集合的关系求参数范围.docx
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集合的关系求参数范围
盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人。
1．定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
2．设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ）
A．
146组
B．
29组
C．
28组
D．
16组
3．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（ ）
A．
{1，2}
B．
{2，4}
C．
{2}
D．
{4}
4．集合时M={x|x=
，k∈Z}与N={x|x=
，k∈Z}之间的关系是（ ）
A．
M⊊N
B．
N⊊M
C．
M=N
D．
M∩N=φ
5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（ ）
A．
P=F
B．
Q=E
C．
E=F
D．
Q=G
6．设集合A={x|x=
+
，k∈Z}，B={x|x=
+
，k∈Z}，则（ ）
A．
A=B
B．
A⊊B
C．
B⊊A
D．
A∩B=∅
7．设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．
a＜2
B．
a≤2
C．
2＜a＜4
D．
a＞4
8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R}．
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．
9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R}
（1）若A=B=∅，求a的取值范围；
（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；
（3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．
10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}
（I）求集合A；
（II）若A⊆B，求实数a的值．
11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，
（1）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．
12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若
，试判定集合A与B的关系；
（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．
13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．
14．已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R}，B={x|
＜1，x∈R}．
（1）求A、B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（1）若A⊊B，求a的取值范围；
（2）若A⊆B，求a的取值范围；
（3）若A=B，求a的取值范围．
2014年07月23日郭杜军1的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2014•市中区二模）定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
子集与真子集．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由定义A*B即A中的元素除去B中元素构成的集合．写出A*B，再判断子集个数即可．
解答：
解：
由题意：
A*B={1，7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}，个数为4
故选D
点评：
本题考查集合的运算、集合子集个数问题，属基础知识、基本运算的考查．
2．（2012•泸州二模）设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ）
A．
146组
B．
29组
C．
28组
D．
16组
考点：
子集与真子集．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
根据集合A中只含有3个元素，则可对集合A进行分类讨论，逐一求出集合B的所以情况即可．
解答：
解：
当集合A={1，2，3}时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有4种，若4个元素有1种，
当集合A={1，2，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种
当集合A={1，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种
当集合A={2，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种
当集合A={1，2，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={1，3，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={1，4，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={2，3，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={2，4，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={3，4，5}时，集合B若两个元素有1种，合计29组，
故选B
点评：
本题主要考查了集合子集的运算，分类讨论的数学思想，属于基础题．
3．（2013•浙江模拟）已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（ ）
A．
{1，2}
B．
{2，4}
C．
{2}
D．
{4}
考点：
集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论．
解答：
解：
∵A⊆B，A⊆C，
∴A⊆（B∩C）
∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，
∴B∩C={2}
而A⊆（B∩C）则A={2}或∅
故选C
点评：
本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及函数子集的运算，同时考查了分析问题的能力，属于集合的基础题．
4．集合时M={x|x=
，k∈Z}与N={x|x=
，k∈Z}之间的关系是（ ）
A．
M⊊N
B．
N⊊M
C．
M=N
D．
M∩N=φ
考点：
集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
常规题型．
分析：
先将集合M进行化简，然后根据2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，而k∈Z，即可判定集合M与集合N的关系．
解答：
解：
M={x|x=
，k∈Z}={x|x=
，k∈Z}
N={x|x=
，k∈Z}
∵2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，k∈Z
∴M⊊N
故选A
点评：
本题主要考查集合的包含关系判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（ ）
A．
P=F
B．
Q=E
C．
E=F
D．
Q=G
考点：
集合的相等．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．
解答：
解：
∵P={y=x2+1}是单元素集，集合中的元素是y=x2+1，
Q={y|y=x2+1≥1}={y|y≥1}，
E={x|y=x2+1}=R，
F={（x，y）|y=x2+1}，集合中的元素是点坐标，
G={x|x≥1}．
∴Q=G．
故选D．
点评：
本题考查集合相等的概念，解题时要注意集合中的元素是什么．
6．（2010•和平区一模）设集合A={x|x=
+
，k∈Z}，B={x|x=
+
，k∈Z}，则（ ）
A．
A=B
B．
A⊊B
C．
B⊊A
D．
A∩B=∅
考点：
集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合B中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．
解答：
解：
法一：
当k=2m（为偶数）时，B={x|x=
+
，k∈Z}；
当k=2m﹣1（为奇数）时，B={x|x=
+
，k∈Z}={x|x=
+
，k∈Z}=A．
∴A⊊B．
法二：
由于A={x|x=
+
，k∈Z}={x|x=
，k∈Z}，
B={x|x=
+
，k∈Z}={x|x=
，k∈Z}，当k是奇数时，B=A；当k是偶数时，B∩A=∅．
∴A⊊B．
故选B．
点评：
本题主要考查集合表示方法中的描述法，考查集合的包含关系判断及应用．
7．（2008•普陀区二模）设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．
a＜2
B．
a≤2
C．
2＜a＜4
D．
a＞4
考点：
集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据B求得B，由A，B之间的包含关系，求出此时满足题干的a应满足的条件，解不等式即可求得实数a的范围．
解答：
解：
∵集合A={x|x≥a}，
集合B={x||x﹣3|＜1}={x|2＜x＜4}，
B⊆A，
a≤2，
故选B
点评：
本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，本题是一个基础题．
二．解答题（共8小题）
8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R}．
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={
}≠∅，不合题意；当m≠0时，须△＜0，解次不等式即可．
（2）由
（1）当m=0时符合题意，若当m≠0还须△=0．
（3）至多只有一个元素包括A中只有一个元素和A是空集两种情况．为
（1），
（2）的合并．
解答：
解：
集合A是方程mx2﹣2x+3=0在实数范围内的解集．
（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={
}≠∅，不合题意；
当m≠0时，须△＜0，即△=4﹣12m＜0，即m＞
．
故若A是空集，则m＞
（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2﹣2x+3=0只有一个解．
若m=0，方程为﹣2x+3=0，只有一解x=
，符合题意
若m≠0，则△=0，即4﹣12m=0，m=
．
∴m=0或m=
．
（3）A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，
根据
（1）、
（2）的结果，得m=0或m≥
．
点评：
本题考查含参数的方程的解法、空集的概念、集合的表示方法、分类讨论的思想方法．本题的易错点是忽视对m是否为0进行讨论．
9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R}
（1）若A=B=∅，求a的取值范围；
（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；
（3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．
考点：
集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
（1）首先，结合条件A=B=∅，即方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，从而得到a的取值范围；
（2）可以求解A≠∅，B≠∅的情形，然后，求解它的补集即可；
（3）分情况进行讨论，分为：
A=∅，B≠∅；A≠∅，B=∅两种情形．
解答：
解：
（1）∵A=B=∅，
∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，
∴
，
∴
，
∴﹣2＜a＜﹣1，
∴a的取值范围为（﹣2，﹣1）．
（2）当A≠∅，B≠∅时，
∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0都有实根，
∴
∴
，
∴a∈∅，
∴A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围为（﹣∞，+∞）；
（3）根据
（1）
若A=∅，B≠∅；
∴
，
∴a≤﹣2，
若A≠∅，B=∅
∴
，
∴a≥﹣1，
∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．
点评：
本题重点考查集合的基本运算，结合一元二次方程根进行分类讨论，属于中档题．
10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}
（I）求集合A；
（II）若A⊆B，求实数a的值．
考点：
集合关系中的参数取值问题；集合的确定性、互异性、无序性；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（I）解一元二次方程求得x的值，即可得到集合A．
（II）若A⊆B，即{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}，可得a=3，或2a﹣1=3，分别求得a的值，再代入条件检验．
解答：
解：
（I）求集合A={x|x2﹣5x+6=0}={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3}．
（II）若A⊆B，即{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}．
∴a=3，或2a﹣1=3．
当a=3时，2a﹣1=5，B={3，2，5}，满足A⊆B．
当2a﹣1=3时，a=2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
综上，a=3．
点评：
本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的关系，以及集合中元素的互异性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，
（1）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；集合．
分析：
（1）化简P，利用P⊆Q，可得Q={0，﹣4}，利用韦达定理，即可得出结论；
（2）根据Q⊆P，可得Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，分类讨论，即可得出结论．
解答：
解：
（1）P={0，﹣4}，
∵P⊆Q，∴Q={0，﹣4}，
∴0，﹣4是x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两个根，
∴
，
∴m=1
（2）∵Q⊆P，P={0，﹣4}，
∴Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，
∴△=4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＜0或
或
或
，
∴m≤﹣1或m=1．
点评：
本题考查集合之间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若
，试判定集合A与B的关系；
（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．
考点：
集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）若
，B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，所以B⊊A．
（2）先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集合即可
解答：
解：
（1）∵B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，
集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，
∴B⊊A．
故答案为：
B⊊A．
（2）当a=0时，由题意B=∅，又A={3，5}，B⊆A，
当a≠0，B={
}，又A={3，5}，B⊆A，
此时
或5，则有a=
或a=
故答案为：
．
点评：
本题考查集合关系中的参数取值问题，求解问题的关键是正确理解A⊆B的意义及对其进行正确转化，本题中有一个易错点，即A是空集的情况解题时易漏掉，解答时一定要严密．
13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
专题：
计算题；数形结合；转化思想．
分析：
（Ⅰ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可；
（Ⅱ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可，求解时要分两类，N是空集与不是空集．
解答：
解：
（Ⅰ）由于M⊆N，则
，解得a∈Φ（4分）
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）
②当N≠Φ，则
，解得2≤a≤3，
综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）
点评：
本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是掌握由集合的包含关系得出参数所满足的不等式的方法﹣﹣比较端点法，求解此类题时，如本题的第二小题，易因为忘记讨论空集的情况导致失解，谨记！
14．（2013•金山区一模）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R}，B={x|
＜1，x∈R}．
（1）求A、B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
（1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B即可；
（2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可．
解答：
解：
（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A={x|a﹣2＜x＜a+2}，
由
＜1，得
＜0，即﹣2＜x＜3，∴B={x|﹣2＜x＜3}．
（2）若A⊆B，∴
⇒0≤a≤1，
∴0≤a≤1．
点评：
本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、形象．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（1）若A⊊B，求a的取值范围；
（2）若A⊆B，求a的取值范围；
（3）若A=B，求a的取值范围．
考点：
集合的包含关系判断及应用；集合的相等．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
（1）首先，化简集合A，然后对集合B中a的取值情况进行讨论，最后，结合条件A⊊B进行求解；
（2）根据
（1），直接进行求解即可，注意等号问题；
（3）直接根据集合的相等运算进行求解．
解答：
解：
由集合A得：
A={x|1≤x≤2}，
由集合B得：
当a=1时，B={1}，
当a＜1时，B={x|a≤x≤1}，
当a＞1时，B={x|1≤x≤a}，
（1）∵A⊊B，且A={x|1≤x≤2}，
∴当a≤1时，显然不满足条件，
当a＞1时，
∵B={x|1≤x≤a}，
∴a＞2，
∴a的取值范围是（2，+∞）．
（2）∵A⊆B，且A={x|1≤x≤2}，
∴当a≤1时，显然不满足条件，
当a＞1时，
∵B={x|1≤x≤a}，
∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
（3）∵A=B，
∴B的集合为B={x|1≤x≤2}，
∴a=2．
点评：
本题重点考查集合与集合之间的关系，集合的相等等知识，属于基础题，难度小．
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