江苏专用版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量81空间几何体的结构及其表面积体积教师用书理.docx

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江苏专用版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量81空间几何体的结构及其表面积体积教师用书理

第八章立体几何与空间向量8.1空间几何体的结构及其表面积、体积教师用书理苏教版

1.多面体的结构特征

2.旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

任一直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

（2）画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面.

（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段.

（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

4.柱、锥、台和球的表面积和体积

　　名称

几何体　　

表面积

体积

柱体

（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体

（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝Sh

台体

（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

5.常用结论

（1）与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

（2）几个与球有关的切、接常用结论

a.正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

（3）斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　×　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（　×　）

（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（　×　）

（4）圆柱的侧面展开图是矩形.（　√　）

（5）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.（　√　）

（6）菱形的直观图仍是菱形.（　×　）

1.（教材改编）下列说法正确的是________.

①相等的角在直观图中仍然相等；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

答案　④

解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.故④正确.

2.（教材改编）已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.

答案　2

解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，

∴r2＝4，∴r＝2（cm）.

3.如图，直观图所表示的平面图形是________.（填序号）

①正三角形②锐角三角形

③钝角三角形④直角三角形

答案　④

解析　由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.故④正确.

4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为________.

答案　a3

解析　取AC的中点O，连结DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.因为DO＝BO＝＝a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.又因为DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱锥D－ABC的高.因为S△ABC＝a2，所以三棱锥D－ABC的体积为×a2×a＝a3.

5.（2016·南京、淮安、盐城二模）表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________.

答案　1∶2

解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr2＋2πrh＝12π，得h＝，所以圆柱的体积V＝πr2h＝π（6r－r3），令V′＝π（6－3r2）＝0，得r＝，且此时体积V最大，故底面半径与高的比＝＝.

题型一　空间几何体的结构特征

例1　给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③存在每个面都是直角三角形的四面体；

④棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是________.

答案　②③④

解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.

思维升华　

（1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

（2）解决本类题目的技巧：

三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.

（1）以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为________.

（2）给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正确的命题为________.

答案　

（1）1　

（2）①②③

解析　

（1）命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.

（2）对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确.

综上，命题①②③不正确.

题型二　空间几何体的直观图

例2　

（1）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________.

（2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是________.

①正方形；

②矩形；

③菱形；

④一般的平行四边形.

答案　

（1）a2　

（2）③

解析　

（1）如图①②所示的实际图形和直观图，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

（2）如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4cm，CD＝C′D′＝2cm.

∴OC＝＝＝6（cm），

∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形.

思维升华　用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出.

　（2016·镇江模拟）如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________.

答案　a2

解析　建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变.

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得＝，

所以OC′＝a＝a，

所以原三角形ABC的高OC＝a，

所以S△ABC＝×a×a＝a2.

题型三　求空间几何体的表面积

例3　

（1）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______.

答案　12

解析　由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.

由题意，得×6××2××h＝2，

∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，

∴S侧＝6××2×2＝12.

（2）（2016·苏州模拟）如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积.

解　如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

连结A′E，A′F，AD.

则由∠A′AE＝∠A′AF，

AA′＝AA′，

又由题意知A′E⊥AB，A′F⊥AC，

得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，

∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，

∴AD平分∠BAC，

又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，

而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，

∴四边形BCC′B′是矩形，

∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°＋ab＝（＋1）ab.

又∵斜三棱柱的底面积为2×a2＝a2，

∴斜三棱柱的表面积为（＋1）ab＋a2.

思维升华　

（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况.

（2）在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.

（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

跟踪训练3　一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是cm.

（1）求三棱台的斜高；

（2）求三棱台的侧面积和表面积.

解　

（1）设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；

过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，

因为O1D1＝×3＝，OD＝×6＝，

则DE＝OD－O1D1＝－＝.

在Rt△D1DE中，

D1D＝＝＝（cm）.

故三棱台的斜高为cm.

（2）设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，

S侧＝（c＋c′）h′＝（3×3＋3×6）×＝（cm2），

S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62

＝（cm2）.

故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2.

题型四　求简单几何体的体积

例4　（2015·江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.

答案　

解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.

思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.

答案　

解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，

∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，

∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.

题型五　与球有关的切、接问题

例5　（2016·扬州模拟）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.

答案　

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.

又AM＝BC＝，

OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.

引申探究

1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.

又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，

从而V外接球＝πR3＝π×

（2）3＝32π，

V内切球＝πr3＝π×23＝.

2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解　正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.

3.已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？

解　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.

　（2016·全国丙卷改编）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.

答案　

解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.

15.巧用补形法解决立体几何问题

典例　（2016·盐城模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________.

思想方法指导　解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等.

解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.

答案　96

1.给出下列命题：

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.

其中正确命题的序号是________.

答案　①

2.（2016·连云港模拟）五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________.

答案　10

解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：

AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）.

3.用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为________.

答案　100π

解析　依题意，设球半径为R，满足R2＝32＋42＝25，

∴S球＝4πR2＝100π.

4.（2016·镇江模拟）若直观图为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为________.

答案　2＋

解析　如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，

∴BE＝.而四边形AECD为矩形，AD＝1，

∴EC＝AD＝1.

∴BC＝BE＋EC＝＋1.

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴原图形的面积为S＝（A′D′＋B′C′）·A′B′＝××2＝2＋.

5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________.

答案　π

解析　由题意，图中弧

为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧

的长为2×＝.弧

为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧

的长为1×＝.故两段弧长之和为.

6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________.

答案　

解析　由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为×1＝.

7.已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________.

答案　7π

解析　（图略）在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中点为F，连结EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连结OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π.

8.如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________.

答案　

解析　VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值.当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S△ABC＝.

9.（2016·徐州、连云港、宿迁联考）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________.

答案　

解析　因为AA1⊥平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝＝，同理可得AC1＝，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高为h＝＝，其面积

＝×2×＝，于是三棱锥A—A1B1C1的体积

进而可得此三棱柱ABC—A1B1C1的体积

10.（2016·盐城一模）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.

答案　

解析　设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，

则V圆锥＝·πa2·a＝πa3.

又R2＝a2＋（a－R）2，所以R＝a，

故V球＝·（a）3＝a3，

则其体积比为.

11.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：

（1）该几何体的体积；

（2）截面ABC的面积.

解　

（1）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于A2，B2.

由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则

＝×2×2×2＋××（1＋2）×2×2＝6.

（2）在△ABC中，

AB＝＝，

BC＝＝，

AC＝＝2.

则S△ABC＝×2×＝.