各地数学中考压轴题汇编.docx
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各地数学中考压轴题汇编
2007年各地中考压轴题汇编3
B两点（A
19、（浙江义乌）如图，抛物线yx22x3与x轴交A、点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：
（1）令y=0，解得x11或x23（1分）
∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入yx22x3得y=-3，∴C（2，-3）（1分）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：
x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：
P（x，-x-1），（1分）
2
E（（x,x22x3）（1分）
22
∵P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）x2x2（2分）
19
∴当x时，PE的最大值=（1分）
24
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1,0）,F2（3,0）,F3（47）,F4（47）（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分）
20、（湖北天门）如图所示，在平面直角坐标系内，点A和点C的坐标分别为（4，8）、（0，5），过点
A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF∥CD交AC于点F。
（1）求经过A、C两点的直线的解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？
若能，求出此时k、－b的指；若不能，请说明理由；
（3）如果将直线AC作上下平移，交y轴于C'，交AB于A'，连结DC'，过点E作EF'∥DC'，交A'C'于F'，那么能否使四边形C'DEF'为正方形？
若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。
C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：
无论平行四边形ABCD处于
直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，
则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量
关系为（不必证明）；
运用与推广
1519
（4）在同一直角坐标系中有抛物线yx2（5c3）xc和三个点Gc，c，Sc，c，
2222
H（2c，0）（其中c0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的
四边形是平行四边形？
并求出所有符合条件的P点坐标．
2分
解：
（1）（5，2），（ec，d），（cea，d）．
2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，
分别过A，D作AEBB1于E，DFCC1于点F．在平行四边形ABCD中，CDBA，又BB1∥CC1，
EBAABCBCFABCBCFFCD180．
EBAFCD．
又BEACFD90，
△BEA≌△CFD．···························5分
AEDFac，BECFdb．
设C（x，y）．由exac，得xeca．
由yfdb，得yfdb．C（eca，fdb）．······7分
（此问解法多种，可参照评分）
（3）mace，nbdf或mcea，ndfb．·····9分（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（2c，7c）．要使P1在抛物线上，则有7c4c2（5c3）（2c）c，即c2c0．
c10（舍去），c21．此时P1（2，7）．···················10分
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），同理可得c1，此时P2（3，2）．若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，2c），同理可得c1，此时P3（1，2）．综上所述，当c1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有P1（2，7），P2（3，2），P3（1，2）．·················12分22、（浙江温州）在ABC中，CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。
过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。
设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积
为y（cm2），求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。
解：
（1）在RtADC中,AC4,CD3,AD5，
EA
AD
EPDC,AEPADC,
AP,即EAx,EA5x,DE55x
AC5444
2）BC5,CD3,BD2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ＝2－1.25x,则
1157
yDQCP（4x）（21.25x）x2x4
2282
527即y与x的函数解析式为：
yx2x4，其中自变量的取值范围是：
082
（3）分两种情况讨论：
1
当EQDRt时，
显然有EQPC4x,又EQAC,EDQADCEQDQ,
ACDC,
4x1.25x2
即,解得 x2.5
43
解得 x2.5
2当QEDRt时，
CDAEDQ,QEDCRt,EDQCDA
EQDQ5（4x）1.25x2,即
CDDA12
解得 x3.1
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，EDQ为直角三角形。
23、（杭州）在直角梯形ABCD中，C90，高CD6cm（如图1）。
动点P,Q同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。
而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。
设P,Q同时从点B出发，经过的时间为ts时，
BPQ的面积为ycm2（如图2）。
分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上
从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。
（1）分别求出梯形中BA,AD的长度；
（2）写出图3中M,N两点的坐标；
（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。
y
图1）
解：
（1）设动点出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BCBAt，则
则BA10cm,AD2cm；
（2）可得坐标为M10,30,N12,30
13
（3）当点P在BA上时，yttsinBt20t10；
210
1
当点P在DC上时，y1018t5t9012t18
图象略
24、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，43），点B在x正半轴上，且∠ABO30．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
AP3t，BP833t，
tanPBMPM，PM（833t）38t．
PB3
方法二，如图1，过P分别作PQy轴于Q，PSx轴于S，
可求得AQ1AP3t，
22
PSQO43，
2
PM433t38t，
22
当点M与点O重合时，
BAO60，
AO2AP．
4323t，
t2．
（3）①当0≤t≤1时，见图2．
设PN交EC于点H，
重叠部分为直角梯形EONG，作GHOB于H．
GNH60，GH23，
HN2，
PM8t，
BM162t，
OB12，
ON（8t）（162t12）4t，
OHONHN4t22tEG，S1（2t4t）2323t63．
2
S随t的增大而增大，
当t1时，S最大83．
②当1t2时，见图3．
设PM交EC于点I，
交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．
y
MO
GC
HND
方法一，作GHOB于H，FO4323t，
EF23（4323t）23t23，
EI2t2，
23t631（2t2）（23t23）23t263t43．
2
方法二，由题意可得MO42t，OF（42t）3，PC433t，PI4t，
SS△PMNS△PIGS△FMO
43（8t）243（4t）212（42t）23
23t263t43．
3
230，当t时，
2
S有最大值，S最大
173
2
③当t2时，MPMN6，即N与D重合，设PM交EC于点I，分为等腰梯形
IMNG，
PD交EC于点G，重叠部见图4．
S362
4
322
4
综上所述：
当
0≤t≤1时，S23t63；
当1t2时，S23t263t43；
当t2时，S83．
173
S的最大值是．
2
25、（宁波）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形
ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：
点P是四边形ABCD的准等距点．
（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）．
（5）
（2）如图3，点P即为所作点．⋯⋯无痕迹或痕迹不清晰的酌情扣分）
（3）连结DB，在△DCF与△BCE中，
∠DCF=∠BCE，
∠CDF=∠CBE，
∠CF=CE.
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD.⋯⋯⋯⋯
∴∠PDB=∠PBD，⋯⋯⋯
3分（答案不唯一．作图正确，无文字说明不扣分；
∴PD=PB，
∵PA≠PC
∴点P是四边形ABCD的准等距点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
3当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
4四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．1分
（．答案不唯一．画图正确，无文字说明不扣分；点P画在AC中点不给
分）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
（第（4）小题只说出准等距点的个数，不能给满分）
26、（绍兴）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为
2，0）、（1，33）．将OAC绕AC的中点旋转1800，点O
落到点B的位置．抛物线yax223x经过点A，点D是
该抛物线的顶点．
（1）求a的值，点B的坐标；
（2）若点P是线段OA上一点，且APDOAB，求点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标（直接
写出答案即可）．
27、（重庆）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。
若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。
将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线yax2bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。
问：
是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
∴OB＝4，OA＝23
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝23
∴∠COH＝600，OH＝3，CH＝3∴C点坐标为（3，3）
2）∵抛物线yax2bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点
2
33a3ba1∴2解得：
0232a23bb23
2∴此抛物线的解析式为：
yx223x
3）存在。
因为yx223x的顶点坐标为（3，3）即为点C
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，因为∠BOA＝300，所以ON＝3t
∴P（3t，t）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把x3t代入yx223x得：
y3t26t
M（3t，3t26t），E（3，3t26t）
同理：
Q（3，t），D（3，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即33t26tt1，解得：
t14，t21（舍）
3
44
∴P点坐标为（3，）
33
4
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（3，
3
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