数值计算作业.docx
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数值计算作业
数值计算
作业1：
方程求根的二分法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy01.m如下：
function[x_star,k]=xy01（fun,a,b,e）
ifnargin<4;end
fa=feval（fun,a）;fb=feval（fun,b）;
iffa*fb>0x_star=[fa,fb];k=0;return;end
k=1;
whileabs（b-a）/2>e
x=（a+b）/2;fx=feval（fun,x）;
iffx*fa<0
b=x;fb=fx;
else
a=x;fa=fx;
end
k=k+1;
end
x_star=（a+b）/2;
第二步：
（1）在MATLAB命令窗口求解方程sinx+9x-2=0在自变量区间[0，1]上的近似实根，并使误差不超过
。
输入并得到结果如下图
即结果为0.1997，二分次数为11次。
（2）改变输入参数，计算误差不超过
的近似实根，并给出二分的次数，输入并得到结果如下图：
即结果为0.2001，二分次数为35次。
实验分析与结论：
由上面二分法的实验结果，我们可以得出这样的结论：
二分法要循环k=11次，才能达到精度为
的要求。
要循环35次，才能达到精度为
的要求。
作业2：
方程求根的迭代法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy02.m如下：
function[z,k]=xy02（fun,x0,ep,Nmax）
ifnargin<4
Nmax=500;
end
ifnargin<3
ep=1e-5;
end
x=x0;
x0=x+2*ep;
k=0;
whileabs（x0-x）>ep&kx0=x;
x=feval（fun,x0）
k=k+1
end
z=x;
ifk==Nmaxwaring;
end
第二步：
（1）在MATLAB命令窗口求解方程sinx+9x-2=0在自变量区间[0，1]上的近似实根，并使误差不超过
。
输入并得到结果如下图：
即结果为0.2002，循环次数为4次。
（2）精度为
时输入命令：
得到结果为
即结果为0.2001，循环12次。
作业3：
应用牛顿切线法求方程的根
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy03.m如下：
function[z,k]=xy03（fname,dfname,x0,ep,Nmax）
ifnargin<5
Nmax=500;
end
ifnargin<4
ep=1e-5;
end
x=x0;
x0=x+2*ep;
k=0;
whileabs（x0-x）>ep&kk=k+1
x0=x;
x=x0-feval（fname,x0）/feval（dfname,x0）;
end
z=x;
ifk==Nmaxwaring;
end
（1）精度为
，输入命令并得到结果如下图：
即结果为0.2001，迭代3次。
（2）精度为
，输入命令并得到结果如下图：
即结果为0.2001，迭代4次。
作业4：
应用迭代法解线性方程组
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy05.m如下：
function[x,k]=xy05（A,b,x0,ep,Nmax）
n=length（A）;k=0;
ifnargin<5Nmax=500;end
ifnargin<4ep=1e-5;end
ifnargin<3x0=zeros（n,1）;y=zeros（n,1）;end
x=x0';x0=x+2*ep;
whilenorm（x0-x,inf）>ep&kfori=1:
n
y（i）=b（i）;
forj=1:
n
ifj~=i
y（i）=y（i）-A（i,j）*x0（j）;
end
end
ifabs（A（i,i））<1e-10|k==Nmax
warning（'已迭代上限次数'）
return
end
y（i）=y（i）/A（i,i）;
end
x=y;
end
输入命令并得到结果如下图：
编写高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组的程序如下：
function[x,k]=xy06（A,b,x0,ep,Nmax）
n=length（b）
ifnargin<5Nmax=500;end
ifnargin<4ep=1e-5;end
ifnargin<3x0=zeros（n,1）;end
x0=sparse（x0）;b=sparse（b）;A=sparse（A）;
x=x0;x0=x+2*ep;x0=sparse（x0）;k=0;A1=tril（A）;iA1=inv（A1）;
whilenorm（x0-x,'inf'）>ep&kx0=x;x=-iA1*（A-A1）*x0+iA1*b;
end
x=full（x）;ifk==Nmaxwarming（'已迭代上限次数'）;end
作业5：
牛顿插值法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy08.m如下：
functionyi=xy08（x,y,xi）
n=length（x）;
m=length（y）;
ifn~=m
error;
return;
end
Y=zeros（n）;
Y（:
1）=y';
fork=1:
n-1
fori=1:
n-k
ifabs（x（i+k）-x（i））error;
return;
end
Y（i,k+1）=（Y（i+1,k）-Y（i,k））/（x（i+k）-x（i））;
end
end
yi=0;
fori=1:
n
z=1;
fork=1:
i-1
z=z.*（xi-x（k））;
end
yi=yi+Y（1,i）*z;
end
输入命令并得到结果如下图：
作业6：
拟合
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy09.m如下：
functionp=xy09（x,y,m）
A=zeros（m+1,m+1）;
fori=0:
m
forj=0:
m
A（i+1,j+1）=sum（x.^（i+j））;
end
b（i+1）=sum（x.^i.*y）;
end
a=A\b';p=fliplr（a'）;
输入并得到结果为：
作业7：
Romberg求积算法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy10.m如下：
functiont=xy10（f,a,b,ep）
ifnargin<4,ep=1e-5;end
i=1;j=1;h=b-a;
T（i,1）=h/2*（feval（f,a）+feval（f,b））;
T（i+1,1）=T（i,1）/2+sum（feval（f,a+h/2:
b-h/2+0.001*h））*h/2;
T（i+1,j+1）=4^j*T（i+1,j）/（4^j-1）-T（i,j）/（4^j-1）;
whileabs（T（i+1,i+1）-T（i+1,1））>ep
i=i+1;h=h/2;
T（i+1,1）=T（i,1）/2+sum（feval（f,a+h/2:
h:
b-h/2+0.001*h））*h/2;
forj=1:
i
T（i+1,j+1）=4^j*T（i+1,j）/（4^j-1）-T（i,j）/（4^j-1）;
end
end
T
t=T（i+1,j+1）
I=t
输入并得到结果为：
作业8：
Gauss求积算法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy11.m如下：
functionI=xy11（fun,a,b,ep）
N=1;
h=（b-a）/N;I=0;
fork=1:
N
t=[-sqrt（3/5）0sqrt（3/5）];A=[5/98/95/9];
F=feval（fun,h/2*t+a+（k-1/2）*h）;
I=I+sum（A.*F）;
end
A=h/2*I;
N=N+1;
h=（b-a）/N;I=0;
fork=1:
N
t=[-sqrt（3/5）0sqrt（3/5）];A=[5/98/95/9];
F=feval（fun,h/2*t+a+（k-1/2）*h）;
I=I+sum（A.*F）;
end
B=h/2*I;
whileabs（A-B）>ep
N=N+1;h=（b-a）/N;I=0;
fork=1:
N
t=[-sqrt（3/5）0sqrt（3/5）];A=[5/98/95/9];
F=feval（fun,h/2*t+a+（k-1/2）*h）;
I=I+sum（A.*F）;
end
A=B;
B=h/2*I;
end
I=B;
N
输入命令并得到结果为：
作业9：
应用高斯消元法求解线性方程组
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy04.m如下：
functionx=xy04（A,b）
K=length（A）;
L=eye（K）;U=zeros（K）;
U（1,:
）=A（1,:
）;
L（2:
K,1）=A（2:
K,1）/U（1,1）;
fork=2:
K
U（k,k:
K）=A（k,k:
K）-L（k,1:
k-1）*U（1:
k-1,k:
K）;
L（k+1:
K,k）=（A（k+1:
K,k）-L（k+1:
K,1:
k-1）*U（1:
k-1,k））/U（k,k）;
end
L
U
A=[A';b]',n=length（b）;
fork=1:
n-1
fori=k+1:
n
m=A（i,k）/A（k,k）;
forj=k:
n+1
A（i,j）=A（i,j）-m*A（k,j）;
end
end
disp（A）
end
A（n,n+1）=A（n,n+1）/A（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
t=0;
forj=i+1:
n
t=t+A（i,j）*A（j,n+1）;
end
A（i,n+1）=（A（i,n+1）-t）/A（i,i）;
end
x=A（:
n+1）;
x
输入并得到结果为：
作业10：
拉格朗日插值法
第一步：
在MATLAB软件中，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件xy07.m如下：
functionyi=xy07（x,y,xi）
m=length（x）;n=length（y）;p=length（xi）;
ifm~=n
error;
end
s=0;
fork=1:
n
t=ones（1,p）;
forj=1:
n
ifj~=k,
t=t.*（xi-x（j））/（x（k）-x（j））;
end
end
s=s+t*y（k）;
end
yi=s;
输入并得到结果为：
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