华师大版第16章平行四边形的认识电子教材课本.docx

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华师大版第16章平行四边形的认识电子教材课本

第16章平行四边形的认识

§16.1平行四边形的性质

§16.2矩形、菱形与正方形的性质

1.矩形

2.菱形

3.正方形

阅读材料黄金矩形

§16.3梯形的性质

阅读材料四边形的变身术

小结

复习题

第16章平行四边形的认识

平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢?

它又具有哪些基本性质呢?

读下去，你就会发现这些答案了．

§16.1平行四边形的性质

平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形．

回忆

我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）．

你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?

图16.1.1

两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质．除此之外，它还有什么性质呢?

探索

如图16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形．

步骤1：

画两条平行线．

步骤2：

在两条线上分别取点A和点B，连结AB．

步骤3：

沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD．

图16.1.2

如图16.1.3，用剪刀把ABCD（可以先放大些）从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形．它们的对应边、对应角都相等．

在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O．

用一枚图钉在O点穿过，将ABCD绕点O旋转180°．观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合．

你能从中得出ABCD的一些边角关系吗?

图16.1.3

我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到

AD＝BC，AB＝DC，

∠A＝∠C，∠B＝∠D．

即平行四边形的对边相等，对角相等．

例1如图16.1.4，在ABCD中，已知∠A＝40°，求其他各个内角的度数．

图16.1.4

解在ABCD中，

∠D＝∠B，∠C＝∠A＝40°（平行四边形的对角相等）．

又∵AD∥BC，

∴　∠B＝180°-∠A＝180°-40°＝140°，

∴　∠D＝∠B＝140°．

例2如图16.1.5，在ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．

图16.1.5

解在ABCD中，

AB＝DC，AD＝BC（平行四边形对边相等）．

又∵　AB＝8，

AB+BC+CD+DA＝24，

∴CD＝8，AD＝BC＝4．

练习

1.已知在ABCD中，∠A＝120°，求其余各内角的度数．

2.已知在ABCD中，AB＝5，BC＝3，求它的周长．

观察

在如图16.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?

我们已经发现，ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，所以

OA＝OC，OB＝OD．

即平行四边形的对角线互相平分．

例3如图16.1.6，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?

图16.1.6

解在ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，

∴　AO+BO＝15-6＝9．

又∵　AO＝OC，BO＝OD（平行四边形对角线互相平分），

∴　AC+BD＝2AO+2BO＝2（AO+BO）＝２×９＝18．

试一试

如图16.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．

图16.1.7

经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等（从图16.1.7中也可以看到这一点）．这种现象说明了平行线的又一个性质：

平行线之间的距离处处相等．

练习

1.在ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段．

（第1题）（第2题）

2.如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．你能说出理由吗?

你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?

习题16.1

1.如图，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠D与∠DAE分别等于多少度?

（第1题）

2.如图，在ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为２２厘米，CD的长为5厘米，求△OCD的周长．

（第2题）

3.在ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边形各个内角的度数．

4.如图，已知ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．

（第４题）

§16.2矩形、菱形与正方形的性质

1.矩形

试一试

如图16.2.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?

图16.2.1

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形（rectangle），如图16.2.2所示．

图16.2.2

平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?

作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形．

我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线．

这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：

矩形的四个内角都是直角．

矩形的对角线相等且互相平分．

图16.2.3

例1如图16.2.3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

解△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm，

又∵AC＝BD＝13cm（矩形的对角线相等），

∴　AB+BC+CD+DA＝86-2（AC+BD）＝86-4×１３＝３４（cm），

即矩形ABCD的周长等于34cm．

练习

1.如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角．

（第1题）（第2题）

2.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗?

例2如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．

图16.2.4

解在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，

AC＝

＝

＝

＝5（勾股定理）．

又∵　S△ABC＝1/2AB·BC＝1/2AC·BE，

∴　BE＝AB·BC/AC＝3·４/５＝2.4．

练习

1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

（第1题）（第2题）

2.如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3.6，试求AC与AD的长．（精确到0.1）

2.菱形

试一试

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?

这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形（rhombus）．

如图16.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分．

图16.2.5图16.2.6

如图16.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．

这样，菱形具有以下的性质：

菱形的四条边都相等．

菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

例3如图16.2.7，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．

图16.2.7

解

（1）在菱形ABCD中，

∠B+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵　∠BAD＝2∠B，

∴　∠B＝60°．

（2）在菱形ＡＢＣＤ中，

ＡＢ＝ＢＣ（菱形的四条边都相等），

∴在△ＡＢＣ中，

∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ（等边对等角）．

又∵　∠B+∠BAC+∠BCA＝180°（三角形内角和公式），

∴　∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．

∴　AB＝BC＝AC（等角对等边），

即△ABC是等边三角形．

菱形的应用非常广泛．现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．

可伸缩的衣帽架练习

练习

1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度．

（第1题）

2.试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．

例4如图1628，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．

图16.2.8

解

（1）在菱形ABCD中，

∠BAO＝1〖〗2∠BAD＝1〖〗2×１２０°＝60°（菱形的每一条对角线平分一组对角）．

又在△ABC中，AB＝BC，

∴　∠BCA＝∠BAC＝60°（等边对等角），

∠ABC＝180°-∠BCA-∠BAC＝60°，

∴　△ABC为等边三角形，

∴　AC＝AB＝2（cm）．

（2）在菱形ＡＢＣＤ中，

ＡＣ⊥ＢＤ（菱形的对角线互相垂直），

∴△ＡＯＢ为直角三角形，

∴BO＝AB2-AO2＝22-12＝3cm（勾股定理），

∴　BD＝2BO＝23（cm）．

练习

1.如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．

（第1题）（第2题）

2.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数．

3.正方形

正方形（square）是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．所以正方形可以看作为：

有一个角是直角的菱形；

有一组邻边相等的矩形．

正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

图16.2.9图16.2.10

例5如图16.2.10，在正方形ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．

解由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分，

∴∠ABD＝∠DAC＝90°×1/2＝45°，∠DOC＝90°．

正方形还有许多有趣的性质．例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形．

练习

1.在下列图中，有多少个正方形?

有多少个矩形?

（１）

（２）

2.已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积．

习题16.2

1.如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°．求这个矩形的周长．（精确到0.1cm）

（第1题）（第2题）

2.如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积．

（第3题）

3.利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

阅读材料

黄金矩形

看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的．如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那么可以发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形．

你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?

按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形．

将一个正方形分成在一个矩形中用圆规以A点为圆心、

两个相等的矩形．引一条对角线．AB为半径画一圆弧．

延长底边与弧相交于一点，过交点画底边的垂线，

与顶边延长线交于一点，这样我们就画成了黄金矩形．

§16.3梯形的性质

我们知道，只有一组对边平行的四边形叫做梯形（trapezoid）．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（如图16.3.1所示）

图16.3.1

如图16.3.2，梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法．

图16.3.2

做一做

如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折．你发现了什么?

我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质（如图16.3.3）：

等腰梯形同一底边上的两个内角相等．

等腰梯形的两条对角线相等．

图16.3.3

例1如图1634，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E．试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形．

图16.3.4

解在等腰梯形ABCD中，

∠B＝∠C（等腰梯形两底角相等），

∴　EB＝EC（等角对等边），

因此△EBC是等腰三角形．

又∵　AB＝DC，

∴　EA＝ED，

因此△EAD也是等腰三角形．

例2如图16.3.5，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长．

图16.3.5

解在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．

又∵　AB∥DC，CE∥DA，

∴　四边形AECD是平行四边形，

∴CE＝DA＝CB＝6，

AE＝DC＝5（平行四边形的对边相等），

∴　EB＝AB-AE＝8-5＝3．

于是△CEB的周长为

CE+EB+BC＝6+3+6＝15．

练习

1.梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，DB⊥AD，那么∠DBC＝，∠C＝．

（第1题）（第2题）

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．

习题16.3

1.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥CB，△AED的周长为18，EB＝4，求梯形的周长．

（第1题）（第2题）

2.如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝100°，试求梯形ＡＢＣＤ的其他三个内角的度数．请问此时ABCD为等腰梯形吗?

说说你的理由．

阅读材料

四边形的变身术

我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．

一个梯形可以剪开拼成一个矩形，一个矩形可以剪开拼成一个三角形．

那么任意一个四边形呢?

它也可以剪开拼成各种各样的图形.下面给出了一些剪拼的示意图，观察一下，你也试试看．

想想看，在这些剪拼过程中，都用到了图形的什么变换?

小结

一、知识结构

二、概括

本章通过操作探索几类特殊四边形的性质，学会解决一些简单的度量问题．

平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．

矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的一般的性质，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质．

梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索．

复习题

A组

1.观察下列挂件的图形，将它们分割成一个个你所熟悉的图形，分别指出它们的名称．

（第１题）

2.如图，在ABCD中，过点P画线段EF、GH分别平行于AB、BC，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比，看看谁找出的多．

（第2题）

3.如图，在ABCD中，∠BAC＝68°，∠ACB＝36°，求∠D和∠BCD的度数．

（第3题）

4.如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．

（第4题）

5.已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积．

B组

6.如图，在ABCD中，AB＝BE，连结AE，并延长与DC的延长线交于点F，∠F＝62°，求这个平行四边形各内角的度数．

（第6题）（第7题）

7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝BD，∠A＝120°，求梯形其他各内角的度数．

8.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形?

多少个平行四边形?

多少个菱形?

多少个等腰梯形？

（本题只要求观察，说出你数得的个数）

（第8题）（第9题）

9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB．试说明

（1）DE＝DC；

（2）△DEC是一个等边三角形．

10.梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A＝2∠B＝4∠C，求∠D的度数．

C组

11.如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E、F分别在AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC．试问DE、DF与AB之间有什么关系吗?

请说明理由．

（第11题）

12.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？

（第12题）

13.请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分．

（1）观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；

（2）如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条?

它们之间又有什么联系呢?

（3）若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么?