平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆.docx
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平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆
三、阿波罗尼斯圆
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆
锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之
一。
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平而轨迹》一书中，曾研究了众多的平而轨迹问题，其中有如下
结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.
如图，点人3为两泄点，动点P满足PA=aPB，则久=1时，动点P的轨迹为直线：
当&H1时，动点P的轨迹
为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
证：
设AB=2m（m>O\PA=APB・以A3中点为原点，直线43为x轴建立平而直角坐标系，则
A（-加,0）,B（m,0）.又设C（x,y）,则由PA=APB得yj（x+m）+y2=2^（x-/»）2+y2,两边平方并化简整理得（才一1）x2-2m（22+1）x+（才一1）），2=〃?
2（1一才），
当兄=1时.%=0,轨迹为线段A3的垂直平分线;
22+1
轨迹为以点（h—心0）为圆心,
/C_1
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯宦理.
例1：
（2008.江苏卷，13题）满足条件AB=ZAC=>J2BC的AA3C的面积的最大值是（）
【解析1】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立建立直角坐标系.因为有c=h2=>/2•代入
阿波罗圆公式得：
（x-3）2+y2=8o设圆心为M,显然CM丄兀轴时，A4BC而积最大，此时|CM|=2>/2,/.（=1-2.272=2^2.
【解析2】利用余弦定理和函数的最值问题处理
设AC=41BC=,所以：
cosC=•"匚4〜.匸，〔+严厂一一"
2y/2x22迈x
以43中点为原点，直线43为兀轴建立平面直角坐标系，则A（—1,0）,B（h0）,
设C（x,y）,由AC=V2BC得Jd+lF+b=近・仏_1）2+于,整理得：
屮=_〒+6x—1=-（x—3）2+8S8,・•・卜|52运,
则Swe=-x・2卜I<2^2,所以的最大值是2迈・
2
【解析4】性质1:
r=MB・M4
性质2：
评注：
既然存在，说明英轨迹不包括与x轴的两个交点P、Q,现在问P0这两点究竟有什么性质？
DA（JA
由于莎=忑=迈，：
・CP为AABC的内角平分线；同理，CQ为AABC的外角平分线。
这就是说P0分别是线段A3的内分点和外分点，而PQ1E是阿氏圆的直径。
于是''阿波罗尼斯圆”在中国又被称为“内外圆”.因此，又有如下的轴上简洁解法：
•・•动点C到泄点力（-1,0）和3（1,0）距离之比为血，则有lx+ll=V2IX-1I,
=>x2+2x4-1=2（疋—2x+l）=>x2—6x+l=0=>x=3±2\/2f
・•.得心=3-2近为内分点，x2=3+2^2为外分点.圆半径『=+（吃-州）=2血，即为三角形高的最大值，即AABC高的最大值是2“.故AABC的面积的最大值是2^2•
例2：
（2006,四川文8理6）已知两定点4（-2,0）5（1,0）,如果动点p满足|凸=料,则点P的轨迹所包围的而积等于（）
A•“B.4龙C.8zrD.9兀
【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。
设O为坐标原点，注意到|OA|=2|OB|,可知原点0为线段A3的内分点.设AB的外分点为C（x,0）,
由舒=2n甘=2=>x=4,即有C（4,0）.于是圆直径为|OC|=2厂=4,.・・广=2,所求轨迹面积S=qT=4兀，故选B.
评注：
本题条件中的关于〉'轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一泄是圆，圆面积只
2cA13
与半径有关，而半径公式为r=-T7P>当c=-|/lB|=-,2=2时，直接代入即得r=2o
例3：
△ABC中，角C的平分线交A3于点T、且AT=2JB=\若ABh的髙线长为2,求AABC的周长.
【解析】直角坐标系，由条件知兄=
的外分点为G（x,O）,V^l=—
GBa—1
聲爵2,故点C的轨迹是阿波罗圆D，的内分点。
设AB
=2,•••x=4,即圆直径|TG|=2r=4,r=2,故点D（2,0）・已知A4BC中
AB上的高线长为2,即仞丄叭且|CD|=2,由勾股定理得:
\CA\=2^5冋=&v\AB\=3,
故所求三角形A4BC的周长心肚=3+3腐・
例4•有关性质:
1满足上而条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照左比人内分A3和外分A3所得的两个分点:
2
直线CM平分ZACB,直线GV平分ZACB的外角；
-AMAN
3——=——
BMBN
4
CM丄CN
5兄>1时，点B在圆O内：
0
6若AC.AD是切线，则CD与AO的交点即为B；
7若点3做圆0的不与CD重合的弦EF,则A3平分ZEAF：
例5.（2006四川髙考理）已知两泄点A（—2,0）.3（1,0）.如果动点F满足\PA\=2\PB\,则点F的轨迹所包用的图形的而积等于（）
扎7TB.4?
rC.87FD.9tt
解：
B
例6.（2008江苏高考）AABC中，AB=2,AC=2BC,贝ij的最大值为.
答案：
-
3
例7.AABC中，AB=4,C4:
CB=5:
3,则肚的最大值为•
答案：
—
2
阿波罗尼斯圆的PA+kPB应用
一.背景介绍：
“PA+k・PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短
问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的
正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在宜线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在宜线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
二.阿波罗尼斯圆模型建立
如图1所示，QO的半径为r,点A、B都在00夕卜，P为0O上一动点，已知旦・0B,连接PA、PB,则当“PAH・PB”的值最小时，P点的位置如何确定?
模型解读：
最早见篁PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个,故如何确左“k•PB”的大小是关键，如图2,在线段0B上截取0C使0C“・r,则可说明△BP0与△PC0相似，即k・PB二PC。
故本题求“PA+k・PB"的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，aPA^PC"值最小。
如图3
三.“阿氏圆”模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第•步：
连接动点于圆心O（•般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连），即连接OB、OPx
OCOP
回顾图2,在OB上取点C构建一=——的目的是为了形成"母了型相似模型”,'‘母了•型相似”的构建是“阿OPOB
氏圆”模型破解的“核武器”，“母了型相似”•出，“阿氏圆”宜接秒杀。
将图2中△BPO单独提取出，如图4,
上色渲染的△PCOs'bpo、就是“母了型相似模型”，“母/型相似模型”的特点如图4,APCO与HBPO有公共ocOP
角ZO,且一=——（在某些角度处理策略题中，"母子型相似”的主要特征是ZO二ZO、ZBMOPC）
OP0B
nrOP
（构造出"COSHBPO后可以得到一=进而推diOP=OBOC\^半径的平方二原有线段X构造线段”,
OPOB
确定C的位置后，连接AC.求出AC长度邛可氏圆”即可破解）
四•“阿氏圆”典型例题讲解
例1：
如图1,在RtAABC中，ZACB=90a,CB=4.CA=6,0C半径为2,P为圆上一动点，连接AP.BP,求AP+-BP的最小值.
2
CP\CP\1
解答：
如图2,连接CP,因为CP二2,AC=6,BC=4,简单推算得——=一，——=一，而题目中是求uAP+-BPAC3CB22
”其中的“k二,故舍弃在AC上取点，应用“空=丄”，所以在CB上取-点D,使CD=1,则有
2CB2
CDCPPD11i
=——=一，无论P如何移动…'PCD与△BCP始终相似，故PD=-BP始终成立，所以AP+-BP
CPCBBP222
MP+PD其中4、D为定点，故4、P、D三点共线时最小，AP+-BP=AP+PD=yiAC2+CD2=^37
2
（思考：
若求BP+-PA呢？
）
3
例2：
己知扇形COD中，ZCOD=90,OC=6.OA=3,OB=5f点P是弧CD上•点，求2PA十PB的最小值.解答：
首先连接OP,因为"二6,04=3,OB二5,所以竺=丄,题目求的是3PA+PB”,
OP2OP6
AO1
其中的5=2”与之相关的是——=一，故在OA上取点，考虑到是2PA.故在OC上取点H,使OH=12,则有OP2
AOOPAP1
——=——=——=-,无论P如何移动，^PAO与HHPO始终相似，故PH=2PA始终成立，所以2PA十PB二PH十PB,
OPOHPH2
其中H、B为定点，故H、P、B三点共线时最小，2PA+PB=PH+PB=JOH?
+OB》=\3・（思考：
若求AP+gpB呢？
）
例3：
如图1,正方形ABCD边长为4.0B的半径为2,P是03上•动点，则、运PD十4PC的最小值?
较这三条线段啊），感觉好像和“迈PD・4PC”没关系啊！
实际上对'‘阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线
段是圆心到“•动两点”，在此题中，“・动”指的是“动点PJ“两定”不是指爪C,而是要看问题FP»4PC”
RP1Rp
问题中p为动点，c、D才是定点，故本题应该比较荒拄而亏，故选择在WH（如图2）'使
/TrhRpph巧冋
得射7=、二，则有一=—=—=、二,所以无论P如何移动，与5DBP始终相似，故BH=—
2BPBDPD42
（2
始终成立，所以V2PZ）+4PC=4（PC+—PD）=4（PC+PH）其中H、C为定点，故H、P、C三点共线时最小,
4
y[2PD+4PC=4（PC+—PD）=4HC=4y/PM2+MC2=
4
（思考：
若求P"护呢？
）
例4.阿波罗尼斯是古希腊著划数学家，与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点M与两泄点q、B的距离之比为几（2>0，兄Hi）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆：
x2+y2=\和点丄,0、点M为圆。
上动点，则
I2丿
的最小值为（）
A.^6B.y/lC.尿D.VFT
解析1.令2\MA\=\MC\,则牆斗由题意可得圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆，且z=|e
\a+b-c\+2\c-b\最小值为
图1图2
【答案】f解法一：
阿波罗尼斯圆解析：
AC.
I
_2-
1AC.
1
.2.
_1_血，因为题目所求:
2AD
1
2AB
V2
2血4
CD+2BD=2C^-CD+BD）9所以连接AC.在线段ADt取点如图1，使巻=[=AH=J
2AC24
••竺=兰=竺=丄，即：
AACH相似于△ACD，即：
CD+2BD=2（-CD+BD）=2（CH+BD）,当ADACDC22
CHB三点共线时取最小值如图2,所以H（1丄）,3（0」），所以：
BH=Jl2+（-）2=-a2BH=-
4V442
例6.如图1,在已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60e,OB的半径为2,P为OB上一动点，则上PD+6PC的最小值？
图1图2
解答：
比较BP、BC、PD戶普=耳罟今,故在BD上取点H,使刃7=斗，故黑=箫磊弋弋PD、®D+6PC=6（PC+%PD）=6（PC+PH）
=6^iHM2+MC2=2VTh
（思考：
若求PD+-PC呢？
）
2
【解析3】建立平面直角坐标系处理最值问题
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