－（x2＋
）＝（x1－x2）
.因为x1－x2<0，x1x2>0，x1x2<9，所以（x1－x2）
>0，所以f（x1）>f（x2），所以函数f（x）在（0，3）上是减函数，故选B.
2．（2018·黑龙江大庆模拟）下列函数中，在（0，＋∞）上单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－ln|x|D．y＝2x
答案 C
解析 A项，y＝x2是偶函数，在（0，＋∞）上单调递增，不合题意；B项，y＝－x3是奇函数，不合题意；C项，y＝－ln|x|是偶函数，在（0，＋∞）上单调递减，符合题意；D项，y＝2x不是偶函数，不合题意．故选C.
3．若函数f（x）＝ax2＋bx＋8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3＋bx2＋9x是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由于f（x）＝ax2＋bx＋8（a≠0）是偶函数，所以b＝0，所以g（x）＝2ax3＋9x（a≠0），所以g（－x）＝2a（－x）3＋9（－x）＝－（2ax3＋9x）＝－g（x），所以g（x）＝2ax3＋9x是奇函数．故选A.
4．（2015·陕西）设f（x）＝x－sinx，则f（x）（ ）
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
答案 B
解析 易得f（x）是奇函数，由f′（x）＝1－cosx≥0恒成立，可知f（x）是增函数，故选B.
5．函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f（x）在[－1，0]上是减函数，则f（x）在[2，3]上是（ ）
A．增函数B．减函数
C．先增后减的函数D．先减后增的函数
答案 A
6．（2018·山东临沭一中月考）已知定义在R上的函数f（x）的满足f（－x）＝－f（x），f（3－x）＝f（x），则f（2019）＝（ ）
A．－3B．0
C．1D．3
答案 B
解析 用－x换x，可将f（x＋3）＝f（－x）＝－f（x），
∴T＝6，∴f（2019）＝f（336×6＋3）＝f（3）．
∵f（3－x）＝f（x），∴f（3）＝f（0）＝0.
7．（2017·课标全国Ⅰ）函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f
（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．[－1，1]
C．[0，4]D．[1，3]
答案 D
解析 ∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f
（1）＝1.于是－1≤f（x－2）≤1等价于f
（1）≤f（x－2）≤f（－1）．又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
8．若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝－f（x）成立，且f
（1）＝8，则f（2015），f（2016），f（2017）的大小关系是（ ）
A．f（2015）f（2016）>f（2017）
C．f（2016）>f（2015）>f（2017）D．f（2016）答案 A
解析 因为定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝－f（x）成立，所以f（x＋4）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，且f（0）＝0，f
（2）＝－f（0）＝0，f（3）＝－f
（1）＝－8，所以f（2015）＝f（4×503＋3）＝f（3）＝－8，f（2016）＝f（4×504）＝f（0）＝0，f（2017）＝f（4×504＋1）＝f
（1）＝8，即f（2015）9．已知定义在R上的函数f（x）满足：
y＝f（x－1）的图像关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x－
）＝f（x＋
），当x∈[0，2）时，f（x）＝ex－1，则f（2016）＋f（－2015）等于（ ）
A．1－eB．e－1
C．－1－eD．e＋1
答案 A
解析 y＝f（x－1）的图像关于（1，0）点对称，则f（x）关于原点对称．当x≥0时恒有f（x－
）＝f（x＋
），即函数f（x）的周期为2.所以f（2016）＋f（－2015）＝f（0）－f
（1）＝1－e.故选A.
10．设函数y＝f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f（x－
）＝f（x＋
），当x∈[2，3]时，f（x）＝x，则当x∈[－2，0]时，f（x）等于（ ）
A．|x＋4|B．|2－x|
C．2＋|x＋1|D．3－|x＋1|
答案 D
解析 因为∀x∈R，满足f（x－
）＝f（x＋
），
所以∀x∈R，满足f（x＋
－
）＝f（x＋
＋
），
即f（x）＝f（x＋2）．
若x∈[0，1]时，则x＋2∈[2，3]，f（x）＝f（x＋2）＝x＋2，
若x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]．
因为函数y＝f（x）（x∈R）为偶函数，所以f（－x）＝－x＋2＝f（x），即f（x）＝－x＋2.
若x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0，1]，则f（x）＝f（x＋2）＝x＋2＋2＝x＋4.
综上f（x）＝
故选D.
11．（2018·安徽合肥一模）已知函数f（x）＝（x2－2x）·sin（x－1）＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（ ）
A．4B．2
C．1D．0
答案 A
解析 设t＝x－1，则f（x）＝（x2－2x）sin（x－1）＋x＋1＝（t2－1）sint＋t＋2，t∈[－2，2]．记g（t）＝（t2－1）sint＋t＋2，则函数y＝g（t）－2＝（t2－1）sint＋t是奇函数．由已知得y＝g（t）－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋（m－2）＝0，即M＋m＝4.故选A.
12．如果函数g（x）＝
是奇函数，那么f（x）＝________．
答案 2x＋3
解析 令x<0，所以－x>0，g（－x）＝－2x－3.因为g（x）是奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝2x＋3，所以f（x）＝2x＋3.
13．已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f
（1）＝1.若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________．
答案 －1
解析 令H（x）＝f（x）＋x2，则H
（1）＋H（－1）＝f（－1）＋1＋f
（1）＋1＝0，∴f（－1）＝－3，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－1.
14．已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f（mx－2）＋f（x）<0恒成立，则x的取值范围为________．
答案 （－2，
）
解析 易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f（mx－2）＋f（x）<0⇒f（mx－2）<－f（x）＝f（－x），此时应有mx－2<－x⇒mx＋x－2<0对所有m∈[－2，2]恒成立．
令g（m）＝xm＋x－2，此时只需
即可，
解得－2.
15．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f
（1）＝0，则不等式x[f（x）－f（－x）]<0的解集为________．
答案 {x|－1解析 ∵f（－x）＝－f（x），∴不等式x[f（x）－f（－x）]<0可化简为xf（x）<0，又f
（1）＝0，∴f（－1）＝0，∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，从而函数f（x）的大致图像如图所示，则不等式x[f（x）－f（－x）]<0的解集为{x|－116．若f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且x∈[0，1）时f（x）为增函数，求不等式f（x）＋f（x－
）＜0的解集．
答案 {x|－
＜x＜
}
解析 ∵f（x）为奇函数，且在[0，1）上为增函数，
∴f（x）在（－1，0）上也是增函数．
∴f（x）在（－1，1）上为增函数．
f（x）＋f（x－
）＜0⇔
f（x）＜－f（x－
）＝f（
－x）⇔
⇔－
＜x＜
.
∴不等式f（x）＋f（x－
）＜0的解集为{x|－
＜x＜
}．
17．已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝－f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x＋1），求：
（1）f（0）与f
（2）的值；
（2）f（3）的值；
（3）f（2013）＋f（－2014）的值．
答案
（1）f（0）＝0，f
（2）＝0
（2）f（3）＝－1 （3）1
解析
（2）f（3）＝f（1＋2）＝－f
（1）＝－log2（1＋1）＝－1.
（3）依题意得，x≥0时，f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），即x≥0时，f（x）是以4为周期的函数．
因此，f（2013）＋f（－2014）＝f（2013）＋f（2014）＝f
（1）＋f
（2）．而f
（2）＝－f（0）＝－log2（0＋1）＝0，f
（1）＝log2（1＋1）＝1，故f（2013）＋f（－2014）＝1.
18．已知函数f（x）＝
是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
答案
（1）m＝2
（2）（1，3]
解析
（1）设x<0，则－x>0，
所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.
又因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
结合f（x）的图像知
所以11．（2017·浙江宁波十校联考）函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R）．若f（m）＝2，则f（－m）的值为（ ）
A．3B．0
C．－1D．－2
答案 B
解析 把f（x）＝x3＋sinx＋1变形为f（x）－1＝x3＋sinx.令g（x）＝f（x）－1＝x3＋sinx，则g（x）为奇函数，有g（－m）＝－g（m），所以f（－m）－1＝－[f（m）－1]，得到f（－m）＝－（2－1）＋1＝0.
2．（2017·安徽蚌埠质检）函数y＝f（x）是R上的奇函数，满足f（3＋x）＝f（3－x），当x∈（0，3）时，f（x）＝2x，当x∈（－6，－3）时，f（x）等于（ ）
A．2x＋6B．－2x－6
C．2x－6D．－2x＋6
答案 D
解析 由函数f（x）是奇函数，得f（－x）＝－f（x），当x∈（－6，－3）时，x＋6∈（0，3），由f（3＋x）＝f（3－x），得f（x）＝－f（－x）＝－f[3－（3＋x）]＝－f[3＋（3＋x）]＝－f（6＋x）＝－26＋x.
3．[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f（x）＝|x|－[x]，有下列结论：
①f（x）的定义域为R；②f（x）的值域为[0，1]；③f（x）是偶函数；④f（x）不是周期函数；⑤f（x）的单调增区间为（k，k＋1）（k∈N）．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2
C．1D．0
答案 A
解析 显然①正确．x＝－2.1时，f（－2.1）＝2.1－（－3）＝5.1.②错误；f（x）图像关于y轴不对称，③错误；f（x）在x>0上是周期变化，在x<0上不是周期变化，④正确；k∈N，则在（k，k＋1）（k∈N）上f（x）＝x－[x]，因为当x>0时x－[x]表示x的小数部分，所以f（x）在（k，k＋1）（k∈N）上单调递增，当x<0时，f（x）＝－x－[x]，y＝－x是减函数，y＝－[x]也是减函数，故f（x）的单调增区间只有（k，k＋1）（k∈N），⑤正确．故①④⑤正确，故选A.
4.
设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（－2，1]上的图像，则f（2013）＋f（2014）＝（ ）
A．3B．2
C．1D．0
答案 C
解析 f（2013）＝f（3×671）＝f（0）＝0，f（2014）＝f（3×671＋1）＝f
（1）＝1，所以f（2013）＋f（2014）＝1.
5．（2017·湖北黄冈调研）定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，f（x＋4）＝f（x），且x∈（－2，0）时，f（x）＝2x＋
，则f（log220）＝（ ）
A．1B.
C．－1D．－
答案 C
解析 ∵f（－x）＋f（x）＝0，即f（－x）＝－f（x），
∴定义在R上的函数f（x）是奇函数．
∵4＝log216∴f（log220）＝f（log220－4）＝f（log2
）＝－f（－log2
）＝－f（log2
），
∵－2<0，
∴f（log2
）＝2log2
＋
＝1，
∴f（log220）＝－1，故选C.
6．（2015·北京，文）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y＝x2sinxB．y＝x2cosx
C．y＝|lnx|D．y＝2－x
答案 B
解析 A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
7．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x1，x2∈R都有f（x1＋x2）－f（x1）＝f（x2）＋5，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数
C．f（x）＋5是奇函数D．f（x）＋5是偶函数
答案 C
解析 取x1＝x2＝0，得f（0＋0）－f（0）＝f（0）＋5，所以f（0）＝－5，令x1＝x，x2＝－x，则f[x＋（－x）]－f（x）＝f（－x）＋5，所以f（0）－f（x）＝f（－x）＋5，所以f（－x）＋5＝－[f（x）＋5]，所以函数f（x）＋5是奇函数，故选C.
8．（2017·唐山一中月考）f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋1）＝
，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x－2，则f（log
6）＝________．
答案
解析 ∵f（x＋1）＝
，∴f（x）＝f（x＋2）．
f（log
6）＝－f（－log
6）＝－f（log26）＝－f（log26－2）＝－（2log26－2－2）＝－（
－2）＝
.
9.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1）上，f（x）＝
其中a∈R.若f（－
）＝f（
），则f（5a）的值是________．
答案 －
解析 由题意可得f（－
）＝f（－
）＝－
＋a，f（
）＝f（
）＝|
－
|＝
，则－
＋a＝
，a＝
，故f（5a）＝f（3）＝f（－1）＝－1＋
＝－
.
10．定义在（－∞，＋∞）上的函数y＝f（x）在（－∞，2）上是增函数，且函数y＝f（x＋2）为偶函数，则f（－1），f（4），f（5
）的大小关系是__________．
答案 f（5
）解析 ∵y＝f（x＋2）为偶函数，
∴y＝f（x）关于x＝2对称．
又y＝f（x）在（－∞，2）上为增函数，
∴y＝f（x）在（2，＋∞）上为减函数，
而f（－1）＝f（5），
∴f（5
）＜f（－1）＜f（4）．
11．若f（x）和g（x）都是奇函数，且f（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（0，＋∞）上有最大值8，求f（x）在（－∞，0）上的最小值．
答案 －4
解析 由题意知，当x>0时，f（x）≤8.
∵f（x），g（x）都是奇函数，且当x<0时，－x>0.
∴F（－x）＝af（－x）＋bg（－x）＋2＝－af（x）－bg（x）＋2＝－[af（x）＋bg（x）＋2]＋4≤8.
∴af（x）＋bg（x）＋2≥－4.
∴f（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（－∞，0）上有最小值－4.
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