.
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．（ ）
（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．（ ）
（3）正态曲线是一条钟形曲线．（ ）
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√
2．设随机变量X的正态密度函数为f（x）＝
·e
，x∈（－∞，＋∞），则参数μ，σ的值分别是（ ）
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝
D．μ＝－3，σ＝
D [由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝
.]
3．设X～N
，则P（－1＜x＜1）＝________.
0．9545 [∵X～N
，∴μ＝0，σ＝
，
∴P（－1＜X＜1）＝P（0－2σ＜X＜0＋2σ）＝0.9545.]
4．有一种精密零件，其尺寸X（单位：
mm）服从正态分布N（20,4）．若这批零件共有5000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；
（2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
[解]
（1）∵X～N（20,4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
（2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是
＝2.14%.因此尺寸在24～26mm间的零件大约5000×2.14%≈107（个）．
∴这批零件中不合格的零件大约有107个．
课时分层作业（十六） 正态分布
（建议用时：
60分钟）
[基础达标练]
一、选择题
1.如图是正态分布N（μ，σ
），N（μ，σ
），N（μ，σ
）（σ1，σ2，σ3>0）对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是（ ）
A．σ1>σ2>σ3
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
A [由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.]
2．若随机变量X～N（1,22），则D
等于（ ）
A．4 B．2 C.
D．1
D [因为X～N（1,22），所以D（X）＝4，所以D
＝
D（X）＝1.]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ>2）＝0.023，则P（－2≤ξ≤2）＝（ ）
A．0.447B．0.628
C．0.954D．0.977
C [∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），
∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P（ξ>2）＝0.023，
∴P（ξ<－2）＝0.023.
∴P（－2≤ξ≤2）＝1－2×0.023＝0.954.]
4．随机变量ξ～N（2,10），若ξ落在区间（－∞，k）和（k，＋∞）的概率相等，则k等于（ ）
A．1B．10
C．2D．
C [∵区间（－∞，k）和（k，＋∞）关于x＝k对称，
所以x＝k为正态曲线的对称轴，
∴k＝2，故选C.]
5．已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：
若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68.27%，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ）＝95.45%.）
A．4.56%B．13.59%
C．27.18%D．31.74%
B [由正态分布的概率公式知P（－3＜ξ＜3）＝0.6827，P（－6＜ξ＜6）＝0.9545，
故P（3＜ξ＜6）＝
＝
＝0.1359＝13.59%.]
二、填空题
6．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.
[由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P（X≤μ）＝
.]
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0,1]内取值的概率为0.4，则X在（0,2]内取值的概率为________．
0．8 [∵X～N（1，σ2），且P（0＜X≤1）＝0.4，∴P（0＜X≤2）＝2P（0＜X≤1）＝0.8.]
8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（μ，σ2），在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于（μ－3σ，μ＋3σ）这个尺寸范围的零件可能有_________个．
3 [因为P（μ－3σ<ξ≤μ＋3σ）≈0.9973，所以不属于区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的零点个数约为1000×（1－0.9973）＝2.7≈3个．]
三、解答题
9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布N（2，σ2）（σ>0），若X在（0,2）内取值的概率为0.2，求：
（1）X在（0,4）内取值的概率；
（2）P（X>4）．
[解]
（1）由X～N（2，σ2），
对称轴x＝2，画出示意图，
因为P（0所以P（0（2）P（X>4）＝
[1－P（0（1－0.4）＝0.3.
10．生产工艺工程中产品的尺寸误差（单位：
mm）X～N（0,1.52），如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm为合格品，求：
（1）X的密度函数；
（2）生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．
[解]
（1）根据题意，知X～N（0,1.52），即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ（x）＝
e
.
（2）设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P（|X|≤1.5）＝P（－1.5≤X≤1.5）＝0.6827，
而Y～B（5,0.6827），合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4，
所以P（Y≥4）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＝C
×0.68274×（1－0.6827）＋0.68275≈0.4929.
[能力提升练]
1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A．2387B．2718
C．3414D．4777
附：
若X～N（μ，σ2），则P（μ－σP（μ－2σC [由P（－1＝3414.]
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110,25）．据此估计，大约应有57人的分数在区间（ ）
A．（90,110]内B．（95,125]内
C．（100,120]内D．（105,115]内
C [
＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间（110－2×5,110＋2×5]内．]
3．已知正态总体的数据落在区间（－3，－1）里的概率和落在区间（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
1 [由题意知区间（－3，－1）与（3,5）关于直线x＝μ对称，
因为区间（－3，－1）和区间（3,5）关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]
4．已知正态分布N（μ，σ2）的密度曲线是f（x）＝
·e
，x∈R的图象．给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f（μ＋x）＝f（μ－x）成立；
②如果随机变量X服从N（μ，σ2），且F（x）＝P（X③如果随机变量X服从N（108,100），那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N（μ，σ2），P（X<1）＝
，P（X>2）＝p，则P（0其中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
①②④ [如果随机变量X～N（108,100），所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，
故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④.]
5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P（187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．
附：
≈12.2.
若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ[解]
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
（2）①由
（1）知，Z～N（200,150），从而P（187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6827，依题意知X～B（100，0.6827），所以E（X）＝100×0.6827＝68.27.
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