最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309汇总.docx
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最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309汇总
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309
第三章微分中值定理与导数的应用答案
§3.1微分中值定理«SkipRecordIf...»
1．填空题
（１）«SkipRecordIf...»（２）3,«SkipRecordIf...»
2．选择题
（１）B（２）C（３）B
3．
证明：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»为一常数．
设«SkipRecordIf...»，又因为«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»．
4．
证明：
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»可导,且«SkipRecordIf...»，根据罗尔定理知，存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»．同理存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»．又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上
符合罗尔定理的条件，故有«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．
5．
证明：
设«SkipRecordIf...»， 则«SkipRecordIf...»，根据零点存在定理至少存在一个«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．另一方面，假设有«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»，根据罗尔定理，存在«SkipRecordIf...»使«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，这与«SkipRecordIf...»矛盾．故方程«SkipRecordIf...»只有一个实根．
6．
证明：
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导，从而«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»内连续，在开区间«SkipRecordIf...»内可导．又因为«SkipRecordIf...»，根据零点存在定理，必存在点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．同理，存在点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足罗尔定理的条件，故存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»成立．
7.
证明：
只需令«SkipRecordIf...»，利用柯西中值定理即可证明.
8．
（１）
证明：
设«SkipRecordIf...»，函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理的条件，且«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
因此，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
（２）
证明：
设«SkipRecordIf...»，则函数在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理得条件，有
«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»，又因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»，
从而«SkipRecordIf...»．
§3.2洛毕达法则
1．填空题
（１）«SkipRecordIf...»（２）0（３）«SkipRecordIf...»（４）1
２．选择题
（１）B（２）C
3．
（１）解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（２）解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（３）解：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»．
（４）解：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»．
（５）解：
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»．
（６）解：
«SkipRecordIf...»
（７）解：
«SkipRecordIf...»．
（８）解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（９）解：
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»=1．
§3.3泰勒公式
１．
解：
«SkipRecordIf...»，
同理得«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»．
由泰勒公式得：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
2．
解：
因为«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
3．
解：
设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»，
则«SkipRecordIf...»为所求．
4．
解：
因为«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»．
5．
证明：
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»．由麦克劳林公式得：
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»介于0与«SkipRecordIf...»之间），
因此«SkipRecordIf...»，由于«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»．
§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1．填空题
（１）«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»（２）增加
（３）«SkipRecordIf...»（４）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
2．单项选择题
（１）A （２）B（３）D（４）B
3．
（１）解：
«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加；
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少．
（２）解：
«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»，或«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加；
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少．
（３）解：
«SkipRecordIf...»，故函数在«SkipRecordIf...»单调增加．
3．
（１）
证明：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内单调增加.
于是,由«SkipRecordIf...»,就有«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»
（２）
证明：
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，由于当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».故当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»．
（３）
证明：
设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,从而当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».因此当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
4．
解：
设«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»连续,且«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»内的唯一驻点．
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调减少，在«SkipRecordIf...»上单调增加．
故«SkipRecordIf...»为极小值，因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»的最大值是«SkipRecordIf...»,最小值是«SkipRecordIf...»．
（１）当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,方程在«SkipRecordIf...»内无实根；
（２）当«SkipRecordIf...»时,有两个实根；
（３）当«SkipRecordIf...»时，有唯一实根．
5．
解：
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...»解得«SkipRecordIf...»．
6．
（１）解：
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
令«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»不存在．
当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»．
故曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是凸的,在区间和«SkipRecordIf...»上是凹的，
曲线的拐点为«SkipRecordIf...»．
（２）解：
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»不存在；当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
故曲线在«SkipRecordIf...»上是凸的,在«SkipRecordIf...»上是凹的，«SkipRecordIf...»是曲线的拐点,
7．
证明：
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»．
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故函数«SkipRecordIf...»的图形在«SkipRecordIf...»上是凸的,从而曲线«SkipRecordIf...»在线段«SkipRecordIf...»（其中«SkipRecordIf...»）的上方，又«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»．
§3.5函数的极值与最大值最小值
1．填空题
（１）«SkipRecordIf...»（２）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
2．选择题
（１） C（２） B （３）Ａ
3．
（１）解：
由«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»．
«SkipRecordIf...»，所以函数在«SkipRecordIf...»点取得极小值．
（２）解：
定义域为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
令«SkipRecordIf...»得驻点«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
因此«SkipRecordIf...»为极大值．
4．
解：
«SkipRecordIf...»．
由«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»．
而«SkipRecordIf...»,所以最大值为132，最小值为7．
5．
解：
设圆锥体的高为«SkipRecordIf...»,底半径为«SkipRecordIf...»,故圆锥体的体积为«SkipRecordIf...»，
由于«SkipRecordIf...»，因此«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»，此时«SkipRecordIf...»．
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在«SkipRecordIf...»的内部取得.现在«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内只有一个根,故当«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»时,内接锥体体积的最大．
6.
解:
设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»间的运费为«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»），
其中«SkipRecordIf...»是某一正数．
由«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...».
由于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,其中以«SkipRecordIf...»为最小,因此当AD=«SkipRecordIf...»km时,总运费为最省．
7．
解：
问题转化为求过点«SkipRecordIf...»的线段«SkipRecordIf...»的最大值.设木料的长度为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，木料与河岸的夹角为«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，
且«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»．
则«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»,此时«SkipRecordIf...»，
故木料最长为«SkipRecordIf...»．
§3.6函数图形的描绘
１．
解：
由«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»为曲线«SkipRecordIf...»的铅直渐近线．
因为«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»为曲线«SkipRecordIf...»的斜渐近线．
2．
解：
函数的定义域为«SkipRecordIf...»．
«SkipRecordIf...»．
令«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»；令«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»．列表讨论如下：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
＋
«SkipRecordIf...»
－
＋
«SkipRecordIf...»
＋
«SkipRecordIf...»
－
－
－
－
«SkipRecordIf...»
＋
«SkipRecordIf...»
⎛
极大值«SkipRecordIf...»
⎫
⎛
拐点«SkipRecordIf...»
⎭
由于
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以，«SkipRecordIf...»是曲线的斜渐近线．又因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»是曲线的铅垂渐近线．
当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»；当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»．
综合上述讨论，作出函数的图形如下
§3.7曲率
1．填空题:
（１）__0__（２）___2____，«SkipRecordIf...»（３）«SkipRecordIf...»．
2．
解：
由题设可知函数«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故
«SkipRecordIf...»．
3．
解：
«SkipRecordIf...»,曲线在一点处的曲率为
«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调增加,因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的最大值是«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的曲率半径最小,其曲率半径为«SkipRecordIf...»．
4．
解：
«SkipRecordIf...»
因此曲率«SkipRecordIf...»，
曲率半径«SkipRecordIf...»．
§3.7方程的近似解
1.
证明:
令«SkipRecordIf...»，函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增．«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，且«SkipRecordIf...»,故方程«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»内有唯一的实根．求近似值的过程略．
第三章综合练习题
1．填空题
（１）0（２）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»（３）«SkipRecordIf...»．（４）1．
2．
（１）
解：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
＝«SkipRecordIf...»．
（２）
解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«Skip
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