6．（2019·河南）
（1）发现
如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.
填空：
当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 .（用含a，b的式子表示）
（2）应用
点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
图1图2
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【探索研究题】
（2019·菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.
①求证：
AD＝BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：
AE＝2
CM＋
BN.
【方法与对策】
（1）①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用
（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．
【忽视等腰三角形腰的高线不明确】
（2019·西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 .
参考答案
第19讲 特殊三角形
第1课时 等腰三角形
【考点概要】
1．相等 一 相等 等角 中线 高 等边 2.三 60° 三 相等 60°
【考题体验】
1．C 2.100° 3.18
【知识引擎】
【解析】
（1）从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性．
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°－30°＝90°；（3）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝
EC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．
【例题精析】
例1
（1）70°
（2）80°或50° （3）80°或20° （4）20 （5）40° （6）7
例2
（1）2
；4
；
（2）
a；（3）30°；（4）60°
例3
∵P（2，2），∴OP＝
＝2
，∴当点Q在y轴上时，Q点的坐标分别为（0，2
），（0，－2
），（0，4），（0，2）；当点Q在x轴上时，Q点的坐标分别为（2
，0），（－2
，0），（4，0），（2，0）．所以共有8个．故答案为：
8.
例4
（1）①60° ②AD＝BE；
（2）∠AEB＝90°；AE＝2CM＋BE.理由：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE. （3）
或
.∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心、以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：
如图1，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，CD＝
，∴BD＝2，BP＝
，∴AM＝
PP′＝
（PB－BP′）＝
.第二种情况如图2，可得AM＝
PP′＝
（PB＋BP′）＝
.
例5
（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．
（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形． （3）①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－（∠AOD＋∠ADO）＝180°－（190°－α＋α－60°）＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝
＝120°－
，∴190°－α＝120°－
，解得α＝140°.综上所述：
当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【变式拓展】
1．
（1）D
（2）B （3）D （4）10 2.
（1）45°
（2）①② 3.
（1）略．
（2）60°. 4.
（1）120和150
（2）5 5.25°或40°或10°
6.
（1）CB的延长线上 a＋b
（2）①DC＝BE，理由如下：
∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4.（3）AM长的最大值是3＋2
，点P的坐标为（2－
，
）．
【热点题型】
【分析与解】
（1）①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE. ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝
×（180°－120°）＝30°.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×
＝2
CM.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝
＝
BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝BE＋DE＝2
CM＋
BN.
【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.故答案为：
110°或70°.
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