高考数学文科二轮复习专题5 第1讲 直线与圆.docx

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高考数学文科二轮复习专题5第1讲直线与圆

第 1 讲 直线与圆

高考定位1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考

的重点；2.考查的主要内容包括求直线（圆）的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判

断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.

真 题 感 悟

1.（2016· 全国Ⅱ卷）圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝

（）

4

A.－3

C. 3

3

B.－4

D.2

解析圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 化为标准方程为（x－1）2＋（y－4）2＝4，故圆心为（1，4）.

由题意得 d＝

|a＋4－1|

a2＋1

4

＝1，解得 a＝－3.

答案A

2.（2016· 山东卷）已知圆 M：

x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则

圆 M 与圆 N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1 的位置关系是（）

A.内切

C.外切

B.相交

D.相离

解析圆 M：

x2＋y2－2ay＝0（a>0）可化为 x2＋（y－a）2＝a2，

aa2

由题意，d＝，所以有 a 2＝ 2 ＋2，解得 a＝2.

所以圆 M：

x2＋（y－2）2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交.

答案B

xB

3.（2016· 全国Ⅰ卷）设直线 y＝x＋2a 与圆 C：

2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A， 两点，若|AB|＝2 3，

则圆 C 的面积为________.

解析圆 C 的标准方程为 x2＋（y－a）2＝a2＋2，圆心为 C（0，a），点 C 到直线 y＝x＋2a 的距离

为 d＝|0－a＋2a|

2

|a|                 ⎛2 3⎫2 ⎛ |a| ⎫2

＝  .又由|AB|＝2 3，得ç ⎪ ＋ç  ⎪ ＝a2＋2，解得 a2＝2，所以圆 C 的面

2

积为 π（a2＋2）＝4π.

答案4π

4.（2017· 天津卷）设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y

轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.

解析由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C（－1，a）（a>0），则 A（0，a）.

→→

又 F（1，0），所以AC＝（－1，0），AF＝（1，－a）.

→→

由题意知AC与AF的夹角为 120°，得 cos 120°＝

－1

1× 1＋a2

1

＝－2，解得 a＝ 3.

所以圆的方程为（x＋1）2＋（y－ 3）2＝1.

答案（x＋1）2＋（y－ 3）2＝1

考 点 整 合

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的

直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.两个距离公式

（1）两平行直线 l1：

Ax＋By＋C1＝0 与 l2：

Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝

.

A2＋B2

（2）点（x0，y0）到直线 l：

Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝

A2＋B2

.

3.圆的方程

（1）圆的标准方程：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心为（a，b），半径为 r.

⎛DE⎫

⎝⎭

D2＋E2－4F

.

4.直线与圆的位置关系的判定

（1）几何法：

把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：

dr⇔

相离.

（2）代数法：

将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：

Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.

热点一直线的方程

【例 1 】

（1）设 a∈R ，则“a＝－2”是直线 l1：

ax＋2y－1＝0 与直线 l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0

平行的（）

A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

   OAB  的最小值为________.

（2）（2017· 山东省实验中学二模）过点 P（2，3）的直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，

O 为坐标原点，则

解析

（1）当 a＝－2 时，l1：

－2x＋2y－1＝0，l2：

x－y＋4＝0，显然 l1∥l2.

当 l1∥l2 时，由 a（a＋1）＝2 且 a＋1≠－8 得 a＝1 或 a＝－2，

所以 a＝－2 是 l1∥l2 的充分不必要条件.

xy

（2）依题意，设直线 l 的方程为a＋b＝1（a>0，b>0）.

∵点 P（2，3）在直线 l 上.

23

∴a＋b＝1，则 ab＝3a＋2b≥2 6ab，

故 ab≥24，当且仅当 3a＝2b（即 a＝4，b＝6）时取等号.

因此

1

 AOB＝2ab≥12，即

 AOB 的最小值为 12.

答案

（1）A

（2）12

探究提高1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立方程求出参数的值后，

要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率

不存在的情况是否符合题意.

【训练 1】 

（1）（2017· 贵阳质检）已知直线 l1：

mx＋y＋1＝0，l2：

（m－3）x＋2y－1＝0，则“m

＝1”是“l1⊥l2”的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

（2）已知 l1，l2 是分别经过 A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大时，

则直线 l1 的方程是________.

解析

（1）“l1⊥l2”的充要条件是“m（m－3）＋1×2＝0m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是

“l1⊥l2”的充分不必要条件.

（2）当直线 AB 与 l1，l2 垂直时，l1，l2 间的距离最大.

－1－1

0－1

1

∴两平行直线的斜率 k＝－2.

1

∴直线 l1 的方程是 y－1＝－2 （x－1），即 x＋2y－3＝0.

答案

（1）A

（2）x＋2y－3＝0

热点二圆的方程

【例 2－1】

（1）（2016· 天津卷）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M（0， 5）在圆 C 上，

4 5

且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程为________.

x2y2

（2）（2015· 全国Ⅰ卷）一个圆经过椭圆16＋ 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆

的标准方程为________.

解析

（1）∵圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设 C（a，0），且 a>0.

4 5

则圆心 C 到直线 2x－y＝0 的距离 d＝＝ 5 ，解得 a＝2.

∴圆 C 的半径 r＝|CM|＝（2－0）2＋（0－ 5）2＝3，因此圆 C 的方程为（x－2）2＋y2＝9.

（2）由题意知，椭圆顶点的坐标为（0，2），（0，－2），（－4，0），（4，0）.由圆心在 x 轴的正半轴

上知圆过顶点（0，2），（0，－2），（4，0）.

设圆的标准方程为（x－m）2＋y2＝r2，

⎧⎪m2＋4＝r2，2

4

⎛3⎫225

所以圆的标准方程为ç⎪ ＋y2＝ 4 .

⎛3⎫225

答案

（1）（x－2）2＋y2＝9

（2）ç⎪ ＋y2＝ 4

探究提高1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出

方程.

2.待定系数法求圆的方程：

（1）若已知条件与圆心（a，b）和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依

据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；

（2）若已知条件没有明确给

出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出

D，E，F 的值.

温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

【训练 2 】 

（1）（2017· 河南部分重点中学联考）圆心在直线 x＝2 上的圆与 y 轴交于两点 A（0，－

4），B（0，－2），则该圆的标准方程为________________.

（2）圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，

则圆 C 的标准方程为________.

－4＋（－2）

2

则半径 r＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5，

故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.

⎛a⎫

⎝⎭

⎛a⎫2

由勾股定理得（ 3）2＋ç2⎪ ＝a2，解得 a＝2.

所以圆心为（2，1），半径为 2，

所以圆 C 的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4.

答案

（1）（x－2）2＋（y＋3）2＝5

（2）（x－2）2＋（y－1）2＝4.

热点三直线与圆的位置关系

命题角度 1圆的切线问题

【例 3－1】（2017· 郑州调研）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A（1，0）为圆心且与直线 mx

－y－2m－1＝0（m∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.

解析直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点 P（2，－1），当 AP 与直线 mx－y－2m－1＝0 垂直，

即点 P（2，－1）为切点时，圆的半径最大，

∴半径最大的圆的半径 r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.

故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.

答案（x－1）2＋y2＝2

命题角度 2圆的弦长相关计算

【例 3－2】 （2017· 全国Ⅲ卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两

点，点 C 的坐标为（0，1）.当 m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现 AC⊥BC 的情况？

说明理由；

（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.

（1）解不能出现 AC⊥BC 的情况，理由如下：

设 A（x1，0），B（x2，0），则 x1，x2 满足方程 x2＋mx－2＝0，

所以 x1x2＝－2.

又 C 的坐标为（0，1），

－1 －11

12

所以不能出现 AC⊥BC 的情况.

1

⎝⎭⎝⎭

由

（1）可得 x1＋x2＝－m，

m

所以 AB 的中垂线方程为 x＝－ 2 .

⎧⎪x＝－m，

联立 ⎨

⎪⎩y－1＝x2⎛⎫，

②

①

又 x2＋mx2－2＝0，③

m1

由①②③解得 x＝－ 2 ，y＝－2.

⎛m1⎫m2＋9

所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为ç⎪，半径 r＝2.

⎝ 2 ⎭

即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.

探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利

用数形结合思想解题.

l

2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长2，构成

直角三角形的三边，利用其关系来处理.

【训练 3 】 

（1）（2017· 泉州质检）过点 P（－3，1），Q（a，0）的光线经 x 轴反射后与圆 x2＋y2＝1

相切，则 a 的值为______.

（2）（2016· 全国Ⅲ卷） 已知直线 l：

x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分

别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝________.

解析

（1）点 P（－3，1）关于 x 轴的对称点为 P′（－3，－1），

所以直线 P′Q 的方程为 x－（a＋3）y－a＝0.

依题意，直线 P′Q 与圆 x2＋y2＝1 相切.

5

12＋（a＋3）2

（2）由圆 x2＋y2＝12 知圆心 O（0，0），半径 r＝2 3，

∴圆心（0，0）到直线 x－ 3y＋6＝0 的距离 d＝6

1＋3

CE⊥BD 于 E.

＝3，|AB|＝2  12－32＝2 3.过 C 作

如图所示，则|CE|＝|AB|＝2 3.

∵直线 l 的方程为 x－ 3y＋6＝0，

|CE|2 3

∴直线 l 的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝sin 60°＝sin 60°＝4.

5

答案

（1）－3

（2）4

1.解决直线方程问题应注意：

（1）要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直.而截距式

方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

（2）求直线方程要考虑直线斜率是否存在.

（3）求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立方程求出参数的值后，要注意代

入检验，排除两条直线重合的可能性.

2.求圆的方程两种主要方法：

（1）直接法：

利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半

径，进而求出圆的方程.

（2）待定系数法：

先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程 （组）求得各系数，进而求出

圆的方程.

3.直线与圆相关问题的两个关键点

（1）三个定理：

切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.

（2）两个公式：

点到直线的距离公式 d

＝ |Ax0＋By0＋C|，弦长公式|AB|＝2 r2－d2（弦心距 d）.

A2＋B2

4.直线（圆）与圆的位置关系的解题思路

（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题

途径，减少运算量 .研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实

现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.

（2）直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线

斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到

圆外点距离，利用勾股定理计算.

一、选择题

1.（2017· 昆明诊断）已知命题 p：

“m＝－1”，命题 q：

“直线 x－y＝0 与直线 x＋m2y＝0 互相

垂直”，则命题 p 是命题 q 的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要

解析“直线 x－y＝0 与直线 x＋m2y＝0 互相垂直”的充要条件是 1×1＋

（－1）· m2＝0m＝±1.

∴命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.

答案A

2.过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）

A.2x＋y－5＝0

C.x－2y－5＝0

B.2x＋y－7＝0

D.x－2y－7＝0

解析依题意知，点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2 上，且为切点.

1

∵圆心（1，0）与切点（3，1）连线的斜率为2，所以切线的斜率 k＝－2.

故圆的切线方程为 y－1＝－2（x－3），即 2x＋y－7＝0.

答案B

3.（2017· 济南调研）若直线 x－y＋m＝0 被圆（x－1）2＋y2＝5 截得的弦长为 2 3，则 m 的值为

（）

A.1

C.1 或－3

B.－3

D.2

解析∵圆（x－1）2＋y2＝5 的圆心 C（1，0），半径 r＝ 5.

又直线 x－y＋m＝0 被圆截得的弦长为 2 3.

∴圆心 C 到直线的距离 d＝

r2－（ 3）2＝ 2，

因此

|1－0＋m|

＝ 2，∴m＝1 或 m＝－3.

12＋（－1）2

答案C

4.（2015· 全国Ⅱ卷）已知三点 A（1，0），B（0， 3），C（2， 

，则ABC 外接圆的圆心到原点的

距离为（）

5

A.3

2 5

C. 3

21

B. 3

4

D.3

解析设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

⎧1＋D＋F＝0，⎧⎪D＝－2，

3 ，

7＋2D＋ 3E＋F＝0，

⎛2 3⎫

⎪，

⎝

因此圆心到原点的距离 d＝

⎛2 3⎫2 21

⎪ ＝

答案B

5.（2017· 衡水中学模拟）已知圆 C：

（x－1）2＋y2＝25，则过点 P（2，－1）的圆 C 的所有弦中，以

最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）

A.10 31

C.10 23

B.9 21

D.9 11

解析易知最长弦为圆的直径 10，

又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝ 2，

∴最短弦的长为 2r2－|PC|2＝225－2＝2 23，

1

故所求四边形的面积 S＝2×10×2 23＝10 23.

答案C

二、填空题

6.（2017· 广安调研）过点（1，1）的直线 l 与圆（x－2）2＋（y－3）2＝9 相交于 A，B 两点，当|AB|＝4

时，直线 l 的方程为________.

解析易知点（1，1）在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 y－1＝k（x－1），即 kx

－y＋1－k＝0.

又|AB|＝4，r＝3，

∴圆心（2，3）到 l 的距离 d＝

32－22＝ 5.

因此

k2＋（－1）2

1

∴直线 l 的方程为 x＋2y－3＝0.

答案x＋2y－3＝0

→ →

7.（2017· 北京卷）已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为（－2，0），O 为原点，则AO· AP的

最大值为________.

→→

解析法一由题意知，AO＝（2，0），令 P（cos α，sin α），则AP＝（cos α＋2，

sin α）.

→ →→ →

AO· AP＝（2，0）·（cos α＋2，sin α）＝2cos α＋4≤6，故AO· AP的最大值为 6.

→

法二由题意知，AO＝（2，0），令 P（x，y），－1≤x≤1，

→ →→ →

则AO· AP＝（2，0）· （x＋2，y）＝2x＋4≤6，故AO· AP的最大值为 6.

答案6

8.（2017· 菏泽二模）已知圆 C 的方程是 x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线 l：

y＝a（x－3）被圆 C 截得

的弦长最短时，直线 l 方程为________.

解析圆 C 的标准方程为（x－4）2＋（y－1）2＝9，

∴圆 C 的圆心 C（4，1），半径 r＝3.

又直线 l：

y＝a（x－3）过定点 P（3，0），

则当直线 y＝a（x－3）与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.

1－0

4－3

故所求直线 l 的方程为 y＝－（x－3），即 x＋y－3＝0.

答案x＋y－3＝0

三、解答题

9.已知点 A（3， 3），B（5，2）到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l1：

3x－y－1＝0 和 l2：

x＋y－3＝0 的交点，求直线 l 的方程.

⎧3x－y－1＝0，

解解方程组⎨得交点 P（1，2）.

⎩x＋y－3＝0，

①若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 l∥AB.

而 kAB＝3－2

1

＝－2，

1

由点斜式得直线 l 的方程为 y－2＝－2（x－1），

即 x＋2y－5＝0.

⎛5⎫

⎝⎭

5

y－22－2

由两点式得直线 l 的方程为＝，

即 x－6y＋11＝0.

综上所述，直线 l 的方程为

x＋2y－5＝0 或 x－6y＋11＝0.

（

10.（2015· 全国Ⅰ卷）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：

 x－2）2＋（y－3）2＝1 交于 M，

N 两点.

（1）求 k 的取值范围；

→ →

（2）若OM· ON＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.

解

（1）由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1，

因为 l 与 C 交于两点，所以

|2k－3＋1|

1＋k2 <1.

解得

4－ 7  4＋ 7

⎛4－ 74＋ 7⎫

所以 k 的取值范围为ç，

（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）.

将 y＝kx＋1 代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，

整理得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.

4（1＋k）7

1＋k21＋k2

所以 x1＋x2＝，x1x2＝.

→ →

OM· ON＝x1x2＋y1y2

＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝

4k（1＋k）

1＋k2

＋8.

由题设可得

4k（1＋k）

1＋k2

＋8＝12，解得 k＝1，

所以 l 的方程为 y＝x＋1.

故圆心 C 在 l 上，所以|MN|＝2.

11.（2016·江苏卷节选）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：

x2＋y2－12x

－14y＋60＝0 及其上一点 A（2，4）.

（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程；

（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|＝|OA|，求直线 l 的方程.

解

（1）圆 M 的标准方程为（x－6）2＋（y－7）2＝25，

所以圆心 M（6，7），半径为 5，

（1）由圆心 N 在直线 x＝6 上，可设 N（6，y0）.

因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，

所以 0

从而 7－y0＝5＋y0，解得 y0＝1.

因此，圆 N 的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.

（2）因为直线 l∥OA，

2－0

＝2.

设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，

即 2x－y＋m＝0，

则圆心 M 到直线 l 的距离

|m＋5|

＝.

55

因为|BC|＝|OA|＝ 22＋42＝2 5，

⎛|BC|⎫2

又|MC|2＝d2＋ç⎪ ，

（m＋5）2

5

故直线 l 的方程为 2x－y＋5＝0 或 2x－y－15＝0.