含29套全国考研数学二历年真题(1989年至2018年).doc
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含29套考研数学二历年真题：
1985年至2018年全国考研数学二真题
真题目录（29套）
1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
3、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
4、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
5、1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
6、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
7、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
8、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
9、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
10、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
11、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
12、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
13、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
14、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
15、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
16、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
17、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
18、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
19、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
20、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
21、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
22、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
23、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
24、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
25、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
26、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
27、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
28、2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
29、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题（每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.）
（1）＿＿＿＿＿＿.
（2）＿＿＿＿＿＿.
（3）曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.
（4）设,则＿＿＿＿＿＿.
（5）设是连续函数,且,则＿＿＿＿＿＿.
（6）设在处连续,则常数与应满足的关系是＿＿＿＿＿.
（7）设,则＿＿＿＿＿＿.
二、计算题（每小题4分,满分20分.）
（1）已知,求.
（2）求.
（3）求.
（4）已知求及.
（5）已知及,求.
三、选择题（每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）设时,曲线（）
（A）有且仅有水平渐近线
（B）有且仅有铅直渐近线
（C）既有水平渐近线,也有铅直渐近线
（D）既无水平渐近线,也无铅直渐近线
（2）若,则方程（）
（A）无实根（B）有唯一实根
（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根
（3）曲线与轴所围成的图形,绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
（4）设两函数及都在处取得极大值,则函数在处
（）
（A）必取极大值（B）必取极小值
（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定
（5）微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数）（）
（A）（B）（C）（D）
（6）设在的某个领域内有定义,则在处可导的一个充分条件是（）
（A）存在
（B）存在
（C）存在
（D）存在
四、（本题满分6分）
求微分方程满足的解.
五、（本题满分7分）
设,其中为连续函数,求.
六、（本题满分7分）
证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.
七、（本大题满分11分）
对函数,填写下表：
单调减少区间
单调增加区间
极值点
极值
凹（）区间
凸（）区间
拐点
渐近线
八、（本题满分10分）
设抛物线过原点,当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为,试确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（每小题3分,满分21分.）
（1）、
解：
这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.
方法一：
.
方法二：
【相关知识点】是两个重要极限中的一个,.
（2）、
解：
利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,
.
（3）、
解：
要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即.
这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即.
由在其定义域内的连续性,可知.
所以,所求切线方程为,即.
（4）、
解：
方法一：
利用函数导数的概念求解,即
.
方法二：
利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,
所以.
（5）、
解：
由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故
为一常数,为简化计算和防止混淆,
令,则有恒等式,两边0到1积分得
即,
解之得,因此.
（6）、
解：
如果函数在处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,
由函数连续性可知.
而,
如果在处连续,必有,即.
（7）、
解：
这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得,
所以,（）.
二、计算题（每小题4分,满分20分.）
（1）解：
令,,则,由复合函数求导法则,,
即.
【相关知识点】复合函数求导法则：
的导数.
（2）解：
利用不定积分的换元积分法,.
（3）解：
可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,
令,则当时,,
则,
这是个比较熟悉的极限,即.
所以,
而,
所以.
（4）解：
这是个函数的参数方程,
.
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：
如果,则.
（5）解：
利用定积分的分部积分法求解定积分,
令,则,
所以.
把及代入上式,得
.
三、选择题（每小题3分,满分18分.）
（1）、（A）
解：
函数只有间断点.
其中是有界函数.当时,为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以
故函数没有铅直渐近线.
所以为函数的水平渐近线,所以答案为（A）.
【相关知识点】铅直渐近线：
如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：
当,则为函数的水平渐近线.
（2）、（B）
解：
判定方程实根的个数,其实就是判定函数与有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,
令,
则.
令,则,
其判别式,
所以无实根,即.
所以在是严格的单调递增函数.
又
所以利用连续函数的介值定理可知,在内至少存在一点使得,又因为是严格的单调函数,故是唯一的.
故有唯一实根,应选（B）.
（3）、（C）
解：
如图的图像,则当绕轴旋转一周,在处取微增,则微柱体的体积,所以体积有
.
因此选（C）.
（4）、（D）
解：
题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.
若取,两者都在处取得极大值0,而在处取得极小值,所以（A）、（C）都不正确.
若取,两者都在处取得极大值1,而在处取得极大值1,所以（B）也不正确,从而选（D）.
（5）、（B）
解：
微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为,它的两个根是.
而形如必有特解；必有特解.
由叠加得原方程必有特解,应选（B）.
（6）、（D）
解：
利用导数的概念判定在处可导的充分条件.
（A）等价于存在,所以只能保证函数在右导数存在；
（B）、（C）显然是在处可导的必要条件,而非充分条件,
如在处不连续,因而不可导,但是
均存在；
（D）是充分的：
存在存在,应选（D）.
四、（本题满分6分）
解：
所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式
通解为.
代入初始条件,得,所求解为.
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为,其通解公式为
其中为常数.
五、（本题满分7分）
解：
先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
再求导,得
即,
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为,
此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解.
代入方程并比较系数,得,故,所以
.
又因为,所以,即.
六、（本题满分7分）
解：
方法一：
判定方程等价于判定函数与的交点个数.
令,
其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故
为简化计算,令,即,
则其导数,令解得唯一驻点,
即,
所以,是最大点,最大值为.
又因为,
由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点（不相同）,
故方程在有且仅有两个不同实根.
方法二：
因为当时,,所以
.
其它同方法一.
七、（本大题满分11分）
解：
函数的定义域为,将函数化简为
则.
令,得,即
故为极小值点.
令,得,即
在处左右变号,所以为函数的拐点.
又故是函数的铅直渐近线；
故是函数的水平渐近线.
填写表格如下：
单调减少区间
单调增加区间
极值点
极值
凹区间
凸区间
拐点
渐近线
八、（本题满分10分）
解：
由题知曲线过点,得,即.
如图所示,从的面积,所以
由题知,即.
当绕轴旋转一周,则从的体积,所以
旋转体积
用代入消去,得,这是个含有的函数,两边对求导得
令其等于0得唯一驻点,在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,
这时,故所求函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题（每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）设,则＿＿＿＿＿＿.
（2）曲线的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.
（3）＿＿＿＿＿＿.
（4）质点以速度米每秒作直线运动,则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.
（5）＿＿＿＿＿＿.
二、选择题（每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）若曲线和在点处相切,其中是常数,则（）
（A）（B）
（C）（D）
（2）设函数记,则（）
（A）（B）
（C）（D）
（3）设函数在内有定义,是函数的极大点,则（）
（A）必是的驻点（B）必是的极小点
（C）必是的极小点（D）对一切都有
（4）曲线（）
（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线
（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线
（5）如图,轴上有一线密度为常数,长度为的细杆,有一质量为的质点到杆右端的距离为,已知引力系数为,则质点和细杆之间引力的大小为（）
（A）（B）
（C）（D）
三、（每小题5分,满分25分.）
（1）设,求.
（2）计算.
（3）求.
（4）求.
（5）求微分方程满足的特解.
四、（本题满分9分）
利用导数证明：
当时,有不等式成立.
五、（本题满分9分）
求微分方程的通解.
六、（本题满分9分）
曲线和轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
七、（本题满分9分）
如图,和分别是曲线和上的点,和均垂直轴,且
,求点和的横坐标,使梯形的面积最大.
八、（本题满分9分）
设函数在内满足,且,
计算.
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）、
解：
由复合函数求导法则,即的微分为,有
.
（2）、
解：
求函数的凹凸区间,只需求出,若,则函数图形为上凹,若
则函数图形为上凸,由题可知
.
因为,所以当时,函数图像上凸,即时,函数图像上凸.故曲线上凸区间为.
（3）、
解：
用极限法求广义积分.
.
（4）、
解：
这是定积分的应用.
设在时刻的速度为,则在时间内的路程为,所以从时刻秒到秒内质点所经过的路程为
.
（5）、
解：
这是一个型未定式,分子分母同乘以,得
.
为简化计算,令,则,原式可化为
.
二、选择题（每小题3分,满分15分.）
（1）、（D）
解：
两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,
对两函数分别对求导,得
则该曲线在点处的导数为,
即,则曲线在点处的导数为
两导数相等,有,即.
又因为曲线过点,所以有.
所以选项（D）正确.
（2）、（B）
解：
这是分段函数求定积分.
当时,,所以.
当时,,所以
.
所以,应选（B）.
（3）、（B）
解：
方法一：
用排除法.
由于不可导点也可取极值,如,在处取极大值,但是不是的驻点,所以（A）不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以（D）也不正确；
对于,在处取极大值,但并非是的极小值点,所以（C）也不成立；故选（B）.
方法二：
证明（B）是正确的,因为,不妨设,则为极大值,则在的某个领域内有；
函数与函数关于原点对称,所以必有,即在的某个领域内为极小值,故（B）是正确的.
（4）、（D）
解：
函数的定义域为,所以函数的间断点为,
所以为铅直渐近线,
所以为水平渐近线.
所以选（D）.
知识点：
铅直渐近线：
如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：
当,则为函数的水平渐近线.
（5）、（A）
解：
如图建立坐标系,则中,长度的细杆的质量为,与质点的距离为,故两点间的引力为,积分得,故选（A）.
同理应用微元法可知,若以的中点为原点,则质点的坐标为,故
；
若以的左端点为原点,则质点的坐标为,故.
故（B）、（C）、（D）均不正确,应选（A）.
三、（每小题5分,满分25分.）
（1）解：
这是个函数的参数方程,
.
知识点：
参数方程所确定函数的微分法：
如果,则.
（2）解：
用换元法求定积分.
令,则,则
.
（3）解：
利用等价无穷小和洛必达法则.
当时,有,所以
.
（4）解：
用分部积分法求不定积分.
.
（5）解：
所给方程是一阶线性方程,其标准形式为.通解为
.
代入初始条件得,所以特解为.
知识点：
一阶线性非齐次微分方程的通解为
其中为常数.
四、（本题满分9分）
解：
首先应简化不等式,从中发现规律.
当时,原不等式即,即.
证法一：
令,则只需证明在时即可,
可利用函数的单调性证明,对于有
.
因,故,即,所以在上是严格递增函数,所以
故,所以当时,有不等式成立.
证法二：
当时,原不等式即,不等式左右两端形式一致,故令
则,所以在时严格单调递增,故，即.
所以当时,有不等式成立.
五、（本题满分9分）
解：
微分方程对应的齐次方程的特征方程为,
特征根为,故对应齐次通解为.
方程必有特解为,代入方程可得.
方程的右端,为特征根,必有特解,代入方程可得.
由叠加原理,原方程必有特解.
所以原方程的通解为.
知识点：
关于微分方程特解的求法:
如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解,其中与同次（次）的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或.
如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为
其中与是次多项式,,而按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.
六、（本题满分9分）
解：
利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与轴的交点是
顶点坐标为.
方法一：
考虑对积分,如图中阴影部分绕轴旋转一周,
环柱体的体积为
其中为的高阶无穷小,故可省略,且为负的,
故,即.
把从积分得
.
方法二：
考虑对的积分,如图中阴影部分绕轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕轴旋转一周后的体积差,即
其中,为与抛物线的交点,且,
把代入抛物线方程,解得
故旋转体体积为.把的值代入化简,得
.
七、（本题满分9分）
解：
可以利用函数的极值求解.
设、的横坐标分别为,因为,所以.依题设
所以有,两边同时取自然对数,得
而,
所以梯形的面积为
.
求函数,（）的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对求导,并令有
得驻点,在此点由正变负,所以是极大值点.
又驻点唯一,故是最大值点.
此时,时,梯形面积最大,
故点的坐标为,点的坐标为.
八、（本题满分9分）
解：
这是个抽象函数求定积分,由题知
而,
对于,令,则,所以
;
对于,令,则,所以
;
所以
.
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）设其中可导,且,则＿＿＿＿＿＿.
（2）函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
（3）＿＿＿＿＿＿.
（4）＿＿＿＿＿＿.
（5）由曲线与直线所围成的图形的面积＿＿＿＿＿＿.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）当时,是的（）
（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小
（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小
（2）设,则（）
（A）（B）
（C）（D）
（3）当时,函数的极限（）
（A）等于2（B）等于0
（C）为（D）不存在但不为
（4）设连续,,则等于（）
（A）（B）
（C）（D）
（5）若的导函数是,则有一个原函数为（）
（A）（B）
（C）（D）
三、（本题共5小题,每小题5分,满分25分.）
（1）求.
（2）设函数由方程所确定,求的值.
（3）求.
（4）求.
（5）求微分方程的通解.
四、（本题满分9分）
设,求.
五、（本题满
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