高中教育高中数学 131函数的单调性与导数练习 新人教A版选修22doc.docx

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高中教育高中数学131函数的单调性与导数练习新人教A版选修22doc

高中数学1.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修2-2

一、选择题

1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，－1]和[0,1]

B．[－1,0]和[1，＋∞）

C．[－1,1]

D．（－∞，－1]和[1，＋∞）

[答案]　A

[解析]　y′＝4x3－4x，

令y′<0，即4x3－4x<0，

解得x<－1或0

2．函数f（x）＝ax3－x在R上为减函数，则（　　）

A．a≤0B．a<1

C．a<2D．a≤

[答案]　A

[解析]　f′（x）＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.

3．（2015·吉林市实验中学高二期中）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（　　）

A．（－3,0）∪（3，＋∞）

B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

D．（－∞，－3）∪（0,3）

[答案]　D

[分析]　由x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0可确定F（x）＝f（x）g（x）在x<0时的单调性，再由f（x）与g（x）的奇偶性可得出x>0时F（x）的单调性．再结合g（－3）＝0，可得结论．

[解析]　设F（x）＝f（x）g（x），当x<0时，

∵F′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0.

∴F（x）当x<0时为增函数．

∵F（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－F（x）．

故F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上亦为增函数．

已知g（－3）＝0，必有F（－3）＝F（3）＝0.

构造如图的F（x）的图象，可知F（x）<0的解集为x∈（－∞，－3）∪（0,3）．

故选D.

4．函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）内的零点个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[答案]　B

[解析]　本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．

∵f（x）＝2x＋x3－2,00在（0,1）上恒成立，∴f（x）在（0,1）上单调递增．

又f（0）＝20＋0－2＝－1<0，f

（1）＝2＋1－2＝1>0，f（0）f

（1）<0，则f（x）在（0,1）内至少有一个零点，

又函数y＝f（x）在（0,1）上单调递增，则函数f（x）在（0,1）内有且仅有一个零点．

5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（　　）

[答案]　C

[分析]　由导函数f′（x）的图象位于x轴上方（下方），确定f（x）的单调性，对比f（x）的图象，用排除法求解．

[解析]　由f′（x）的图象知，x∈（－∞，0）时，f′（x）>0，f（x）为增函数，x∈（0,2）时，f′（x）<0，f（x）为减函数，x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）为增函数．

只有C符合题意，故选C.

6．设函数F（x）＝

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）

A．f

（2）>e2f（0），f（2016）>e2016f（0）

B．f

（2）e2016f（0）

C．f

（2）

D．f

（2）>e2f（0），f（2016）

[答案]　C

[解析]　∵函数F（x）＝

的导数

F′（x）＝

＝

<0，

∴函数F（x）＝

是定义在R上的减函数，

∴F

（2）

<

，故有f

（2）

同理可得f（2016）

二、填空题

7．函数y＝ln（x2－x－2）的单调递减区间为__________________．

[答案]　（－∞，－1）

[解析]　函数y＝ln（x2－x－2）的定义域为

（2，＋∞）∪（－∞，－1），

令f（x）＝x2－x－2，f′（x）＝2x－1<0，得x<

，

∴函数y＝ln（x2－x－2）的单调减区间为（－∞，－1）．

8．（2014～2015·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考）已知函数f（x）＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________________．

[答案]　（－∞，0]

[解析]　∵f（x）＝x3－ax2－3x，∴f′（x）＝3x2－2ax－3，

又因为f（x）＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞）上是增函数，

f′（x）＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞）上恒成立，

∴

解得a≤0，

故答案为（－∞，0]．

9．（2014～2015·郑州网校期中联考）若f（x）＝－

x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________________．

[答案]　b≤－1

[解析]　f（x）在（－1，＋∞）上为减函数，∴f′（x）≤0在（－1，＋∞）上恒成立，∵f′（x）＝－x＋

，∴－x＋

≤0，∵b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立，∴b≤－1.

三、解答题

10．（2014～2015·甘肃省金昌市二中期中）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a、b∈R）的图象过点P（1,2），且在点P处的切线斜率为8.

（1）求a、b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间．

[解析]　

（1）∵函数f（x）的图象过点P（1,2），

∴f

（1）＝2.

∴a＋b＝1.①

又函数图象在点P处的切线斜率为8，

∴f′

（1）＝8，

又f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

∴2a＋b＝5.②

解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.

（2）由

（1）得f′（x）＝3x2＋8x－3，

令f′（x）>0，可得x<－3或x>

；

令f′（x）<0，可得－3

.

∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－3），（

，＋∞），单调减区间为（－3，

）．

一、选择题

11．（2015·新课标Ⅱ理，12）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（0,1）　B．（－1,0）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（－1,0）　D．（0,1）∪（1，＋∞）

[答案]　A

[解析]　记函数g（x）＝

，则g′（x）＝

，因为当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，故当x>0时，g′（x）<0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减；又因为函数f（x）（x∈R）是奇函数，故函数g（x）是偶函数，所以g（x）在（－∞，0）上单调递增，且g（－1）＝g

（1）＝0.当00，则f（x）>0；当x<－1时，g（x）<0，则f（x）>0，综上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0,1），故选A.

12．（2014～2015·北京西城区期末）已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（　　）

①f（x）＝x2，②f（x）＝e－x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tanx，⑤f（x）＝x＋

A．2B．3

C．4D．5

[答案]　B

[解析]　①中的函数f（x）＝x2，f′（x）＝2x，要使f（x）＝f′（x），则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f（x）＝f′（x），则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f（x）＝f′（x），则lnx＝

，由函数f（x）＝lnx与y＝

的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f（x）＝f′（x），则tanx＝

，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f（x）＝f′（x），则x＋

＝1－

，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g（x）＝x3－x2＋x＋1，g′（x）＝3x2－2x＋1>0且g（－1）<0，g（0）>0，显然函数g（x）在（－1,0）上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.

13．（2015～2016·临沂质检）函数f（x）的定义域为R，f（－2）＝2017，对任意x∈R，都有f′（x）<2x成立，则不等式f（x）>x2＋2013的解集为（　　）

A．（－2,2）B．（－2，＋∞）

C．（－∞，－2）D．（－∞，＋∞）

[答案]　C

[解析]　令F（x）＝f（x）－x2－2013，则F′（x）＝f′（x）－2x<0，∴F（x）在R上为减函数，

又F（－2）＝f（－2）－4－2013＝2017－2017＝0，

∴当x<－2时，F（x）>F（－2）＝0，

∴不等式f（x）>x2＋2013的解集为（－∞，－2）．

14．已知函数y＝xf′（x）的图象如图

（1）所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′（x）<0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数．

当x>1时xf′（x）>0，∴f′（x）>0，故y＝f（x）在（1，＋∞）上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

二、填空题

15．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（2a－3）x－1.

（1）若f（x）的单调减区间为（－1,1），则a的取值集合为________________．

（2）若f（x）在区间（－1,1）内单调递减，则a的取值集合为________________．

[答案]　

（1）{0}　

（2）{a|a<0}

[解析]　f′（x）＝3x2＋2ax＋2a－3＝（x＋1）（3x＋2a－3）．

（1）∵f（x）的单调减区间为（－1,1），

∴－1和1是方程f′（x）＝0的两根，

∴

＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．

（2）∵f（x）在区间（－1,1）内单调递减，∴f′（x）<0在（－1,1）内恒成立，又二次函数y＝f′（x）开口向上，一根为－1，∴必有

>1，∴a<0，

∴a的取值集合为{a|a<0}．

[点评]　f（x）的单调减区间为（m，n），则必有f′（m）＝0，f′（n）＝0或x＝m，x＝n是函数f（x）的不连续点，f（x）在区间（m，n）上单调递减，则（m，n）是f（x）的单调减区间的子集，f′（x）≤0在（m，n）上恒成立．

16．（2014～2015·衡阳六校联考）在区间[－a，a]（a>0）内图象不间断的函数f（x）满足f（－x）－f（x）＝0，函数g（x）＝ex·f（x），且g（0）·g（a）<0，又当00，则函数f（x）在区间[－a，a]内零点的个数是________________．

[答案]　2

[解析]　∵f（－x）－f（x）＝0，∴f（x）为偶函数，

∵g（x）＝ex·f（x），∴g′（x）＝ex[f′（x）＋f（x）]>0，

∴g（x）在[0，a]上为单调增函数，

又∵g（0）·g（a）<0，

∴函数g（x）＝ex·f（x）在[0，a]上只有一个零点，

又∵ex≠0，

∴f（x）在[0，a]上有且仅有一个零点，

∵f（x）是偶函数，且f（0）≠0，∴f（x）在[－a，a]上有且仅有两个零点．

三、解答题

17．已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋3x＋1.

（1）当a＝－

时，讨论f（x）的单调性；

（2）若x∈[2，＋∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

[解析]　

（1）当a＝－

时，f（x）＝x3－3

x2＋3x＋1，

f′（x）＝3x2－6

x＋3.

令f′（x）＝0，得x1＝

－1，x2＝

＋1.

当x∈（－∞，

－1）时，f′（x）>0，f（x）在（－∞，

－1）上是增函数；

当x∈（

－1，

＋1）时，f′（x）<0，f（x）在（

－1，

＋1）上是减函数；

当x∈（

＋1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）在（

＋1，＋∞）上是增函数．

（2）由f

（2）≥0得a≥－

.

当a≥－

，x∈（2，＋∞）时，

f′（x）＝3（x2＋2ax＋1）≥3（x2－

x＋1）＝3（x－

）（x－2）>0，

所以f（x）在（2，＋∞）上是增函数，于是当x∈[2，＋∞）时，f（x）≥f

（2）≥0.

综上，a的取值范围是[－

，＋∞）．

18．（2014～2015·山师附中学分认定考试）已知函数f（x）＝alnx＋

＋x（a>0）．若函数y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线x－2y＝0垂直．

（1）求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间．

[解析]　

（1）f′（x）＝

－

＋1，

∵f′

（1）＝－2，∴2a2－a－3＝0，

∵a>0，∴a＝

.

（2）f′（x）＝

－

＋1＝

＝

，

∵当x∈（0，

）时，f′（x）<0；当x∈（

，＋∞）时，f′（x）>0，

∴f（x）的单调递减区间为（0，

），单调递增区间为（

，＋∞）．