matlab数学实验.docx

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matlab数学实验

《管理数学实验》实验报告

班级姓名

实验1：

MATLAB的数值运算

【实验目的】

（1）掌握MATLAB变量的使用

（2）掌握MATLAB数组的创建，

（3）掌握MATLAB数组和矩阵的运算。

（4）熟悉MATLAB多项式的运用

【实验原理】

矩阵运算和数组运算在MATLAB中属于两种不同类型的运算，数组的运算是从数组元素出发，针对每个元素进行运算，矩阵的运算是从矩阵的整体出发，依照线性代数的运算规则进行。

【实验步骤】

（1）使用冒号生成法和定数线性采样法生成一维数组。

（2）使用MATLAB提供的库函数reshape，将一维数组转换为二维和三维数组。

（3）使用逐个元素输入法生成给定变量，并对变量进行指定的算术运算、关系运算、逻辑运算。

（4）使用MATLAB绘制指定函数的曲线图，将所有输入的指令保存为M文件。

【实验内容】

（1）在[0,2*pi]上产生50个等距采样数据的一维数组，用两种不同的指令实现。

0:

（2*pi-0）/（50-1）:

2*pi或linspace（0,2*pi,50）

（2）将一维数组A=1:

18，转换为2×9数组和2×3×3数组。

reshape（A,2,9）

ans=

Columns1through7

135791113

2468101214

Columns8through9

1517

1618

reshape（A,2,3,3）

ans（:

:

1）=

135

246

ans（:

:

2）=

7911

81012

ans（:

:

3）=

131517

141618

（3）A=[0234;1350],B=[1053;1505]，计算数组A、B乘积，计算A&B,A|B,~A,A==B,A>B。

A.*B

ans=

001512

11500

A&B

ans=

0011

1100

A|B

ans=

1111

1111

~A

ans=

1000

0001

A==B

ans=

0000

1000

A>=B

ans=

0101

1010

（4）绘制y=0.5

-t*t*sin（t）,t=[0,pi]并标注峰值和峰值时间,添加标题y=0.5

-t*t*sint，将所有输入的指令保存为M文件。

a=0.5

b=1/3

t=0:

0.001:

pi

y=a*exp（b*t）-t.*t.*sin（t）

[y_max,t_max]=max（y）

t_text=['t=',num2str（t（t_max））]

y_text=['y=',num2str（y_max）]

max_text=char（'maximum',t_text,y_text）

tit=['y=a*exp（',num2str（b）,'t）-t*t*sin（t）']

holdon

plot（t,y,'y.'）

plot（t（t_max）,y_max,'r'）

text（t（t_max）+0.3,y_max+0.1,max_text）

title（tit）,xlabel（'t'）,ylabel（'y'）,holdoff

【实验心得与总结】

通过这次试验让我了解常用简单函数的功能，学会利用函数解决一些；数值计算和符号计算的实际问题;利用Matlab的help命令查询一些函数的功能。

利用MATLAB可以让繁琐的计算问题变得更加简单化，如矩阵运算等。

\

实验2：

MATLAB绘图

【实验步目的】

利用MTALAB画墨西哥帽子，及参数方程的图像

【实验原理】

（1）二维绘图命令：

plot（x,y）函数

（2）三维绘图命令中三维曲线：

plot3（x,y,z）,

（3）利用mesh函数画三维的网格表面的。

【实验内容】

（含参考程序、实验结果及结果分析等）

画出函数图形

。

方程：

【参考程序】

>>t=0:

0.1:

4*pi;

>>plot3（2*cos（t）,t.^3,t）

【实验结果】

画出曲面

的图像。

方程：

【参考程序】

x=-7.5:

0.5:

7.5;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid（x,y）;

R=sqrt（xx.^2+yy.^2）+eps;

z=sin（R）./R;

surf（xx,yy,z）

【实验结果】

【实验心得与总结】

Matlab的常见错误：

Innermatrixdimensionsmustagree

1、因为在Matlab的输入变量是矩阵，参与运算的矩阵维数必须对应，矩阵相应元素的运算必须全部加dot（点），例2中方程如果这样输入：

x=2*（cos（t）+t*sin（t）），就会出现该错误.

2、mesh函数是用来画三维的网格表面的。

三维空间中的一个点是用（x,y,z）来表示的，mesh就是把这些点之间用网格连接起来。

实验3：

MATLAB微积分问题的计算

【实验目的】利用MTALAB求解二重积分、勒展开式及级数求和。

【实验原理】

1．利用int（int（f,x,a,b）,y,c,d）函数求二重积分计算累次积分

2．利用泰勒函数taylor（f,n,x,a）来求f（x,y）的n-1阶泰勒展开式

；

3.利用函数symsum（f,k,n1,n2）来求级数的和函数

【实验内容】（含参考程序、实验结果及结果分析等）

求

。

【参考程序】

>>symsxy

>>z=x*y;

>>f=int（int（z,y,2*x,x^2+1）,x,0,1）

【实验结果】

f=1/12

将f（x）=lnx展开为幂为（x-2）的5阶泰勒展开式。

【参考程序】

>>symsxn;

>>f=（-1）^n*x^（n+1）/（n+1）;

>>symsum（f,n,1,inf）

【实验结果】

ans=log（1+x）-x

级数求和

。

【参考程序】

>>symsxn;

>>f=（-1）^n*x^（n+1）/（n+1）;

>>symsum（f,n,1,inf）

【实验结果】

ans=log（1+x）-x

【实验心得与总结】

1、在实验过程中，要是一句程序结束后加了分号，则说明，不要求执行程序时输出执行结果；

2、在matlab中是区别大小写的，如果N写成n会出现Undefinedfunctionorvariable'n'.Undefinedfunctionorvariable'n'.的错误提示.

实验4：

MATLAB优化计算

【实验目的】

掌握应用matlab求解无约束最优化问题的方法

【实验原理与方法】

1：

标准形式：

2．无约束优化问题的基本算法

一．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：

⑴给定初始点

，允许误差

令k=0；

⑵计算

；

⑶检验是否满足收敛性的判别准则：

，

若满足，则停止迭代，得点

，否则进行⑷；

⑷令

，从

出发，沿

进行一维搜索，

即求

使得：

；

⑸令

，k=k+1返回⑵.

最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.

二．牛顿法算法步骤：

（1）选定初始点

，给定允许误差

，令k=0；

（2）求

检验：

若

则

停止迭代,

.否则,转向（3）；

（3）令

（牛顿方向）；

（4）

转回

（2）.

如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代

就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点，

但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收

敛速度还是很快的.

牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量.

【实验内容】

1.求f=2

在0

主程序为wliti1.m:

f='2*exp（-x）.*sin（x）';

fplot（f,[0,8]）;%作图语句

[xmin,ymin]=fminbnd（f,0,8）

f1='-2*exp（-x）.*sin（x）';

[xmax,ymax]=fminbnd（f1,0,8）

运行结果：

xmin=3.9270ymin=-0.0279

xmax=0.7854ymax=0.6448

2.对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如

何剪法使水槽的容积最大？

先编写M文件fun0.m如下:

functionf=fun0（x）

f=-（3-2*x）.^2*x;

主程序为wliti2.m:

[x,fval]=fminbnd（'fun0',0,1.5）;

xmax=x

fmax=-fval

运算结果为:

xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.

实验5：

MATLAB图论问题计算

【实验目的】

了解用Matlab软件求解图论模型及层次分析模型的方法。

【实验内容与原理】

内容：

1.某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，如图所示．问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短。

2.某矿区有七个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量

（标在图的各顶点上）．现要从这七个矿点选一个来建造矿厂．问应选在哪个矿点，才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力（千吨公里）最小．

原理：

利用层次分析法和图论方法模型的一般概念，理解建立层次分析法和图论方法模型的一般方法，初步学会建立层次分析法和图论方法模型以解决实际问题。

【操作方法与步骤】

步骤：

1.

（1）用Floyd算法求出距离矩阵D=

．

（2）计算在各点

设立服设施的最大服务距离

（3）求出顶点

，使

建立M文件

a=[03infinfinfinfinf;

302inf182.5inf;

inf2062infinf;

infinf603infinf;

inf182304inf;

inf2.5infinf401.5;

infinfinfinfinf1.50];

[D,R]=floyd（a）

点击运行

则

就是要求的建立消防站的地点．此点称为图的中心点．

2.

（1）求距离阵D=

．

（2）计算各顶点作为选矿厂的总运力

（3）求

使

，

（4）建立M文件

a=[03infinfinfinfinf;

302infinf4inf;

inf2062infinf;

infinf601infinf;

infinf2104inf;

inf4infinf401.5;

infinfinfinfinf1.50];

[D,R]=floyd（a）

q=[3,2,7,1,6,1,4];

m=0;

fori=1:

7

forj=1:

7

m=m+q（i）*D（i,j）;

end

m

m=0;

end

点击运行

（5）则

就是选矿厂应设之矿点．此点称为图G的重心或中位点．

【实验结果与分析】

实验结果与分析：

1.

S（v1）=10,S（v2）=7,S（v3）=6,S（v4）=8.5,S（v5）=7,S（v6）=7,S（v7）=8.5

S（v3）=6,故应将消防站设在v3处。

2.

由上述公式可得：

m（v1）=38.5*3=115.5,m（v2）=23.5*2=47,m（v3）=23.5*7=164.5,m（v4）=28.5,m（v5）=23.5*6=141,m（v6）=27.5,m（v7）=35*4=140

再求其中的最小值，m（v6）=27.5，则

就是选矿厂应设之矿点．

实验6：

MATLAB计算机模拟计算

【实验目的】

学会用数学软件matlab和蒙特卡洛方法估计积分值，并于其中应用概率论中的概率密度等知识点。

【实验问题】

估计积分值，并对误差进行估计。

【实验要求】

针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛估计算法；

利用计算机产生所选分布的随机样本的估计积分值；

通过计算平均误差对估计结果进行评价。

【实验过程分析】

（x为运行结果平均值，y为样本方差）

估计程序如下：

clc;

clear;

m=10;

n=10000;

d=0;

e=0;

fori=1:

m

d=0;

a=rand（1,n）;

forj=1:

n

b=a（j）+2;

c=b^2;

e（i）=d+c/n;

d=e（i）;

end

fprintf（'e=%.8f\n',e（i））

end

p=sum（e）/m;

forj=1:

m;

s（j）=（e（j）-p）^2;

end

q=sum（s）;

fprintf（'x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q）;

结果为：

e=6.34879520

e=6.34068140

e=6.35081124

e=6.31353632

e=6.35586630

e=6.33058791

e=6.32419121

e=6.33707454

e=6.30357011

e=6.35063255

x=6.33557468

y=0.00304243

2.估计程序变动如下：

b=a（j）*3;

c=b*sin（b）*3;

结果为：

e=3.12211717

e=3.11373037

e=3.07484948

e=3.08660758

e=3.10052243

e=3.10475698

e=3.13762746

e=3.16481618

e=3.11552000

e=3.09615989

x=3.11167076

y=0.00669223

3.估计程序变动如下：

b=exp（-a（j）^2/2）;

c=b/n*（2*pi）^0.5;

e（i）=d+c/2;

结果为：

e=0.88617655

e=0.88538972

e=0.88635209

e=0.88575809

e=0.88653705

e=0.88606366

e=0.88634011

e=0.88613926

e=0.88573325

e=0.88644154

x=0.88609313

y=0.00000132

4.估计程序变动如下：

b=exp（a（j）^2）;

c=b/n;

e（i）=d+c;

结果为：

e=1.46211146

e=1.46154792

e=1.46327379

e=1.46256348

e=1.46318297

e=1.46235828

e=1.46241378

e=1.46316145

e=1.46203052

e=1.46280489

x=1.46254485

y=0.00000320

5.估计程序变动如下：

b=a（i）*4;

c=1/（（1+b^2）^0.5）;

e（i）=d+c*4/n;

结果为：

e=1.98511173

e=1.02167881

e=1.26713031

e=0.98770837

e=1.14216662

e=1.75642022

e=1.97055988

e=1.96227794

e=1.83229787

e=1.06190231

x=1.49872541

y=1.90228258

【实验结果与分析】

通过对实验所得平均值与真实值的比较，可以看出实验结果与真实值相比非常接近，而且样本方差很小，从而说明概率分布的选取比较适当，计算机实验很准确。

实验7：

MATLAB与马尔科夫预测模型

【实验目的】

基于matlab编程应用马尔可夫预测模型

【实验原理】

马尔可夫通过实践认为：

世界上无论是社会领域还是自然领域，有一类事物的变化过程只与事物的近期状态有关，与事物的过去状态无关，这类事物的性质称为无后效性。

例如，事物π，从初始状态π（0）起，变动一次后为π

（1），变动n次后为π（n），则π（n）仅与π（n-1）有关，与n-1以后的各次变动无关。

马尔可夫链：

如果n个连续变动的事物，在变动的过程中，其中任一次变动的结果都具有无后效性，那么，这n个连续变动事物的集合，就叫做马尔可夫链，这类事物的演变过程就叫做马尔可夫过程。

【实验内容】

1.农业收成变化预测

考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。

记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“欠收”状态。

下表给出了该地区1965～2004年期间农业收成的状态变化情况。

试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵，并进行预测。

使用matlab实现如下：

P=[0.20000.46670.3333;0.53850.15380.3077;0.36360.45450.1818];

%读入状态转移概率矩阵

x=[0,1,0];

%读入初始状态概率向量（2004年的农业收成状态）

fori=1:

11%预测今后11年（2005－2015）的农业收成状态

y=x*P^i

end

运行结果如下：

y=0.53850.15380.3077

y=0.30240.41480.2827

y=0.38670.33340.2798

y=0.35860.35890.2823

y=0.36770.35090.2813

y=0.36480.35340.2817

y=0.36570.35260.2815

y=0.36540.35290.2816

y=0.36550.35280.2815

y=0.36540.35280.2815

y=0.36540.35280.2815

2.市场占有率预测

某厂对某产品的市场占有率和销售情况进行了调查：

一月份共销售了50万件，其中普通、一级、特级品分别为35、10、5万件。

二月份中，一月份买普通品的顾客25%的顾客转买一级品，8%的顾客转买特级品；一月份买一级品的顾客10%转买特级品，3%转买普通品；一月份买特级品的顾客2%买普通品，15%转买一级品。

请预测以后月份各个等级产品的市场占有率。

由所给的资料可知

使用matlab实现如下：

P=[0.670.250.08;0.030.870.1;0.020.150.83];

%读入状态转移矩阵

x=[0.70.20.1];

%读入初始状态概率向量（一月份各等级产品的市场占有率）

fori=1:

11%预测今年剩余11个月各产品等级的市场占有率

y=x*P^i

end

运行结果如下：

y=0.47700.36400.1590

y=0.33370.45980.2065

y=0.24150.51440.2441

y=0.18210.54450.2734

y=0.14380.56030.2959

y=0.11910.56780.3131

y=0.10310.57070.3262

y=0.09270.57120.3361

y=0.08600.57050.3435

y=0.08160.56940.3490

y=0.07870.56810.3532

结论：

顾客对普通品的需求有减少的趋势，对一级品和特级品的需求有增加的趋势，因此，可以调整相应等级产品的产量。

实验8：

基于MATLAB的灰色预测模型

【实验目的】

实验目的：

掌握灰色预测模型及其应用

基本内容：

灰色预测模型的提出，建模以及实现代码。

【实验内容】

灰色系统（GreySystem）理论是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论。

该理论将信息完全明确的系统定义为白色系统，将信息完全不明确的系统定义为黑色系统，将信息部分明确、部分不明确的系统定义为灰色系统。

由于客观世界中，诸如工程技术、社会、经济、农业、环境、军事等许多领域，大量存在着信息不完全的情况。

要么系统因素或参数不完全明确，因素关系不完全清楚；要么系统结构不完全知道，系统的作用原理不完全明了等，从而使得客观实际问题需要用灰色系统理论来解决。

灰色预测是应用灰色模型GM（1，1）对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。

由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也能得到较高的预测精度。

因此，灰色预测在社会经济、管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用。

一、GM（1，1）模型建立

设有k个原始非负样本序列

为揭示系统的客观规律，灰色系统理论采用了独特的数据预处理方式，对序列{

}进行一阶累加生成，即AGO生成，

由此得生存数列：

GM（1,1）模型的原始形式为：

为

的紧邻值生存序列

其中

GM（1,1）模型的基本形式：

若

=

为参数列，且

则GM（1,1）模型

的最小二乘估计参数列满足

关于

的白化方程也叫影子方程为：

定理：

白化方程的解也称时间响应函数为：

GM（1,1）模型

的时间响应序列为

实际预测值为

二、模型检验

为确保所建立的GM（1,1）模型有较高的预测精度，还需要进行以下检验

（1）求出

及

之残差e（k）、相对误差

和平均相对误差

：

，

.

（2）求出原始数据平均值x:

.

三、残差修正模型

记

，当然我们知道

并不一定全为负或者全为正，这时我们令

同时令

则

是一个非负序列，我们可以用方法来建立它的GM模型，求解，得出其预测值

而后还原残差预测值

最后用

修正原来的预测值，得到修正后的预测值

.

四、实现代码

clearall

X0=input（'请输入序列矩阵'）;%输入数据请用如例所示形式：

[48.757.1768.7692.15]或者[43823050,44649620,4579375046613050477154404852627049713050]，该向量为原始向量X0n=length（X0）;

fori=2:

n%开始进行建模可行性分析

Q（i）=X0（i-1）/X0（i）;