小学数学估算与精算的教学研究.docx

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小学数学估算与精算的教学研究

小学数学“估算与精算”的教学研究

仁真

数的运算内容贯串于整个一、二学段，是这两个学段数学学习份量比较重，占用学习时间最多的内容。

对于数的运算首先要使学生理解为什么要运算，达到不同目的，决定了选择不同的运算方式和不同的精度要求。

美国数学教师学会（NCTM）1989年编写的《学校数学课程与评价标准》中对计算问题有一段论述，反映对运算的观念（见下图），从中可以受到一些启示。

首先应当让学生理解的是面对具体的情形，确定是否需要计算。

然后再确定需要什么样的计算方法。

口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方式，都可以起到算出结果的目的。

从上面的框架图中可以看到在运算模块中处于核心地位的两个概念是精算和估算。

培养学生基本的运算技能，就是培养学生精算和估算的技能，这也一直是广大教师关注的问题。

接下来就新课程的精算教学和估算教学谈一些想法。

一、精确计算技能是重要的数学技能，要重视精算技能的培养

1．处理好算理和具体计算方法的关系

谈到精确计算首先要弄清有关算理和算法的问题。

一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。

显然这是一种简单而且错误的认识，我们不能想像一个连基本的计算原理和方法都模糊不清的学生能够灵活、简便地进行计算，会具有较强的计算能力；一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解，这样学生对于算理真的理解了吗？

这样的做法也是不可取的。

（1）什么是算理和算法？

到底什么是算理？

什么是算法呢？

这两个问题可能是许多老师经常思考，但却很少追根溯源，有的认识是浅显的，有的甚至是错误的。

计算中根据小数的意义，并利用乘法的交换律与结合律，保证了计算结果的正确性，这才是算理。

而运算法则是人们进行计算的一个基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。

算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。

运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。

所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。

（2）教师如何帮助学生理解算理？

强调算理的重要性并不难被广大一线老师接受，然而从操作层面如何帮助学生理解算理却是一个棘手且极具技术含量的问题。

新课程计算教学淡化了程式化地叙述算理和计算法则，重在让学生经历计算方法的获得过程，重在展示计算方法的形成过程，重在暴露学生的思维过程，让学生真正理解算理，掌握具体的计算方法，形成计算技能。

在教学中，既要使学生知道怎么算，又要知道为什么这样算。

学生明确了算理和具体的方法，才能灵活、简便地进行计算。

在日常教学中我们看到强调算理的重要性并不难被广大一线老师接受，然而从操作层面如何帮助学生理解算理却是一个棘手且极具技术含量的问题。

北京小学于萍老师执教的《小数加减法》时，让学生自主进行编题，其中一名学生编出了一道0.8+3.74=，这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节课的重点所在，也是小数加减法总结算法的重要时机。

但为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程，此时老师采取的方式是让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。

小数加减法在小学“数与代数”的学习领域中占有什么位置？

如何把握它与整数加减法的关系？

在这节课中又该如何呈现知识的本质，抓住核心概念进行教学？

于萍老师的教学实践回答了上面的问题。

教师在引导学生探究小数加减法计算方法的过程中，始终抓住了本节课知识的“魂”实施教学，她没有满足学生能正确地计算出结果，而是步步深入引导学生逼近数学本质的理解。

引发学生对小数加减计算道理的深刻理解，即：

小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，即相同的计数单位相加减。

像这样，将“讲理”与“明法”有机的结合，让学生在理解算理的基础上总结算法，有助于学生更深入地理解数学核心概念，才能够更好地实现“培养学生根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

”的目标。

2.直面学生的错误，将错误作为资源。

谈到科学地培养学生计算技能的问题，我们不能回避如何面对学生的错误。

如何处理学生出现的错误是提高计算能力的一个重要的方面。

（1）要深入了解学生计算的现状，准确分析错误的原因

作为老师，只有真正地了解了学生出现错误的原因，准确地分析出学生错误的原因，才能有的放矢对学生进行有效地指导。

我们在分析学生错误产生的原因的时候，有的老师归结到是学生的马虎——审题不认真，计算不认真。

那么在这马虎的背后是不是要细细地思考学生到底为什么出错呢？

我们对学生的错题做了调研，下面把学生的错误原因和老师们进行交流。

以“25×3=75”为例，学生怎么会得95呢？

表面上是操作程序的错误，实际上是算理不清楚。

我们在与学生交流时发现，学生做错的原因是3乘5等于15向十位上进1，把2先加上进来1得3再乘3，结果得95。

学生的问题是对乘法的算理的不理解，因此导致了计算方法的错误。

老师只有深入了解学生，找准错误的原因，针对学生的问题进行指导，这样才会有实效。

（2）帮助学生自己反思错误的原因

教师不仅要了解学生错误的原因，而且一定要帮助学生自己反思错误的原因。

比如有一位学生一直把“三八二十四”的口诀误记成了“三八二十六”，教师就要引导他自己发现错误的原因。

当学生自己发现真正错误原因后，学生恍然大悟，“我怎么一下子把错误的口诀记了这么长的时间呢？

”；另外老师们提到的除数是小数的除法，把小数转化成整数计算，学生干脆把讨厌的小数点全部划掉，就是144除以18，像这样的学生，教师一定要把他找来，让他自己反思，帮助他找原因，老师一定要给予学生具体地指导，而一对一地对学生进行指导是非常重要的。

（3）选择合适的训练方法，帮助学生减少错误

第三个建议就是选择合适的训练方法，而训练素材就显得十分重要。

前面我们也看到了张天孝老师和李祖功老师的教学经验，他们不是海练、不是盲目地练，不是用题海战术来提高学生计算的正确率。

我们应该科学地进行训练，哪些题该训练，哪些题一定要在课堂上呈现或者需要反复地练习，教师一定要做到心中有数。

根据学生的错误设计练习，进行有针对性地练习。

这种做法对学生计算水平的提高是非常有效的。

3.合理把握关算法多样化的教学

（1）算法多样化的价值

算法多样化的价值主要体现在一下方面：

第一，算法多样化有利于培养学生的创新精神，有利于学生的自我建构，使他们的潜能得到充分地发展；

第二，算法多样化有利于学生之间的交流，使学习资源能够共享；

第三，算法多样化有利于老师对学生的个性地了解，从而施行因材施教。

（2）给算法多样化提供机会

在教学中教师要在设计阶段给学生出现多样化的算法提供机会，并且在实施的过程中肯于花时间。

这不仅是教师的一种理念，而是将对学生个性的尊重以及创新思维的培养落到实处。

（3）算法多样化教学的建议

在实施算法多样化的过程中，我们给老师提出以下几点具体的教学建议：

第一，鼓励学生的独立思考，主动探索出计算的方法；

第二，鼓励学生在独立思考的基础上进行交流；

第三，老师要善于比较不同方法的特点，挖掘不同算法的思维价值；

第四，教师要善于引导学生分析比较，在学生的质疑、辨析中促进学生对自己方法的反思和提升；另外，教师有责任用适当的形式，向学生推荐一种比较好的算法，帮助学生进行再次选择。

4.科学培养学生精确计算技能的建议

为促进学生形成运算技能，加强练习是十分必要的，练习时要注意科学性，讲求实效。

一线教师在这方面有很多经验，到底如何科学地培养学生的计算能力呢？

（1）处理好展开和压缩的关系

计算教学中要处理好一个关系——展开和压缩的关系。

刚开始学习做题时，应该一步一个脚印来展开，先怎么做，再怎么做，最后怎么做，这些步骤学生一定要明白。

如两位数加两位数笔算加法：

先把相同数位对齐，从个位加起，满十向十位进一；而且这个步骤要一步一步来，等到熟练以后这个过程就可以压缩了，压缩到学生不加思索就能做出来。

比如说10以内的退位减法，有的老师用破10的方法，15-7=8，先用10-7=3，再用3+5=8。

让学生在动手操作的基础上掌握计算方法，以后学生完全压缩到自己都不能意识的程度，15-7=8很快就得出结果，这就是基本的计算技能训练到位的表现。

（2）精心组织练习

练习的呈现方式要多种多样，而且要符合学生的认知特点，激发学生的兴趣。

这就需要教师精心地准备练习。

对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；对于旧知识不是不理不睬，在学习新的技能时要把学过的计算技能纳入进去；老师在选择练习时，要把那些容易错的、易混的、具有强信息干扰的、思维定势的题目多练。

如：

24×5和25×4、15×6和16×5学生特别容易混，就要对比练；而对于12×2、13×3这样没有进位的题目，就少练。

（3）注意练习的及时反馈，有效地进行调控和指导

加强对学习有困难的学生的辅导。

正确认识学生个体的差异，因材施练，关注每个学生的学习，注意了解分析错因，有针对性进行辅导。

（4）合理地安排练习时间

根据计算形成的各阶段的特点，应适当地分配练习的次数和时间，技能的形成和巩固需要有足够的练习次数和时间，但是并非练习的次数越多，时间越长，练习的效果就越好。

作为教师不能一味的“傻练”，认为“多多益善”的想法是不科学的。

二、关于估算教学的思考

估算在数学课程中得到了强调，《全日制义务教育课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中在第一、二学段的“数与代数”中共有45条具体目标，其中有关估算的目标就有6条。

实验教材也大大增强了估算的份量，教师们更是在估算教学中进行着积极探索。

在我们的生活经验当中，估计是非常普遍的。

有学者将估计的形式分为了三种：

数量估计（大约有多少，有人称之为估数）、测量估计（即我们所说的估测）、计算估计（即我们所说的估算），这里讨论的是估算。

1.估算的价值

（1）估算在日常生活中有着广泛的应用

（2）估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据

（3）估算有利于人们事先来把握运算结果的范围，是发展学生数感的一个重要的途径

（4）估算对学生后续的数学学习有重要作用

总之，作为数学教师，我们只有更加深刻地去感受，去领悟估算在我们生活工作中的价值，我们才能自觉地在我们的教学当中，很好地去培养学生的这种估算的意识，估算的能力，很好地去发展学生在这方面的一些创造能力。

2.新修订课标关于估算教学的要求

①《标准》中有关“估算”的目标要求

内容

学段

《标准》（实验稿）

《标准》

估算

第一学段

结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。

能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。

第二学段

在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。

在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。

②分析：

估算的内容是本次数学课程改革重点强调的内容之一。

而在实际教学中，教师对估算价值的理解，以及对估算内容的要求和应用仍然存在一些困惑。

这次修改强调了“选择适当的单位进行简单估算”，明确估算的重点一是要有具体的情境，二是在一个确定的情境中，根据实际需要选择适当的单位进行估算。

可见，估算的要求更加具体、明确。

有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。

两个学段对于估算的要求侧重点不同。

第一学段的估算强调在具体的情境中选择合适的单位。

第二学段强调学生在解决问题的过程中，选择合适的方法进行估算。

这个问题可以是实际问题，也可以是数学本身的问题。

3.估算教学的主要着眼点

目前“估算”从学生角度来讲的主要问题有两个：

一是学生不知道什么选择用估算，往往学生一看见有“大约”，就开始估了。

二是学生不知道在什么情况下选择用什么样的估算策略，也就是估算策略怎么能够合理地进行应用。

为此，给大家提供一些估算教学的策略，希望能有所启发。

（1）培养估算意识

估算教学，不是单纯地教给学生记住一种估算的方法，应当是通过估算的教学，来培养学生这种近似的意识，这种估算的意识，他不是被动地、机械地去记住一种估算方法，而是通过课堂教学，让学生逐步地去理解估算的意义，去发展学生的估算意识，在这个过程中，应当多增加一些学生的体验，不断地丰富学生这方面的经验，积累他的经验。

下面提几条具体的教学建议。

①教师要重视估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标

在教学设计时，首先要考虑教学目标，如果把目标定位在做一些机械的训练，可能就会给学生形成一种错误的定势。

而我们要培养学生估算的意识、近似的意识，这是我们数学教学本身发展应该关注的问题，也应该作为我们重要的教学目标来实施。

②要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性

在我们的生活当中需要估算的地方确实很多，那么能够设计一个这样体现估算价值的情境，让学生在解决问题中，去体会估算的必要性。

久而久之，学生估算的意识就会不断加强。

③要鼓励学生，利用估算来验证计算结果，来养成好的习惯

比如现在学生用计算器计算，再比如学生的精确笔算，那么结果对不对呢，特别是积的位数、商的位数，准确不准确呢，可以先用估算的方法，来确定一下它大致的取值范围，这样就帮助学生来验证计算的结果。

估算意识的培养，应该从点点滴滴做起，使学生逐步地养成一种习惯，形成这种良好的习惯以后，他会自觉地进行估算。

④要引导学生在问题情境的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累这方面的经验

作为数学教师，我们要想办法搜集或者捕捉一些好的素材，在具体的问题情境当中让学生去感受，哪些问题解决需要近似值，就是需要估算，哪些问题解决一定要算出精确值，比如像刚才我说的那个题，“全家吃饭”的例子就是估算，大约是200元，这就是估算。

当然没有必要精确地计算了，在这种情况下，我们就选择用估算，而不选择用精确计算。

但作为饭店的收银员就需要精确计算，估算显然不行。

估算教学，是一个新的内容，我们没有积累更多的经验。

虽然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的还多，可是真正好的例子，能够搬到课堂上来用的，并不很多。

特别是适合儿童的、贴近儿童的现实生活的例子就显得有些不足。

为学生创设好情境，提出好问题需要我们不断地去积累鲜活的例子，这正是给老师们提出了一个新的挑战。

（2）教师可以适当第总结具体的估算的方法

（3）形成估算策略

3.估算的评价

（1）对估算意识的评价

（2）对于估算策略的评价

估算分为：

一种是根据实际问题来进行估算，一种是脱离实际问题的情境，纯算式的进行估算。

①根据实际问题的需要，选择合理的估算策略

②纯试题的估算，只要结果落在合理的区间内，就可以认为是正确的

③注重对估算结果数量级中的把握

4.关于估算的教学建议

①整体把握估算教学

所谓整体把握估算教学，就是要把握自己所教估算教学部分的知识结构与地位，要知道自己所教学的估算知识部分在整个小学阶段处于什么位置?

对今后的估算学习能起到什么作用?

要在自己所教的一段达到什么样的目标?

这样一来在教学中就会做到游刃有余，心中有数。

②教师要重视估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标

首先要考虑估算的教学目标，如果把目标仅仅定位在就教会凑整估算，或是见到“大约”就要估算，做一些机械的训练，可能就会给学生形成一种错误的定势。

而估算教学中，首要重要的如何培养学生近似的意识，这是我们数学教学本身应该关注的问题，应该作为重要的教学目标来进行实施。

学习估算的开始阶段，对学生来说可能有一定的难度，或许会影响一点教学进度或计算速度，这时老师不能为了赶进度而着急，应该给学生充分理解的空间和时间。

要知道开头的“慢”正是为了不久之后的“快”和“好”。

③要选好题目，提出好问题，让学生体会估算的意义和价值。

作为教师，在教学设计当中，首先要选好题目，提出有估算价值的问题。

比如，三位数除以两位数，你估一估这道题，它的商是几位数？

这个问题就有价值。

另外，只有选好题目、提出好问题学生才能自觉体会到估算的价值，学生有了对估算价值这种体验以后，他的估算意识才能不断增强。

另外，估算教学，要结合具体的问题情境让学生体会到估算的意义和价值，结合学生的实际，尤其是已有的知识水平和生活经验提出合适的问题，才能使得学生对估算的意义有深刻的体会，尤为重要的是，给学生充分的交流时间和空间，通过学生的交流让学生解释过算的过程。

④鼓励方法多样化，重视交流、解释过程，让学生进行合理估算。

由于学生对于相关数学知识和技能的掌握情况及思维方式、水平不同，在估算中方法会多种多样。

教师要积极鼓励学生估算方法多样化，应让学生充分交流，表达自己的想法，了解他人的算法，使学生体会到解决同一个问题可以有不同的方法，促进学生进行比较和优化。

⑤鼓励学生利用估算来验证计算结果，养成好习惯

现在学生们有时用计算器计算，有时学生用精确笔算，结果对不对，特别是积的位数、商的位数，准确不准确，可以先用估算的方法，来确定一下它大致的取值范围，这样可以帮助学生来验证计算的结果。

估算意识的培养，应该从点点滴滴做起，使学生逐步地养成一种习惯，形成这种良好的习惯以后，他会自觉地进行估算。

⑥引导学生在问题情境的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累这方面的经验

作为数学教师，要想办法搜集或者捕捉一些好的素材，在具体的问题情境当中让学生去感受，什么样的问题解决需要近似值，就是需要估算，哪些问题解决一定要算出精确值，比如“全家吃饭”饭费大约200元，就是估算。

没有必要精确地计算。

但作为饭店的收银员就需要精确计算，估算显然不行。

三、正确处理精算和估算的关系

以上我们分别对精确计算和估算进行了梳理，但是我们必须明确精算和估算绝不是互无关系的两条路径，也不是非此即彼的关系。

估算在解决实际问题中经常用到，估算与精算相互补充，在实际运用有不同的功能。

对于一些问题可能只需要估算，就没有必要一定要精算。

如购物时，选择一些物品后，先估计一下大约需要多少钱，自己带的钱是否足够。

《标准》中的案例6：

学校组织987名学生去公园游玩。

如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？

就是这样一个例子。

在此例中适当的方法是把987人看成1000人，所以适当的单位是“1000人”。

有时在精算的过程中也用到估算。

如乘法运算时先估计结果是几位数，可以简单判断结果是否正确。