2.在平面直角坐标系中，已知An（n,an）、Bn（n,bn）、Cn（n-1,0）（n・N*），满足向量
AAn1与向量BnCn共线，且点Bn（n,g）（n，N*）都在斜率6的同一条直线上•
（1）试用a1,b1与n来表示an;
（2）设a1=a,d=-a，且12：
：
：
a辽15，求数｛an｝中的最小值的项•
3.在公差为d（0）的等差数列｛an｝和公比为q的等比数列｛bn｝中，已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；
（2）令cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项和Tn.
=3t
4、在数列｛an｝中，a1=1,其前n项和Sn满足关系式3tS^（2t30=
（t0,n-2,3,）
（1）求证：
数列｛an｝是等比数列；
1
（2）设数列｛an｝得公比为f（t）,作数列｛bn｝,使bi=1,bn二f（）,n=（2,3-）,求b
bn_1
（3）求bib2-b2b3'b3b4-b4b5b2nJb2nb2nb2n1的值。
5•设数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=
（1）-a,其中，=-1,0；
（1）证明：
数列｛an｝是等比数列；
1水
（2）设数列｛an｝的公比q=f（'）,数列｛bn｝满足b1二？
bn二f（bnj）（n•N*,n_2）
求数列｛bn｝的通项公式；
6.已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x<0时，f（x）>1，且对任意的实数x、y€R,有
f（x+y）=f（x）f（y）,
（I）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
1
（n）数列｛an｝满足a1=f（0）且f（an1）（n•N*）,
f（-2-a.）
①求通项公式an的表达式；
试比较S与4Tn的大小，并加以证明
3
1213
7.设Sn是正项数列｛an｝的前n项和，且Sn=—an+~3n~~,
424
（I）求数列｛an｝的通项公式；
（n）已知bn=2n,求TnHa』！
•a?
b2•…abn的值
21
&已知二次函数f（x）二axbx满足条件：
①f（0）=f
（1）；②f（x）的最小值为.
8
（1）求函数f（x）的解析式；
f4〕f（n）
（2）设数列｛an｝的前n项积为Tn,且Tn=|—,求数列｛a.｝的通项公式；
\5J
（3）在⑵的条件下，若5f（an）是bn与an的等差中项，试问数列｛bn｝中第几项的值最小？
求出这个最小值。
9、设等差数列｛an｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（1）若a11=0,S14=98，求数列｛an｝的通项公式；
（2）在
（1）的条件下求Sn的表达式并求出Sn取最大值时n的值
（3）若a1>6,an>0,S^w77,求所有可能的数列｛an｝的通项公式
10、设｛%｝是公比大于1的等比数列，Sn为数列｛an｝的前n项和•已知S3=7，且
ai-3,3a2,a34构成等差数列.
（I）求数列｛an｝的通项公式.
（n）令bn=lna?
.i,n=1,2,||（,求数列g的前n项和「.
11•已知等比数列｛an｝中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且
a^i=64,公比q=1
（I）求an；
（n）设bn=log2an，求数列｛|bn|｝的前n项和T.
12、已知f（x）=logmx（m为常数，m>0且m=1）
设f（aj,f@）,,f丽（nN）是首项为4，公差为2的等差数列.
（I）求证：
数列｛an｝是等比数列；
（n）若bn=an•f（an），且数列｛bn｝的前n项和Sn,当m「2时，求Sn；
（川）若Cn=anlgan，问是否存在m，使得｛cn｝中每一项恒小于它后面的项？
若存在，
求出m的范围；若不存在，说明理由.
13.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足
1
a"2,an2SnSn」5-2）
i
（I）判断｛_｝是否为等差数列？
并证明你的结论;
Sn
（H）求Sn和an（川）求证：
S2•S；••S；乞1一丄.
24n
14.已知数列｛an｝满足an=2an」2n-1（n—2）,且a^5.
a+Z
（l）若存在一个实数■,使得数列｛亠^｝为等差数列，请求出'的值
2
（II）在（I）的条件下，求出数列an的前n项和Sn.
15.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an,n=1,2,3，….（I）求数列｛an｝的通项公式；
（n）若数列｛bn｝满足b1=1，且bn1二bn•an，求数列｛bn｝的通项公式;（川）设Cn=n（3-bn），求数列｛Cn｝的前n项和Tn.
参考答案
1
•••数列｛—｝是以一4为首项，一1为公差的等差数列bn-1
n
4（n4）
11
Sn=玄1玄2'323^■3n3n1二
4汇55汉6（n+3）（n+4）
2
4aSb_ann2_（a-1）n（3a-6）n-8
nnn4n3（n3）（n4）
由条件可知（a_1n+（a3n^）恒8成0立即可满足条件设
2
f（n）=（a-1）n3（a-2）n-8
a=1时，f（n）=-3n-8：
：
：
0恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成
af（n）在（y,1］为单调递减函数.
f
（1）=（a-1）n2（3a-6）n-8=（a一1）（3a-6）-8=4a-15：
：
0
15
.a•.a<1时4aSn：
：
b恒成立
4
综上知：
a<1时，4aSn2.解：
（1）V点Bn（n,bn）（n，N*）都在斜率为6的同一条直线上,
于是数列｛bn｝是等差数列，故bn二d・6（n-1）.3分
AnAn1=（1,an1fan）,BnCn=（-1，-bn）,又AnA*1与BnCn共线，
1（-bn）-（_1）（an1-an）—0,即an1-an—bn-5分
当n_2时,a^a（a2—aj@3—a?
）亠亠（a.—a.J二a’0b?
Q亠•亠
d（n-1）3（n-1）（n-2）.7分
当n=1时，上式也成立
所以a*=a「b1（n-1）3（n-1）（n-2）.8分
（2）把a1=a,t>1=~a代入上式，
2
得an=a-a（n-1）3（n-1）（n-2）=3n-（9a）n62a.
12:
a^15,7：
：
<4，
2
13分
6
•••当n=4时，an取最小值，最小值为a4=18—2a.
（2）Tn=C1C2•C3•…-Cn
「二玄袒a?
b2asb3an」bn」anbn①
=a』2a?
b3*3匕4…a./bnanbn1②
①—②：
（1—q）Tn二aM1db2db^dbn^dbn—ab1二abdb2（1_q）七曲
1—q
•「=（n-1）6n114分
4.解:
（1）由已知3tSn-（2t-3）Sn4=3t，即有
2t+3
3t（a1a2）_（2t'3）a^=3t由a1=1解得a?
:
3t
当n_2时，有
3tSn+1-（2t3）Sn=3t①
3tSn-（2t3）Sn」=3t②
①—②得
3tan+1-（2t'3）an=0
ani_2t3
an3t
综上所述，知色」=迤3n_1
an3t
因此｛an｝是等比数列；
2t+3
（2）由
（1）知f（t）=
3t
1
23
则使b1=1,bn二一气2■bn」
3—3
bn4
2
所以bn—bn」二n=（2,3/）
21
因此，｛bn｝是等差数列，且th=1,bn二b•（n-1）dn
33
（3）Db2-b2babgb4-b4b5…b2n/b2n•b2nb2n1
b2n）一
54n1n（
3
=b2（b1-b3）b4（b3-b5）…b2n（b2nvb^1）
4
=（b2b4
3
82=nn
93
5•解：
（1）由Sn二（1…）一’an=Sn_,=（1…）一乜心（n-2）
a儿
相减得：
an--'an•'an4,n（n-2）,.数列｛a.｝是等比数列
a^1+九
扎bn11
（2）f
（1）.,51,
1+丸1估二bng二
.｛丄｝是首项为丄=2,公差为1的等差数列—=2（n—1）=n1bnDbn
bn=8分
n十1
（3）■=1时,an=
（1）n‘,Cn=an（—-1）=（丄）"'n,
2bn2
111
Tn=12
（2）3（y2n（-）nJ①
2Tn=
（1）2
（1）2酹）3n
（2）n②
①—②得：
11、J、2八、3J、n」J、n
2Tn二1
（2）（2
（2）（2_n
（2），
1Tn「
（2）G）2
（1）3E）n」—n（》n门一n（£）n,
6.解：
（I）由题意，令y=0,x<0，得f（x）[1—f（0）]=0,•••x<0时，f（x）>1.
•••1—f（0）=0.f（0）=1.2分
1x
适合题意的f（x）的一个解析式为f（x）=（—）4分
（II[①由递推关系知f（an+1）•f（—2—an）=1，即f（an+1—2—aj=f（O）.
*八
•/f（x）的R上单调，•••an+1—an=2,（n€N）,6分
又a1=1，故an=2n—1.7分②bn=（」）an=（丄）2n',Sn=b1+b2+…+bn=丄+
（1）'+…+（1f「1
22222
4
欲比较Sn与—Tn的大小，只需比较4n与2n+1的大小.
3
由=1,2,3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.10分
下用数学归纳法证明
1
（i）当n=1时，4>2X1+1成立
（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1
当n=k+1时，4k+1=4X4k>4（2k+1）=8k+4=2（k+1）+1+6k+1>2（k+1）+1,
说明当n=k+1时命题也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1对于n€N*都成立•
4
故Sn>Tn12分
3
注：
证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，
如：
4n=（1+3）n=1+cn3c232cn3n_13n•2n1.
1213
7.解（I）当n=1时，at=$a1a1,解出a1=3,1分
424
又4sn=an+2an—3①
当n_2时4sn~1=anj+2an-1—3②
2222
①一②4an=an—a^-2（a^anJ）,即a^anj-2（an-a.」）=0
3分
•••（anan」）（an-an」-2）=0,anan」0an-an」=2（n—2）……
5分
.数列｛an｝是以3为首项，2为公差的等差数列.a^32（n-1）=2nJ•-
7分
（n）Tn=321522•山•（2n，1）2n③
又2Tn=322523W（2n-1）2n-（2n1）2n1④9分
④-③Tn二-321-2（22232n）（2n1）2n111分
=-68-22n1（2n1）2n113分
-（2n-1）2n1214分
ab=0
（1
&解：
（1）由题知：
a121
a0
=1
.4a一8
n2-n
2~
解得2,故f（x）xx.3分
h122
b二
L2
（nJ）2Jnl）
:
2
Tnj—aia2HfanJ=l5丿
（n-2）,
（n-2）.
anTn
4
—
Tn15
nA
（nN）.
4
an:
15丿
⑶若5f（an）是bn与an的等差中项，则25f（anHbnan,……
121232
从而10（；anan）二bnan,得d=5an-6an=5（an）-
225
4
=—
5
一一，即n
5
又a^T|=1满足上式.所以
因为an
当an
10分
n1
（n•NJ是n的减函数，所以
<3（n・N”）时，bn随n的增大而减小，此时最小值为
ba；
-4（n•N”）时，bn随n的增大而增大，此时最小值为
b4.
12分
3
3
a「5
<
a^5
又
所以ba:
:
:
b4,
:
:
:
3,即n
5
即数列｛0｝中b最小,且b3=5阳卜由=一
224
5125
14分
9、解：
由a“=0,^4=98得
a110d=06
1解得：
①
14a191d=98
an=a「n-1d=22-2n
（a1+an）n2
Sn21n-n
2
令an=°得n=11
-当n=11时，
（3）法一：
由
务一6
+10d>0
14印+91d喳77（3）
Sn取得最大值
a1》6,an>0,S14W77得:
（1）
（2）
10分
（2）（-14）得:
-14a1-140d0（4）
（1）（-14）得:
-14耳—84（5）
:
'dZ,.d=T
代入
（2）、（3）得：
a110
■10:
:
a1-12
14a<^168
farZ,.a1=11或12
11
⑷（3）得:
d
（5）-（3）得:
d-
91
12分
14分
10•解：
（I）由已知得
.an=12-n或an=13-n
解得a2=2.
设数列｛an｝的公比为q，由a：
=2，可得&=2,a^2q.4分
q
2
又S3=7，可知2■2q=7,
q
即2q2_5q2=0，
1
解得q<|=2，q2：
2
由题意得q1，q=2.
.4=1.7分
故数列｛an｝的通项为an=2nJ.
（n）由于bn=lna3n1,n=1,2,
由
（1）得a3n1=2
.bn=1n23n=3nln2
又bn1—bn=3In2
10分
■{bn}是等差数列.
n（b「bn）
2
n（3In23nln2）
2
11.解：
（I）依题意a^-a4'3（a3-a4）,即2a4_3a2a^-0
2a1q3-3a1q3a1q=0
21
2q_3q1=0=q=1或q=_
2
1
q=1q4分
2
故an=64（扩
7-n
二I6I"
n—7
12、解：
（I）由题意f（an）=4•2（n-1）=2n2,即logman=2n2,
二m2n2
二数列｛an｝是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（n）由题意bn二anf（an）二m2n2logmm2n2=（2n2）m2n2,
当m=J2时，bn=（2n2）2n1=（n1）2n2
二Sn=22332442—（n1）2n2①6分
1式两端同乘以2，得
2Sn=224325•426•―n2n2'（n'1）2n3②7分
2—①并整理，得
Sn八223-24-25-26-…-2n2（n1）2n3
二-23-{23亠24亠25亠亠2n2]亠（n亠1）2n3
七一2^（n1）2n3
1-2
二-2323（1—2n）（n1）2n3
（川）由题意Cn=anlgan=（2n+2）m2n"lgm
要使
cn」：
：
：
cn对一切n一2成立,
2
nlgm：
：
：
（n1）mlgm对一切n_2成立,
an=Sn-Sn4即Sn-Sn4=~2SnSn4
当n>2时，an
2n（n_1）
（n=1）
当n=1时，厲三an
2心严2）
（川）1°当n=1时，S12=1=1成立
424"
11
2°假设n=k时，不等式成立，即S|2Sf...S|f--—成立
24k
则当
n=k+1时，S；+S；+...+S：
+S：
申
1
<
2
1
4k
1
4（k1）2
k2k1k（k1）2
1_11_11
4k（k1）224
2
k2k_1k（k1）一24（k1）
即当
n=k+1
时，不等式成立由1
（川）另证:
S2S2…Sn
2°可知对任意
11
4422
n€N不等式成立.
1
2-
432
4（1
111
.»（1—匕3
十
（n_1）n
丄一1
n-1n2
4n
14.解：
（1）假设存在实数
'符合题意,则吩
必为与n无关的常数。
an_2and.=2^2n
"是与n无关的常数，则1—=0,得九=-1.
2n
故存在实数
a+丸
-1.使得数列｛为等差数列.
（II）由（
I）可得2n
=1,.d=1,且首项为
2
-=2.
2
an"1
2n
令bn=（n+1）2n且其前项和为；,
=2（n-1）=n1,.an
=（n1）2n1（nN）
Tn=22322-423「（n1）2n
2Tn=222323n2n（n1）2n1
①―②得_Tn=4■22■23■2n_（n*1）2^
2（2…2n）-（n1）2n1
n1nVn"1
=2-（n1）2二-n2
Tn=n2nSSn二n2n1n.
12分
15.解：
（I）tn=1时，
•••a1=1
•Sn=2-an即an+Sn=2•・an+1+S+1=2
a1+S=a1+a〔=2
••（1分）
两式相减：
an+1-an+S+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an
•••anM0•••电1=]（n€N*）（3分）
an2
11
所以，数列｛an｝为首项ai=1，公比为一的等比数列.an=（—）n」（n€N*）（4分）
22
（n）vbn+i=bn+an（n=1,2,3,…）
1n一
•bn+1-bn=（）-（5分）
2
得b2-b1=1
1
b3-b2=
2
b4-b3=
（1）2
2
（7分）
1n-2
bn-bn-1=（）（n=2,3,…）
2
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+1（I）2（丄）3
222
1n-1
（9分）
又Vb1=1,.・.bn=3-2（—）（n=1,2,3,…）
2
1n-1八
（川）Vcn=n（3-bn）=2n（）（10分）
2
11111
•Tn=2[（—）0+2（—）+3（—）2+…+（n-1）
（1）n-2+n（—）n-1]①（11分）
22222
111111
而Tn=2[（）+2（）2+3（）3+…+（n-1）（）2.门（_）n]②
222222
①-②得：
十宀中吵+中…丁宀咱
Tn=4
1-
（1）n
1-2
=8-（8+4n）
1
尹,2,
3,…）
（14分）
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