高考复习数学立体几何与空间向量第八章 83Word格式文档下载.docx

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（5）没有公共点的两条直线是异面直线．（　×

1．下列命题正确的个数为（　　）

①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．

2．（2016·

浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥lB．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．

3．（2017·

合肥质检）已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

解析　m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；

根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；

根据线面平行的性质可知C正确；

若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.

4.（教材改编）如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2

，AD＝2

，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．

答案　45°

　60°

解析　∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝

＝

＝1，∴∠EGF＝45°

，

∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝

，∴∠GBF＝60°

5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

答案　4

解析　EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个.

题型一　平面基本性质的应用

例1　

（1）（2016·

山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

（2）已知空间四边形ABCD（如图所示），E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝

BC，CH＝

DC.求证：

①E、F、G、H四点共面；

②三直线FH、EG、AC共点．

证明　①连接EF、GH，如图所示，

∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF∥BD.

又∵CG＝

DC，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，

∴E、F、G、H四点共面．

②易知FH与直线AC不平行，但共面，

∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.

又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，

∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．

思维升华　共面、共线、共点问题的证明

（1）证明点或线共面问题的两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

（2）证明点共线问题的两种方法：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

（3）证明线共点问题的常用方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

　如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC∥AD且BC＝

AD，BE∥AF且BE＝

AF，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH綊

AD.

又BC綊

AD，∴GH綊BC.

∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）解　∵BE綊

AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

题型二　判断空间两直线的位置关系

例2　

（1）（2015·

广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

（2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

（3）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）

答案　

（1）D　

（2）D　（3）②④

解析　

（1）若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

（2）连接B1C，B1D1，如图所示，

则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

又BD∥B1D1，∴MN∥BD.

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC.

又∵A1B1与B1D1相交，

∴MN与A1B1不平行，故选D.

（3）图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．

思维升华　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；

对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；

对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

（1）已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；

②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；

③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为（　　）

（2）（2016·

南昌一模）已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．

（2）如图

（1），在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；

在图

（2）的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；

如图（3），α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．

题型三　求两条异面直线所成的角

例3　（2016·

重庆模拟）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

答案　

解析　如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，

在△AGP中，AG＝GP＝AP，

所以∠APG＝

引申探究

在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的值．

解　设N为BF的中点，连接EN，MN，

则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．

不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，

则EN＝

，EM＝2

，MN＝

在△MEN中，由余弦定理得

cos∠MEN＝

＝－

即cosθ＝

思维升华　用平移法求异面直线所成的角的三步法

（1）一作：

根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

（2）二证：

证明作出的角是异面直线所成的角；

（3）三求：

解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；

如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

　已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．

设其棱长为2，取AD的中点F，

连接EF，

设EF的中点为O，连接CO，

则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．

△ABC为等边三角形，

则CE⊥AB，

易得CE＝

同理可得CF＝

故CE＝CF.

因为OE＝OF，所以CO⊥EF.

又EO＝

EF＝

BD＝

所以cos∠FEC＝

16．构造模型判断空间线面位置关系

典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.

其中所有正确的命题是________．

思想方法指导　本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．

解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图

（1）所示，故①正确；

对于②，平面α、β可能垂直，如图

（2）所示，故②不正确；

对于③，平面α、β可能垂直，如图（3）所示，故③不正确；

对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．

答案　①④

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的（　　）

解析　若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，

又a⊂α，所以a⊥b；

若a⊥b，a⊂α，b⊥β，

则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，

所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.

福州质检）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线（　　）

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

答案　D

解析　在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．

3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）

A．平行B．相交

C．垂直D．互为异面直线

解析　不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.

4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则（　　）

A．M一定在直线AC上

B．M一定在直线BD上

C．M可能在AC上，也可能在BD上

D．M既不在AC上，也不在BD上

解析　由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，

HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，

所以点M一定在直线AC上，故选A.

5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为

，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（　　）

B.

C.

解析　因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.

在△PAB内，PB＝PA＝

，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝

，故选B.

6．下列命题中，正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线

B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面

C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行

D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条

解析　对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．

对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．

对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.

7．（2016·

南昌高三期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°

，AC＝6，BC＝CC1＝

，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．

答案　5

解析　连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°

，在△A1BC1中，A1B＝

＝2

，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C

＋BC

＝A1B2，即∠A1C1B＝90°

.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝

，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°

，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝

＝5

8.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°

角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案　②③④

解析　把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°

角，DE⊥MN.

9．（2015·

浙江）如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，

N为BC的中点，

由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2

∴MK＝

在Rt△CKN中，CK＝

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝

*10.（2017·

郑州质检）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DE⊥A1C；

④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

答案　③

解析　取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·

FB·

cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；

由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；

A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．

11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：

D1、H、O三点共线．

证明　如图，连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

∵BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，

B1D⊂平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.

即D1、H、O三点共线．

12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°

，BC＝

，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解　如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，

∴EF∥CD.

∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．

在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝

AD＝

∴BE＝

在Rt△EAF中，AF＝

AC＝

，AE＝

∴EF＝

在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝

，∴BF＝

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为

*13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

证明　

（1）如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，

所以EF∥BD.

所以EF，BD确定一个平面．

即D、B、F、E四点共面．

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

设平面A1ACC1确定的平面为α，

又设平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.

又Q∈EF，所以Q∈β.

则Q是α与β的公共点，

同理，P点也是α与β的公共点．

所以α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，

所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.

则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．