平面向量的数量积的物理背景及其含义.docx

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平面向量的数量积的物理背景及其含义

平面向量的数量积的物理背景及其含义

　　4.1

　　一、教材分析

　　本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：

平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

　　二．教学目标

　　．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

　　．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

　　．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

　　三、教学重点难点

　　重点：

1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。

　　难点：

平面向量数量积的概念

　　四、学情分析

　　我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。

有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细

　　五、教学方法

　　．实验法：

多媒体、实物投影仪。

　　．学案导学：

见后面的学案。

　　．新授课教学基本环节：

预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

　　六、课前准备

　　．学生的学习准备：

预习学案。

　　．教师的教学准备：

多媒体制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

。

　　七、课时安排：

1课时

　　八、教学过程

　　预习检查、总结疑惑

　　检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

　　情景导入、展示目标。

　　创设问题情景，引出新

　　提出问题1：

请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？

这些运算的结果是什么？

　　期望学生回答：

向量的加法、减法及数乘运算。

　　提出问题2：

请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？

我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

　　期望学生回答：

物理模型→概念→性质→运算律→应用

　　新课引入：

本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：

平面向量数量积的物理背景及其含义

　　合作探究，精讲点拨

　　探究一：

数量积的概念

　　给出有关材料并提出问题3：

　　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

　　那么力F所做的功：

=|F||S|cosα。

　　这个公式的有什么特点？

请完成下列填空：

　　①是量，

　　②F是量，

　　③S是量，

　　④α是。

　　你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

　　期望学生回答：

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

　　明晰数量积的定义

　　数量积的定义：

　　已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱•︱b︱cos叫做与的数量积，记作：

•，即：

•=︱︱•︱︱cos

　　定义说明：

　　①记法“•”中间的“•”不可以省略，也不可以用“”代替。

　　②“规定”：

零向量与任何向量的数量积为零。

　　提出问题4：

向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？

影响数量积大小的因素有哪些？

　　期望学生回答：

线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。

　　学生讨论，并完成下表：

　　的范围

　　0°≤<90°

　　=90°

　　0°<≤180°

　　•的符号

　　例1：

已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求•.

　　解：

①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，

　　∴•＝｜｜•｜｜cos0°＝3×6×1＝18；

　　若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

　　∴•＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×＝－18；

　　②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，

　　∴•＝０；

　　③当与的夹角是60°时，有

　　•＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9

　　评述：

两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.

　　变式：

对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。

　　探究二：

研究数量积的意义

　　给出向量投影的概念：

　　如图，我们把││cos

　　叫做向量在方向上的投影，

　　记做：

oB1=︱││︱cos

　　提出问题5：

数量积的几何意义是什么？

　　期望学生回答：

数量积•等于的长度︱︱与在的方向上的投影

　　︱︱cos的乘积。

　　研究数量积的物理意义

　　请同学们用一句话来概括功的数学本质：

功是力与位移的数量积。

　　探究三：

探究数量积的运算性质

　　提出问题6：

　　比较︱•︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

　　明晰：

数量积的性质

　　数量积的运算律

　　提出问题7：

我们学过了实数乘法的哪些运算律？

这些运算律对向量是否也适用？

　　预测：

学生可能会提出以下猜想：

　　①•=•

　　②=

　　③•=•+•

　　分析猜想：

　　猜想①的正确性是显而易见的。

　　关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：

猜测②的左右两边的结果各是什么？

它们一定相等吗？

　　期望学生回答：

左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。

　　明晰：

数量积的运算律：

　　例2、已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求•，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

　　解：

•=.-3.+2.-6.

　　=36-3×4×6×0.5-6×4×4

　　=-72

　　评述：

可以和实数做类比记忆数量积的运算律

　　变式：

2=2+2•+2

　　•=2—2

　　反思总结，当堂检测。

　　教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

　　设计意图：

引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。

　　发导学案、布置预习。

　　我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。

模。

夹角。

这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用

　　设计意图：

布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。

教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

　　九、板书设计

　　十、教学反思

　　本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。

课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和

　　几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。

通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。

比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

　　临清三中数学组编写人：

王晓燕审稿人：

刘桂江李怀奎

　　4.1

　　课前预习学案

　　一、预习目标：

　　预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；

　　二、预习内容：

　　平面向量数量积的定义：

2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

　　．“投影”的概念：

作图

　　向量的数量积的几何意义：

　　．两个向量的数量积的性质：

　　设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.

　　e=e=

　　=

　　设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.

　　e=e=

　　当与同向时，=当与反向时，=特别的=||2或

　　cos=

　　||≤||||

　　三、提出疑惑：

　　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

　　疑惑点疑惑内容

　　课内探究学案

　　一、学习目标

　　说出平面向量的数量积及其几何意义；

　　学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

　　了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

　　学习重难点：

。

平面向量的数量积及其几何意义

　　二、学习过程

　　创设问题情景，引出新

　　提出问题1：

请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？

这些运算的结果是什么？

　　提出问题2：

请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？

我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

　　新课引入：

本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：

平面向量数量积的物理背景及其含义

　　探究一：

　　数量积的概念

　　给出有关材料并提出问题3：

　　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

　　那么力F所做的功：

=

　　这个公式的有什么特点？

请完成下列填空：

　　①是量，

　　②F是量，

　　③S是量，

　　④α是。

　　你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

　　明晰数量积的定义

　　数量积的定义：

　　已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱•︱︱cos叫做与的数量积，记作：

•，即：

•=︱︱•︱︱cos

　　定义说明：

　　①记法“•”中间的“•”不可以省略，也不可以用“”代替。

　　②“规定”：

零向量与任何向量的数量积为零。

　　提出问题4：

向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？

影响数量积大小的因素有哪些？

学生讨论，并完成下表：

　　的范围

　　0°≤<90°

　　=90°

　　0°<≤180°

　　•的符号

　　例1：

已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求•.

　　解：

　　变式：

　　对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.

　　探究二：

研究数量积的意义

　　给出向量投影的概念：

　　如图，我们把││cos

　　叫做向量在方向上的投影，

　　记做：

oB1=︱││︱cos

　　提出问题5：

数量积的几何意义是什么？

　　研究数量积的物理意义

　　请同学们用一句话来概括功的数学本质：

　　探究三：

探究数量积的运算性质

　　提出问题6：

比较︱•︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

　　明晰：

数量积的性质

　　数量积的运算律

　　提出问题7：

我们学过了实数乘法的哪些运算律？

这些运算律对向量是否也用？

　　明晰：

数量积的运算律：

　　例2、已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求•，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

　　解：

　　变式：

2=2+2•+2

　　•=2—2

　　反思总结

　　当堂检测

　　已知||=5，||=4，与的夹角θ=120o，求•.

　　已知||=6，||=4，与的夹角为60o求•

　　已知||=3，||=4，且与不共线，为何值时，向量+与-互相垂直.

　　已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求•.

　　已知||=1，||=，若∥，求•；若、的夹角为６０°，求|+|；若-与垂直，求与的夹角.

　　设、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2+n与=2n-3的夹角.

　　课后练习与提高

　　已知||=1，||=，且与垂直，则与的夹角是

　　A.60°B.30°c.135°D.４５°

　　已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量=-4的模为

　　A.2B.2c.6D.12

　　已知、是非零向量，则||=||是与垂直的

　　A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

　　c.充要条件D.既不充分也不必要条

　　已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|•|-|=.

　　已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么•=.

　　已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则２＝______.

　　参考答案：

　　D2.B3.A

　　5.1446.11