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巧算和速算方法

第一讲

第二讲

第三讲

第四讲

第五讲

第六讲

第七讲

第八讲

第九讲

第十讲

第十二讲

第十四讲

第十五讲

第十六讲

校本课程数学计算方法

生活中几十乘以几十巧算方法

常用巧算速算中的思维与方法（

小数的速算与巧算

乘法速算

注：

《速算技巧》

1）

2）

3）

4）

5）

6）

-..10-

-..14-

-..16-

.-.19.-

.-.21.-

.-.23.-

.-.24.-

.-.25.-

.-.2&-

.-.30.-

-33-

第一讲

生活中几十乘以几十巧算方法

1.十几乘十几:

口诀：

头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：

12X14=?

2X4=8

12X14=168

注：

个位相乘，不够两位数要用

0占位。

2.头相同，尾互补（尾相加等于

10）:

口诀：

一个头加1后，头乘头，尾乘尾。

例：

23X27=?

解：

2+1=3

2X3=6

3X7=2123X27=621

注：

个位相乘，不够两位数要用0占位。

3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同:

口诀：

一个头加1后，头乘头，尾乘尾。

例：

37X44=?

解：

3+1=4

4X4=16

7X4=2837X44=1628

注：

个位相乘，不够两位数要用0占位。

4.几十一乘几十

口诀：

头乘头，头加头，尾乘尾。

例：

21X41=?

解：

2X4=8

2+4=6

1X1=1

21X41=861

5.11乘任意数:

口诀：

首尾不动下落，中间之和下拉。

例：

11X23125=?

解：

2+3=5

3+1=41+2=32+5=7

2和5分别在首尾11X23125=254375

注：

和满十要进一。

6.十几乘任意数:

口诀：

第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

例：

13X326=?

解：

13个位是3

3X3+2=113X2+6=123X6=1813X326=4238

注：

和满十要进一。

第二讲

常用巧算速算中的思维与方法

（1）

+99+100

十2+1

+101+101

101-h101+icn+"

【顺逆相加】用顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的百数求和”题，可以计算为

1+2++99+100

1+2+3+

+）1001+的+98+

所以，1+2+3+4+……+99+100

=101X100吃

=5050

“3+5+7++97+99=?

+97+99

•+5+3

102*102+102++102+102

49个

3+5+7+……+97+99=（99+3）X49^2=2499。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。

张丘建利用这一思路巧妙地解答了有女不善织”这一名题:

今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。

问织几何？

”题目的意思是：

有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。

问她一

共织了多少布?

张丘建在《算经》上给出的解法是:

“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

”“答曰：

二匹一丈”。

这一解法，用现代的算式表达，就是

1匹=4丈，1丈=10尺,90尺=9丈=2匹1丈。

张丘建这一解法的思路，据推测为：

如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都

加起来，算式就是：

5++1

在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。

若把这个式子反过来，则算式便是

1++5

此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。

同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。

假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用对应的数相加和会相等”

这一特点，那么，就会出现下面的式子:

5十6+6十+6

却个6

所以，加得的结果是6X30=180（尺）

但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。

所以，这妇女30天

织的布是

180吃=90（尺）

可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法

（2）

方法一：

分组计算

一些看似很难计算的题目，采用分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。

例如:

求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10亿个自然数的数字之和”而不是“10亿个自然数之和”

什么是数字之和”例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是

1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。

显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间

（很多年都难于算出结果）的。

怎么办呢？

我们不妨在这10亿个自然数的前面添上

一个“0”改变数字的个数，但不会改变计算的结果。

然后，将它们分组:

0和999,

999，999;1和999,999，998;

2和999,

999，997;3和999,999，996;

4和999,

999,995;5和999,999,994;

依次类推,

可知除最后一个数，1,000,000,000以外，其他的自然数与添上的0共

10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81,如0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=811+9+9+9+9+9+9+9+9+8=812+9+9+9+9+9+9+9+9+7=81

最后的一个数1,000,000,000不成对，它的数字之和是1。

所以，此题的计算结

果是

（81X500,000,

000）+1

=40,500,000,

000+1

=40,500,000,

001

方法二：

由小推大计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律,再推出题目的结果。

例如：

（1）计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100X10的大方阵，数目很多,

关系较为复杂。

不妨先化大为小，再由小推

大。

先观察“5X5勺方阵，如下图

（图

4.1）所示。

容易看到，对角线上五个“5之和为25。

这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）

用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么

25。

所以，“5X方阵的所有数之和为

将会发现，这五个斜行，每行数之和都是

25X5=125，即53=125。

于是，很容易推出大的数阵“100X10的方阵所有数之和为1003=1,000,000。

图4.3

因为从2到2002,共有偶数2002十2=1001（个）。

从前到后，是每8个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三

一列（偶数都是按由小到大的顺序）。

所以，由1001十8=1251,可知这1001

个偶数可以分为125组，还余1个。

故2002应排在第二列。

方法三：

凑整巧算用凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。

例如

（1）99.9+11.1=（90+10）+（9+1）+（0.9+0.1）=111

（2）9+97+998+6=（9+1）+（97+3）+（998+2）=10+100+1000=1110

（3）125+125+125+125+120+125+125+125=155+125+125+125+（120+5）+125+125+125-5=125X8-5=1000-5

第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）

方法一：

巧妙试商除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。

（1）用商五法”试商。

当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5。

如70-14=5,125吃5=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用无除半商五”无除”指被除数前两

位不够除，半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5。

例如1248吃4=52,2385詔5=53

（2）同头无除商八、九。

同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商

无除”仍指被除数前两位不够除。

这时,

8或商9o

5742^58=99,4176^8=87。

（3）用商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,

且前三位数字临时组成的数与除数之

和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”一般地说，假如被除数为m,除数为n,只有当9nWmv10n时，n除m的商才是9。

同样地，10nWm+nv11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508^49=92,6480^72=90o

（4）用差数试商。

当除数是11、12、1318和19,被除数前两位又不够除的时候，可以用差

数试商法”即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1或2,则初商为9;差数是3或4,则初商为8;差数是5或6,则初商为7;差数是

7或8,则初商是6;差数是9时，则初商为5。

若不准确，只要调小1就行了。

例如

1476勻8=82（18与14差4,初商为8,经试除，商8正确）;

1278勻7=75（17与12的差为5,初商为7,经试除，商7正确）。

为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀:

差一差二商个九，差三差四八当头;

差五差六初商七，差七差八先商六;

差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

方法二：

恒等变形恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。

例如

（1）1832+68=（1832-32）+（68+32）=1800+100=1900

（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）

=359.8-10=349.8

第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）

方法一：

拆数加减在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。

（1）拆成两个分数相减。

例如

=4—41-■»+=—+=+■（-■4

261220和42567590

—+（-h+十———H—一------+-■+

1X22X33X4/|X55X66x77x38X99X10

=1—了十=—2——+——=-h=—=-H———十一一h+———+——

22344556677S0991O19

=]一

1010

又如

—卜—+—+—+—

315356399

—=—++++

1X33X55X77X99X11

X（1-订）

105

X—=—

1111

（2）

拆成两个分数相加。

例如

1_5「_9」_13

6十応-耶十一疋

357911

1X22x33x44x55x65x7

667

=]+——

223344

又如

18121620

1—.__b-+_-—+—

315356399

3355779911

=1+

1111

方法二：

同分子分数加减同分子分数的加减法，有以下的计算规律:

分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。

例如

7~n

G十7）X2

5X7

（11-7）X6

°7X11

C8-6）X5

105

世—

6X8

4S24

（注意：

分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。

）

X7如22W氐、

又如弓巧-I厂亓）

（5+7）X2（ll-?

）X6

■f）

5X7'7X11'

_2424

S—■^=

3577

（77-25）X2^

35X77

42X24

35X77

35Xli

144

3S5

由上面的规律还可以推出，当分子都是1分母是连续的两个自然数时，这两个分数

的差就是这两个分数的积,

即=-x

nn+1nn+I根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

例如

112117

6-护=〒气天1（交昭分略）

]十■—■^―■+=^=■1*■—-|-■—

56565656

方法三：

先借后还

先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。

例如

..7173753117]

f1）=+—+—+—-（—4-—+—+——、+L

16163216‘16151616’32K

-1171_,15

321632

一6

一艾

丄圉！

跖

1-M

做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。

现在从凑整”着眼，采

用先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。

第六讲

常用巧算速算中的思维与方法（5）

方法一：

个数折半

F面的几种情况下，可以运用个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。

（1）分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和，可采用个数折半法”即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。

比方卜|十”?

+"2;

1234567B9

4-—+h——*—牛+4-—

101010101010101010

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。

（2）

个数折半法”求

分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用

得数。

比方

1357…

_+—4—+—=4*2=2

2222

—+—+—+—+—=5~2~2—

10101010102

（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用个数折

半法”求得数。

比方

7-^5-^7-W

3一W

1-O

3-^

1-6

+—=4—2=2

79111315CC

H1dH—+—=8十2=4

1616161616

+—=4*2=2

方法二：

带分数减法带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。

（1）减数凑整。

例如

2323

4-1_=（4写-（!

-+-）

=4'|-2

6丄_£査6三-3巴

461212

吨.4

（2）交换位置。

例如

1212

-3-=（6-3）+（---）

■（6・耳-（亍-了）

例如

第七讲

常用巧算速算中的思维与方法（6）

方法一：

带分数乘法

有些特殊的带分数相乘,

可以采用一些特殊的巧算方法。

（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1,则乘积也是个带分数，它

的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部

分的乘积。

例如

glx6^=6X（641）+（lx

72話

8|“|・8乜+】）谆瘙

（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用

较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。

例如

343

3-X4-=”

8—X7—"8^

16-

64-

（注：

这是根据“（a+b）（a-b）=a2-b2”推出来的。

）

（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是

个带分数。

这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。

例

1一2

1-3

二-5

（注这展E为场为g然数吱1丄XI厶=上的塚故。

宣推导请

aa+1a

读者自己去试一试，此处略）。

方法二：

两分数相除

有些分数相除，可以采用以下的巧算方法:

（1）分子、分母分别相除。

在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：

用分

子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。

不过，这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。

例如

N■8~24^-3~

3135535^57

1—[—="r=—

32432432^48

（2）分母相除，一次得商。

在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与

分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。

例如

13*7=ly

21+呂-2-

（注：

用除法法则可以推出这种方法，此处略。

）

第八讲小数的速算与巧算

【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。

用的时候主要看末位。

但是小数计算中小数点”一定要对齐。

【例题精讲】

<一>凑整法

例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。

【分析】5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样先凑整运算起来会

更加简便。

【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）

【评注】凑整，特别是凑十”、凑百”等，是加减法速算的重要方法。

例2、计算：

1.999+19.99+199.9+199a

【分析】因为小数计算起来容易出错。

刚好1999接近整千数2000,其余各加数看做

与它接近的容易计算的整数。

再把多加的那部分减去。

【解答】1.999+19.99+199.9+1999

=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889

【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以

引申为读整法，譬如此题。

“1.999刚好与

“2相差0.001，因此我们就可以先把它读成

“2来进行计算。

但是，一定要记住刚才多加的”要减掉”

多减的”要加上”

第九讲

乘法速算1

.前数相同的:

1.1.十位是1,个位互补，即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）X10+AXB

方法：

百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：

13X17

13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

3X7=21

221

即13X17=221

1.2.十位是1,个位不互补，即A=C=1,B+D工10,S=（10+B+D）X10+AXB

方法：

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积,满十前一。

15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

5X7=35

255

即15X17=255

1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=AX（A+1）X10+AXB

方法:

十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后

例：

56X54

（5+1）X5=30--

6X4=24

3024

14十位相同，个位不互补，即A=C,B+D工10,S=AX（A+1）X10+AXB

方法1:

先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比

十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然

例：

67X64

6+1）X6=42

7X4=28

7+4=11

11-10=1

4228+60=4288

4288

方法2：

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

4+7）X6=66-

4X7=28

4288

第十讲

乘法速算2

、后数相同的:

2.1.个位是1,十位互补即B=D=1,A+C=10S=10AX10C+101

方法：

十位与十位相乘，得数为前积，加上

101。

--8X2=16--

101

1701

2.2.<不是很简便>个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C工10S=10AX

10C+10C+10A+1

方法：

十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.0

例：

71X91

70X90=63--

70+90=16-

6461

2.3个位是5,十位互补即B=D=5,A+C=10S=10AX10C+25

方法：

十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上

25。

例：

35X75

3X7+5=26--

2625

2.4＜不是很简便＞个位是5,十位不互补即B=D=5,A+C工10S=10AX10C+525

方法：

两首位相乘（即求首位的平方）,得数作为前积,两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：

75X95

7X9=63--

7+9）X5=80-

7125

2.5.个位相同,十位互补即B=D,A+C=10S=10AX10C+B100+B2

方法：

十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方。

例：

86X26

8X2+6=22--

2236

2.6.个位相同,十位非互补

方法：

十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方,再看看十位相加比10大几或小几,大几就加几个个位乘十,小几反之亦然

例：

73X43

7X4

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