向量在平面几何中的应用.doc
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向量在平面几何中的应用
向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身,向量的双重身份(既是几何对象又是代数运算对象)决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量,好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状,证明全等,直线平行、垂直,求线段的长度,夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁,它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.
利用向量解答平面几何问题的一般步骤是:
1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式;2.确定必要的基底向量,并用基地表示其他向量;3.借助于向量的运算解决问题.
共线定理的作用:
用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题.但是向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括重合的情况.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.
相关结论:
1.平面上三点共线.(向量共线且有公共点才能得出三点共线.)
2.点为线段的中点,为平面内的任意一点.
3.平面上三点共线为不同于的任意一点,且.
应用一:
应用向量知识证明三点共线
例1:
如图已知△ABC两边的中点分别为,在延长线上取点,使,在延长线上取点,使.
求证:
三点共线
解:
设,则,
由此可得,,
,
,
即,故有,且它们有公共点,
所以三点共线.
应用二:
应用向量知识解决有关平行的问题
例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.
已知:
如图,四边形的中点.
求证:
四边形是平行四边形.
分析:
要证平行四边形,只需证一组对边平行且相等,即它们所对应的向量相等.
证明:
连接的中点,
同理
四边形是平形四边形.
应用三:
应用向量知识解决有关垂直的问题
向量垂直的相关结论:
数量积:
坐标表示:
例3、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示,已知
分析:
要证∠ACB=90°,只须证向量,即.
解:
设,则,
由此可得:
即,即,.
应用四:
求解证明有关长度的问题
利用可以用来求线段的长度.
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.
已知:
平行四边形ABCD.
求证:
分析:
因为平行四边形对边平行且相等,故设,选其为一组基地,表示其它线段.
解:
设,
则
在三角形中一些常见的结论:
性质1设为所平面内一点,则是外心的重要条件是.
性质2设重心的重要条件是0.
性质3设为所在平面内一点,则是垂心得重要条件是:
.