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集合与关系
第三章集合与关系
3.1第2题
（2）（3）（5）,
第3题
（2）（4）,（广义并，广义交）第4题
（1）（4）（5）,第5题
（1）
（2）（3）,
第8题
（2）（4），
3.2第11题，第12题
3.3第19题,第20题，第23题，
第26题，第27题，第31题
（2）（5）
3.4
第33
题，第37
题,
3.5
第47
题，第49
题
（2）
3.6
第53
题，第54
题，第57题
3-1
2.设有集合A={x|x是小于等于6的质数}B={x|4≤x≤12，x是偶整数
C={x|x=1,4,5,7,8},并设全集为A∪B∪C。
求下列集合表达式的结果。
}
解:
根据题目所给的集合,先求得集合
A={2,3,5},B={4,6,8,10,12},C={1,4,5,7,8}
（2）（B∩C）–（A∪B）
=（{4,6,8,10,12}∩{1,4,5,7,8}）–（{2,3,5}∪{4,6,8,10,12}）
={4,8}-{2,3,4,5,6,8,10,12}
=
（3）（A⊕B）–（A⊕C）
=（{2,3,5}⊕{4,6,8,10,12}）–（{2,3,5}⊕{1,4,5,7,8}）
={2，3，4，5，6，8，10，12}-{1，2，3，4，7，8}={5，6，10，12}
（5）A∪～（C∩B）
={2,3,5}
∪～（{1,4,5,7,8}∩{4,6,8,10,12}）
={2,3,5}
∪～{4，8}
={1，2，3，5，6，7，10，12}
3.设A={{1,2}，{1}，{1，0}},B={{1,3}，{2,3}，{1，0}}，计算下列并集和交集。
（2）∩∪A
（4）∩∪B
解：
（2）
∩∪A
=∩{0，1，2}
=
（4）
∩∪B
=∩{}
=
4.求下列集合的幂集，并用下标子集表示。
（1）
（4）2
（5）{x,y,z}
解：
（1）设A=，A的幂集为{}，ρ（A）的下标子集表示为{A0}。
（4）设A=2，A是空集的幂集{}，A的幂集ρ（A）为{，{}}，
ρ（A）的下标子集表示为{A0，A1}。
（5）设A={x,y,z}，A的幂集ρ（A）为{,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}}，
ρ（A）的下标子集表示为{A0,A4,A2,A1,A6,A5,A3,A7}。
5.设集合A有5个元素，根据子集的下标，写出子集的列举表示。
（1）A12
（2）A23
（3）A0
解：
设A={a,b,c,d,e}，则
A12=A01100={b,c}
A23=A10111={a,c,d,e}
A0=A00000=
8.设A,B,C都是集合，证明下列命题。
（2）如果对一切集合A都有A∪B=A,那么必有B=
（3）如果AB那么ρ（A）Aρ（B）
（4）ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）
证明：
（2）反证法：
∵已知BA∪B，A∪B=A∴BA对一切集合A成立，假定B不等于，
那么必有B的非空真子集C,CBA,由于C是集合，满足
C∪B=C（替换已知条件中的A）,由定理六可得BC,此与CB矛盾。
由反证法可得B=。
直接证法：
构造式子（A∪B）∩（～A∪B）由已知A∪B=A可得：
=A∩～A
=
而（A∪B）∩（～A∪B）=（A∩～A）∪B,由已知条件得
=B
所以：
（A∪B）∩（～A∪B）=（A∩～A）∪B=B=
（3）任取αρ（A），得αA，
由于AB，则αAB，由包含关系的传递性知α是B的子集，可得αρ（B），
故ρ（A）ρ（B）。
（4）一方面，由（3）的结果可得：
如果A∩BA和A∩BB
那么有ρ（A∩B）ρ（A）和ρ（A∩B）ρ（B）
（由AB,CD可得A∩CB∩D）
于是得ρ（A∩B）ρ（A）∩ρ（B）
另一方面，任取αρ（A）∩ρ（B）,得αρ（A）且αρ（B），
即αA且αB,于是得αA∩B，αρ（A∩B），故得
ρ（A）∩ρ（B）ρ（A∩B）
综合此两方面
∴ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）
3-2
11．200名学生中有120人选网络课程，130名选人工智能课程，110人选多媒体制作
课程。
已知同时选网络课程和人工智能课程的有80人，同时选媒体制作课程与网络课的有
90人，同时选人工智能和多媒体制作的人有70人，同时选三门课的学生有60人。
是否能
算出一门课都没有选的人数？
解:
根据包含排斥原理,
设选网络课程的同学组成A集合，|A|=120
设选人工智能课程的同学组成B集合，|B|=130
设选多媒体制作课程的同学组成C集合，|C|=110
设没选任何课程的同学组成D集合，|D|=y
|A∩B|=80
|C∩B|=70
|A∩C|=90
|A∩B∩C|=60
如果200人中有y个人没选课
200=120+130+110-80-70-90+60+y
y=20
12．证明：
任意n个连续的整数中，必存在一个整数能被n整除。
证明：
反证法：
设a1,a2,,an是任意n个连续的整数，每个数被n整除的余数只能是
0，1，2，，n-1中之一。
如果这n个数中不存在任何数被n整除，那么余数的选择
范围就在1，2，，n-1之中。
根据鸽巢原理则必有两个数被n除时余数相同，不妨设
为ai,aj,1≤ian,
此与aj≤an矛盾，
所以必存在一个整数能被n整除。
3-3
19.设A={0,1},
求A×A,A3。
A×A={<0,0>
，<0,1>
，<1,0>
，<1,1>},
A3={<0,0,0>
，<0,0,1>
，<0,1,0>
，<0,1,1>
，<1,0,0>
，<1,0,1>
，<1,1,0>
，
<1,1,1>}
20.设有A={0，1，2}，构造一个所有两位三进制码的集合。
解：
根据
A×A={<0,0>，<0,1>，<0,2>，<1,0>，<1,1>，<1，2>，<2,0>，<2,1><2,2>}
构造所有两位三进制码的集合为{00，01，02，10,11,12,20,21,22}
23.设集合A={0,1,，9},A上的二元关系R={x，y|x,yA,x=y+2n,nI}
写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图
关系矩阵MR=
关系图GR
24.设
A={a，b}，R={x，y|x，y
ρ（A），x
y}写出关系
R的关系集合，关系矩阵，画
出R的关系图。
25.设A={1，2，，26}，B={a，h，j，p，t}，R={
x，y
|x
A，y
B，x是
y在
字母表中的次序
}
写出关系
R的关系集合，关系矩阵，画出
R的关系图。
求出
dom（R），ran（R），fld（R）。
解：
R={<1,a>,<8,h>，<10,6>，<16,p,>，<20,t>}
dom（R）={1,8,10,16,20}，ran（R）=B，fld（R）={1,8,10,16,20,a,h,j,p,t}。
矩阵是26行5列阵
图是从A到B的对射图。
略
26.
解:
集合A={0,1,，6},A上的二元关系R={x，y|x,y
写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图。
根据R的入集条件，写出关系R如下：
R={<2,2>,<2,4>，<2,6>，<3,3,>，<3,6>，<5,5>}
A,x
是y
的质因子
}
27.对习题23，24，25，26所述的关系R讨论其关系性质。
解：
23题是等价关系，R具有自反性，对称性，传递性。
24题诗篇序关系，R具有自反性，反对称性，传递性。
25题的R关系是A到B的关系，且A与B不相等，所以不能讨论R的关系性质。
26题从关系集合可以看出，R不是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的，不是反传递的。
31.设A是给定的集合，R是A上的二元关系，证明以下命题。
（2）如果R既是对称的又是反对称的，那么
R是恒等关系IA的子集。
（5）如果R满足对传递性，那么
R1是传递的。
证明：
（2）已知R既是对称的又是反对称的，那么
由对称性知
对任取a,b
R必有b,a
R,由反对称性知a=b,
即任取a,b
R必得a=b,
所以RIA。
（5）已知R具有传递性，即对任意取的
a,b
R，b,c
R,有
a,c
R。
根据逆关系的定义，可以得到
对任意取的a,b
R-1，b,c
R-1,有b,a
R，c,b
R,,
由R是传递的可得任取
c,aR,于是得到
a,c
R-1
可见R-1
具有传递性。
3-4
33.设
A={1,2,3},B={a,b,c,d}
，C={4,5,6},
对下列关系，求复合关系
R?
S的关系集合与
关系矩阵。
（1）R={
（2）R={
1,b
1,a
2,d,2,d
3,c,3,c
};
2,bS={
};
a,4
S={b,5,d,4
a,4,c,6
d,6,b,5
}
}
（3）R={<1,c>,<2,b>,<3,c>,<2,d>,<1,a>};
S={,,,}
解：
（1）R?
S={<1,5>,<2,6>,<2,5>}
（2）R?
S={<1,4>,<2,4>,<3,6>}
（3）R?
S={<1,6>,<2,6>,<3,6>,<2,5>,<1,4>}
37.设A是给定的集合，R，S，T是A上的二元关系，举出反例说明以下事实。
（1）如果R?
SIA,那么，未必有S=R-1。
（2）
如果R,S都是对称的，那么
R?
S未必是对称的。
（3）
如果R,S都是反对称的，那么
R?
S未必是反对称的。
（4）
如果R,S都是传递的，那么
R?
S未必是传递的。
（5）如果R?
S=R那么S未必是恒等关系。
（6）如果R?
R=R，那么R未必是自反的。
解：
设A={a,b,c}
（1）R={};S={},R?
S={}
R?
SIA但S≠R-1
（2）R={};S={},R,S都对称，
R?
S={}
R?
S不是对称的。
（3）R={};S={,}
R,S都反对称，
R?
S={,,},R?
S不是反对称的。
（4）R={};S={,},R,S都传递，
R?
S={,<.b,a>,}R?
S不传递
（5）
R={};S={},
R?
S=R,但S不是恒等关系。
（6）
R={}，R?
R=R,
但S不是自反的。
3-5
47.举出反例说明下列事实。
（1）
如果R,S是集合A上的等价关系，那么
R?
S未必是等价关系。
（2）
如果R，S是集合A上的等价关系，那么
R∪S未必是等价关系。
（3）
如果R,S是集合A上的相容关系，那么
R?
S未必是相容关系。
（4）
如果R，S是集合A上的相容关系，那么
R-S未必是相容关系。
解:
设集合A={1,2,3}
（1）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，}；S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}
R?
S={<1,1>，<2,2>，<3,3>,<1,3>}，不对称，不是等价关系。
（2）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；
S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}
R∪S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<2,3>，<3,2>}不传递，不是等价关系。
（3）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}
R?
S={<1,1>，<2,2>，<3,3>,<1,3>}不对称，不是相容关系。
（4）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}
R-S={<1,2>，<2,1>}不自反，不是相容关系。
49.设有集合A={1,2,3,4},对以下完全覆盖给出其对应的相容关系图。
（2）B={{1,2,4},{3,2,4}}
解：
根据三结点的完全多边形图可以划出对应相容关系的简图：
3-6
53.设有一个偏序集合的HASS图如下图所示,对给出的子集填写表格。
集合
最大元
最小元
极大元
极小元
上界
上确界
下界
下确界
{e,d}
无
无
e,d
e,d
h,f
f
b
b
{d,f,h}
h
d
h
d
h
h
b,c,d
d
{e,f,g}
{a,b,c}
无
无
无
无
f,g
a,b,c
e
a,b,c
h
f,h
h
f
b
无
b
无
54.根据下列偏序关系图，画出其HASS图。
解：
根据（a）,（b）,（c）,（d）图中的盖住关系。
分别划出对应的HASSE图如下：
57.设A={0,1,···8}，D={[x]a|x,y
A，y
[x]a，x≡y（moda），a是9的整因子}∪{
}，
其中[x]a是模a同余的等价类。
画出
D，
的HASS图。
解：
先把关系D中的元素搞清楚，再根据包含关系划出
HASSE图。
9的因子有1，3，
9，D集合中有三个等价类和一个空集。
D={[x]1，[x]3
，[x]9,}，其中是空集。
[x]1=A
[x]3={3，6}
[x]9={0}
根据包含关系，科的
hasse图如下：
58.证明：
良序关系一定是全序关系。
证：
设A，≤为任意给定的良序集，任取
x,yA，x≠y，{x,y}
是
A的子集。
由良序
集的定义，知必有x≤y或y≤x之一成立，故良序关系一定是全序关系。
59.证明：
设有良序集
A，≤
，对任意的
SA,S是非空子集，则
S，≤仍是良序
集合。
证：
取S的任意子集C，CS，CSA。
由A的任一子集总是存在最小元素，所
以C作为A和S的任意子集也存在最小元，根据良序集的定义知S，≤仍是良序集
合。
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