最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答汇总.docx
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最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答汇总
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章微分中值定理与导数的应用答案
§3.1微分中值定理
1．填空题
（１）函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是«SkipRecordIf...»．
（２）设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»有3个实根，分别位于区间«SkipRecordIf...»中．
2．选择题
（１）罗尔定理中的三个条件:
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，在«SkipRecordIf...»内可导，且«SkipRecordIf...»，是«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»成立的（B）．
A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
（２）下列函数在«SkipRecordIf...»上满足罗尔定理条件的是（C）．
A. «SkipRecordIf...»B. «SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...» D.«SkipRecordIf...»
（３）若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导，且«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»内任意两点，则至少存在一点«SkipRecordIf...»，使下式成立（B）．
A．«SkipRecordIf...»
B．«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»之间
C．«SkipRecordIf...»
D．«SkipRecordIf...»
3．证明恒等式：
«SkipRecordIf...»．
证明：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»为一常数．
设«SkipRecordIf...»，又因为«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»．
4．若函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内具有二阶导数，且«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，证明:
在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．
证明：
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»可导,且«SkipRecordIf...»，根据罗尔定理知，存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»．同理存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»．又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上
符合罗尔定理的条件，故有«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．
5．证明方程«SkipRecordIf...»有且仅有一个实根．
证明：
设«SkipRecordIf...»， 则«SkipRecordIf...»，根据零点存在定理至少存在一个«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．另一方面，假设有«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»，根据罗尔定理，存在«SkipRecordIf...»使«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，这与«SkipRecordIf...»矛盾．故方程«SkipRecordIf...»只有一个实根．
6．设函数«SkipRecordIf...»的导函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，且«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是介于«SkipRecordIf...»之间的一个实数．证明：
存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»成立.
证明：
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导，从而«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»内连续，在开区间«SkipRecordIf...»内可导．又因为«SkipRecordIf...»，根据零点存在定理，必存在点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．同理，存在点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足罗尔定理的条件，故存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»成立．
7.设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导.试证:
至少存在一点«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...»
证明：
只需令«SkipRecordIf...»，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
（１）当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
证明：
设«SkipRecordIf...»，函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理的条件，且«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
因此，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
（２）当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
证明：
设«SkipRecordIf...»，则函数在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理得条件，有
«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»，又因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»，从而
«SkipRecordIf...»．
§3.1洛毕达法则
1．填空题
（１）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（２）«SkipRecordIf...»0
（３）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
（４）«SkipRecordIf...»1
２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）
A．«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
B．«SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...»
C． «SkipRecordIf...»不存在
D．«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（C）
A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»C． «SkipRecordIf...» D．«SkipRecordIf...»
3．求下列极限
（１）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（２）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（３）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»．
（４）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»．
（５）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»．
（６）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»
（７）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»．
（８）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
（９）«SkipRecordIf...»．
解：
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»=1．
§3.3泰勒公式
１．按«SkipRecordIf...»的幂展开多项式«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»，
同理得«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»．
由泰勒公式得：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
2．求函数«SkipRecordIf...»的带有佩亚诺型余项的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式．
解：
因为«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»．
3．求一个二次多项式«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»．
解：
设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»，
则«SkipRecordIf...»为所求．
4．利用泰勒公式求极限«SkipRecordIf...»．
解：
因为«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»．
5．设«SkipRecordIf...»有三阶导数,且«SkipRecordIf...»,证明在«SkipRecordIf...»内存在一点«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»．
证明：
因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»．
由麦克劳林公式得：
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»介于0与«SkipRecordIf...»之间），因此«SkipRecordIf...»，由于«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»．
§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1．填空题
（１）函数«SkipRecordIf...»的单调增加区间是«SkipRecordIf...»，单调减少区间«SkipRecordIf...»．
（２）若函数«SkipRecordIf...»二阶导数存在，且«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是单调增加．
（３）函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内单调增加，则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»．
（４）若点（1，3）为曲线«SkipRecordIf...»的拐点，则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，曲线的凹区间为«SkipRecordIf...»，凸区间为«SkipRecordIf...»．
2．单项选择题
（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数.
A.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...» B.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...» D.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（２）设«SkipRecordIf...»，则在区间«SkipRecordIf...»内（B）．
A.«SkipRecordIf...»单调增加，曲线«SkipRecordIf...»为凹的
B.«SkipRecordIf...» 单调减少，曲线«SkipRecordIf...»为凹的
C. «SkipRecordIf...»单调减少，曲线«SkipRecordIf...»为凸的
Ｄ．«SkipRecordIf...»单调增加，曲线«SkipRecordIf...»为凸的
（３）«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,则（D）
A.任意«SkipRecordIf...»B.任意«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»单调增D.«SkipRecordIf...»单调增
（４）设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（B）
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
2．求下列函数的单调区间
（１）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加；
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少．
（２）«SkipRecordIf...»．
解：
«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»，或«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加；
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少．
（３）«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»，故函数在«SkipRecordIf...»单调增加．
3．证明下列不等式
（１）证明：
对任意实数«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»,成立不等式«SkipRecordIf...»．
证明：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内单调增加.
于是,由«SkipRecordIf...»,就有«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»
（２）当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»．
证明：
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，由于当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».故当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»．
（３）当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
证明：
设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,从而当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».因此当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
4．讨论方程«SkipRecordIf...»（其中«SkipRecordIf...»为常数）在«SkipRecordIf...»内有几个实根．
解：
设«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»连续,且«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»内的唯一驻点．
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调减少，在«SkipRecordIf...»上单调增加．
故«SkipRecordIf...»为极小值，因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»的最大值是«SkipRecordIf...»,最小值是«SkipRecordIf...»．
（１）当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,方程在«SkipRecordIf...»内无实根；
（２）当«SkipRecordIf...»时,有两个实根；
（３）当«SkipRecordIf...»时，有唯一实根．
5．试确定曲线«SkipRecordIf...»中的a、b、c、d，使得«SkipRecordIf...»处曲线有水平切线，«SkipRecordIf...»为拐点，且点«SkipRecordIf...»在曲线上．
解：
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...»
解得：
«SkipRecordIf...»．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
（１）«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
令«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»不存在．
当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»．
故曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是凸的,在区间和«SkipRecordIf...»上是凹的，
曲线的拐点为«SkipRecordIf...»．
（２）«SkipRecordIf...»拐点及凹或凸的区间
解：
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»不存在；当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»．
故曲线在«SkipRecordIf...»上是凸的,在«SkipRecordIf...»上是凹的，«SkipRecordIf...»是曲线的拐点,
7．利用凹凸性证明:
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»
证明：
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»．
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故函数«SkipRecordIf...»的图形在«
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