高考复习数学立体几何与空间向量第八章 85文档格式.docx

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（4）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.（　×

（5）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（　√　）

1．（教材改编）下列命题中不正确的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

答案　A

解析　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；

反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.

3．（2017·

宝鸡质检）对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是（　　）

A．①②B．②③C．②④D．①④

答案　D

解析　

①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.

4．（2016·

济南模拟）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是（　　）

A．MC⊥AN

B．GB∥平面AMN

C．平面CMN⊥平面AMN

D．平面DCM∥平面ABN

答案　C

显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中（如图），

取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；

由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，

MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；

因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．

5．（教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案　

（1）外　

（2）垂

解析　

（1）如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

（2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

又AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，

又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．

同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，

即O为△ABC的垂心．

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1　（2016·

全国甲卷改编）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝

.

证明：

D′H⊥平面ABCD.

证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得

＝

，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.

由EF∥AC得

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键

（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；

②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

　（2015·

江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

证明　

（1）方法一　

取PA的中点H，连接EH，DH.

又E为PB的中点，

所以EH綊

AB.

又CD綊

AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.

所以CE∥平面PAD.

方法二　

连接CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝

又CD＝

AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.

又因为AB⊥PA，

所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.

又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.

所以AB⊥平面EFG.

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1．在本例条件下，证明：

平面EMN⊥平面PAC.

证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，

且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面PAC.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EMN⊥平面PAC.

2．在本例条件下，证明：

平面EFG∥平面PAC.

证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC，

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理，FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

思维升华　

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

　（2016·

江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明　

（1）由已知，DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1，

∵B1D⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D，

又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F，

又∵B1D⊂平面B1DE，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

题型三　垂直关系中的探索性问题

例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；

若不存在，请说明理由．

（1）证明　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.

又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，

∴DF∥a.

（2）解　线段BE上存在点G，且BG＝

BE，使得平面DFG⊥平面CDE.

证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，

连接GD，GF，

∵CF＝EF，∴GF⊥CE.

在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.

由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.

又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.

⇒GF⊥平面CDE.

又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.

此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，

∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，

由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，

∴HB＝BC＝

EF.

由△HGB∽△FGE可知

，即BG＝

BE.

思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

北京东城区模拟）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝

B1C∥平面A1BM；

AC1⊥平面A1BM；

（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？

如果存在，求此时

的值；

如果不存在，请说明理由．

（1）证明　连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

（2）证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，

∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，

∴BM⊥AC1.

∵AC＝2，∴AM＝1.

又∵AA1＝

，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝

∴∠AC1C＝∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°

，

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.

（3）解　当点N为BB1中点，即

时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

设AC1中点为D，连接DM，DN.

∵D，M分别为AC1，AC中点，

∴DM∥CC1，且DM＝

CC1.

又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.

又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.

17．立体几何证明问题中的转化思想

典例　（12分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

（1）AN∥平面A1MK；

（2）平面A1B1C⊥平面A1MK.

思想方法指导　

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；

证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

规范解答

证明　

（1）如图所示，连接NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，

∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]

∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.[6分]

（2）如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K，

∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]

∴MK⊥B1C.

∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]

1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则（　　）

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

解析　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；

对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；

对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；

易知D正确．

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；

B中，m与n可平行、可异面；

C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；

故选D.

3．（2016·

包头模拟）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

解析　A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；

B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；

C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；

D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.

4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是（　　）

A．①②④B．①②③

C．②③④D．①③④

答案　B

解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；

AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；

易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；

由①知④错．故选B.

5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：

①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；

③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③

C．①D．②③

解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．

6.如图，∠BAC＝90°

，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；

与AP垂直的直线有________．

答案　AB、BC、AC　AB

解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.

7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°

，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

答案　

解析　设B1F＝x，

因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，

所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，

则DE＝

h.

又2×

＝h

所以h＝

，DE＝

在Rt△DB1E中，

B1E＝

由面积相等得

×

x，

得x＝

8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；

②EF⊥PB；

③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案　①②③

解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.

故①②③正确．

9．（2016·

保定模拟）如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为

，则AB与β所成的角是________．

解析　如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，

则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．

∵sin∠BCH＝

设BC＝1，则BH＝

∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝

∴AB与β所成的角为∠BAH.

∴sin∠BAH＝

∴∠BAH＝

10．（2016·

全国乙卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°

，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°

（1）证明：

平面ABEF⊥EFDC；

（2）求二面角EBCA的余弦值．

（1）证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，

所以AF⊥平面EFDC，

又AF⊂平面ABEF，

故平面ABEF⊥平面EFDC.

（2）解　过D作DG⊥EF，垂足为G，

由

（1）知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，

的方向为x轴正方向，|

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由

（1）知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°

，则|DF|＝