数列极限的运算性质.docx

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数列极限的运算性质

极限的运算

教学目标

1•熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限.

2•理解和掌握三个常用极限及其使用条件•培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力.

3•正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想.

教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件.

教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：

高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个

1

常用极限：

lim=0,limc=c,limqn=0（|q|

nn^^n—

例1:

求下列极限：

师：

（1）中的式子如何转化才能求出极限.

生：

可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限.

315..315

7H—产■<—亍lim7-lim_卡]ini+lim

厚式lim-n口n_nf闆n■►竺

lim4-lim—nf«j

师:

（2）中含有幕型数，应该怎样转化?

可以转化成也/二0的形丸分卞分母同吋除以/

师：

分子、分母同时除以3n-1结果如何?

生：

结果应该一样.

师：

分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限?

生：

不能.因为冷=冲，g而㊁〉1.

+■■■+

.a_np+aD.inp_1+■■-+Sin+a0.、亠

师’当％m严+•••+»+%@和）妾曲

11

时，一般方怯是把分子、分母同除以n的最高次箒，转化成求数列｛扌｝

的极限问题.

当p=q吋，防严十当p

（二）先求和再求极限

例2求下列极限:

（-疔

（2）勰―*…+卜护」

由学生自己先做，教师巡视.

师；第

（1）题有的同学结果訓有的得令写出来大家分杭

判断正误.

解法1；原式=lim:

+lim?

+…+lim—

41_3+1

Ik->oo1h~*m1nf冈1

i—L1—Li-__

121212

nnn

=0+0+■■■+0=0.

解法厶凉式-lim4—（3：

n+1）-lim

「3na+5n

11

T

n">w2n-2

=lim——

2-

生：

因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况•此题当n

th,和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的.

师：

解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限•第

（2）题应该怎样做?

生：

用等比数列的求和公式先求出分母的和.

=12.

师：

例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件.

例3求下列极限:

⑴帕［4?

（胡（胡十制,

（2）lim

11

+

4*77*10

1

（3n-2）（3n+l）

师：

本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点,想出对策.

生：

（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形.

r

1

{1

1-

1-

—

1--

■用■

1

\3

1

4丿

1引

ln+N

234n+12n

=n.

345口+2n+2

故原式阿卷=2.

生：

（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形.

例4设首项为1，公比为q（q>0）的等比数列的前n项和为Sn,

设I"界此N+,率虹

师：

等比数列的前n项和Sn怎样表示?

生甲.s

H111-q

生乙:

当q=l时，=na^当會工1时，S*

l-q

师：

看来此题要分情况讨论了.

生：

最简单的情况是当吋，S=naT=ns则£=_-n

limL=1.

1-严

师：

回答正确・时’T肿]_q九，型T"?

生因理輕严0中，|q|<1,所以当qH1时，还要再分情况

讨论.当时，liwTn=q;当OVqCl时，limT尸1・

师：

综合两位同学的讨论结果，解法如下:

解:

当q=1时毘=2]=口$则Z

当q〉0且q壬1吋，Sft=

l—q

1-严

当OJ<1时丿躬靜町+刊

「]"

]=产1q

当乌〉1时jlimT=Itm—hm-■■=q.

T冲血十T1!

!

11-+W]-qtt1

—-1

W丿

因此当0

；="当Q〉1时，』里霭=乞

师：

本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化•同

学们在利Jimq^O,|q|

（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限

师：

禾U用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的

绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：

其中町是数列的首项，q为公比.

1-q

例5计算：

⑴数列》春务3哼…所有项的和；

⑵无穷等比数列血+1,1,72-1,…所有奇数项的和・

题目不难，可由学生自己做.

师：

（i）中的数列有什么特点？

生，首项业是:

公比是冷的无穷等比数列.再<1,可以直

2

接用公式—7^—T=1

师：

（2）中求所有奇数项的和实质是求什么?

主颊是求无穷等比数列Q+1,炉1,…所有项的和屮

恵-1

q=7Ti

=3-2^2

血+1

1-3+2池

师:

使用淀七要注意三个问题:

（1）所给数列是等比数列;

（2）公比的绝对值小于1；

⑶前跡与所有项和的关系F叭亡

（四）利用极限的概念求数的取值范围

■J_

例6⑴己知応1?

［巴亠专,求刪L

卄oo3亠5n2

产1

（2）已知hm—&=-,求m的取值范围*

+（m-2）2

师：

（1）中a在一个等式中，如何求出它的值.

生：

只要得到一个含有a的方程就可以求出来了.

师：

同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程?

生：

先求极限.

11

解;

1+n+an2na+n+aalitn=：

‘殳•=litn—*=-匚

n->»3_5niv+to35

25

T

师：

（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？

生，观察所给等式的左侧，发现要求极限需要利,这里

|q|v1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围.

解匕

=lim—

HT■閒

由己知，上式值为因此1规

2旷皿

二0,

于是有

2+

师：

请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型?

生：

主要有三种类型：

（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限;

（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；

（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限.

师：

求数列极限应注意的问题是什么？

生甲：

要注意公式使用的条件.

生乙：

要注意有限项和与无限项和的区别与联系.

上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充.

（五）布置作业

1•填空题:

⑴応驾1=；

rtfoon/

⑵E辿匚沁.

!

!

-＞饨3n-+4

.2+4+6十■"+2n

2"Ml+3+5+-+（2n+l）

（4）hm

nfco

n2+3

1+2+22+"*卡211-1n皿—

n+l+ln+1

（7）当0＜b＜日吋，lim—t—

ii-*«a+b

2•选择题:

C1）数歹U{aJ的通项公式为（.?

--jK）11・若理静存在,

则x的取值范围是[].

（2）若lim〔五％4>）=7・lim（33^-Mb）=-1,则lim（3^+b）

n-*«»11H^->w从n-*M"

的值是[]•

A.2B.-2C.1D.-1

作业答案或提示

L

（1）Os⑵甘⑶1；（4）-h（5）h（6）S

（7）a.

2•选择题:

_24

（1）犍示’当卩-划＜1时,』册益二0,解得当3-5x=l

2

时,hman=l,MWk=—.故选C・n**M5

（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程

故］輒〔兔+S、=2,故选A.

以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用.

课堂教学设计说明

1•掌握常用方法，深化学生思维.

数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题

思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？

对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用•例1的设计就是以此为目的的.

2•展示典型错误，培养严谨思维.

第二课时数列极限的运算性质

教学目标：

1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限

2、掌握重要的极限计算公式：

lim（1+1/n）n=e

教学过程：

一、数列极限的运算性质

如果liman=A,limbn=B，那么

（1）lim（an+bn）=liman+limbn=A+B

（2）lim（an-bn）=liman-limbn=A-B

（3）lim（an占n）=liman*limbn=A（4）lim（an/bn）=liman/limbn=A/B（B亍0,bn才0）

注意：

运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的

项及其极限都不为零。

数列的和的极限的运算性质可推广为：

如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应

各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。

类似地，

对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。

注意：

上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。

二、求数列极限

1、lim（5+1/n）=52、lim（n2-4）/n2=lim（1-4/n2）=1

3、lim（2+3/n）2=44、lim[（2-1/n）（3+2/n）+（1-3/n）（4-5/n）]=10

5、lim（3n2-2n-5）/（2n2+n-1）=lim（3-2/n-5/n2）/（2+1/n-1/n2）=3/2

分析：

由于lim（3n2-2n-5）及lim（2n2+n-1）都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。

为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。

在变形

时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。

4、一个重要的数列极限

我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列（1+1/n）n的极限。

lim（1+1/n）n=e（证明将在高等数学中研究）

求下列数列的极限

lim（1+1/n）2n+1=lim（1+1/n）n當+1/n）n*1+1/n）=e*e*1=e2

lim（1+3/n）n=lim[（1+1/（n/3））n/3]3=e3

分析：

在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。

其变形的目标是将分子中的3变为1,而不改变

分式的值。

为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母

中的n/3与指数上的n以及取极限时n—川：

不相一致，为此再将指数上的n改成n/3*3，又

因为n「，与n/3r是等价的。

lim（1+1/（n+1））n=lim（1+1/（n+1））（n+1）-1=lim（1+1/（n+1））n+1/lim（1+1/（n+1））=e

练习：

计算下列数列的极限

lim（3-1/2n）=3lim（1/n2+1/n-2）（3/n-5/2）=5lim（-3n2-1）/（4n2+1）=-3/4

lim（n+3）（n-4）/（n+1）（2n-3）=1/2lim（1+3/2n）2=1lim（1+1/3n）2（2-1/（n+1）3=1*8=8

lim（1+1/n）3n+2=lim[（1+1/n）n]3*（1+1/n）2=e3lim（1+4/n）n=e4lim（1+1/（n+2））n+1=e

lim[（n+5）/（n+4）]n=lim（1+1/（n+4））n=elim（1+2/（n+1））n=e2

lim[（n+5）/（n+2）]n=lim[（1+3/（n+2））（n+2）/3]3/（1+3/（n+2））2=e3

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