实数教材分析.docx
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实数教材分析
实数教材分析
一、内容概述：
整体设计思路：
无理数的引入——无理数的表示——实数及其相关概念（包括实数运算），实数的应用贯穿于内容的始终。
本章学习对象——实数概念及其运算；学习过程——通过拼图活动引进无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的运算法则；学习方式——操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。
本章先设置具体的活动求面积为2的正方形的边长，提出问题：
它可能是整数吗？
它可能是分数吗？
让学生亲身经历这些活动，在讨论中引起认知冲突，感知生活中确实存在不同于有理数的数，产生探求的欲望：
它不是有理数，那它是什么数？
再让学生进一步借助计算器充分探索，得出它是一个无限不循环小数，从而给出无理数的概念。
这与历史上无理数的产生和发展过程是一致的，符合人的认识规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实世界中有其实际背景。
无理数有很多，开方开不尽的数是其中的一种，也是我们计算中经常接触到的。
教科书选取了一些生动的素材，引入平方根和立方根的概念和开方运算。
由于在实际情境中的开平方运算结果取的都是算术平方根，而且正数有两个平方根与学生长期的经验不符，学生不易接受，因此教科书先引入算术平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。
在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值。
教科书安排了一节内容：
公园有多宽，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验结果的合理性等等，其目的是发展学生的数感。
当无理数的概念和表示形式为学生熟知以后，实数概念的引入就水到渠成了。
本章最后总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。
本章对概念的处理上，抓住主要概念，注重概念的形成过程，让学生在具体的活动中获得认识，增强理解；对内容的安排上，联系实际情境，导入新知识，注意前后知识间的对比，同时让学生在运用中促进对知识的理解和掌握。
二、本章教学重点：
1.经历无理数发现的过程，了解无理数的概念和意义。
2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律。
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等等。
4.了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
5.能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算。
6.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
三、本章教学难点：
1.无理数概念的理解及应用；
2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化；
3.运算性质的掌握与应用。
四、教学关键：
1.讲清无理数概念的形成过程，让学生真正理解无理数的引入的意义；
2.了解实数的概念，掌握实数运算；
3.解决与实数有关的实际问题。
五、教学策略：
1．注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念。
概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。
概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的。
如无理数的引入，要让学生亲身经历活动，感受引入的必要性，初步认识无理数是无限不循环小数这一意义。
在教学时，教师要鼓励学生动手、动脑、动口，与同伴进行合作，并充分地开展交流。
再如，平方根的概念，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符。
对此，在平方根的引入时，教师可多提一些具体的问题，如9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。
还有其他的数，它的平方也是9吗？
等等，旨在引起学生的思考，特别是负数的情况，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。
接着让学生去讨论：
一个正数有几个平方根？
0有几个平方根？
负数呢？
引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后再通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念。
2．对于抽象的概念，教学时要把握住要求，尽量采用浅显、直观的描述性讲法，通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识。
概念的掌握不是一次完成的，有的概念不可能一下子就要求学生达到较深刻的理解，教学时要把握好阶段性，不要超前。
例如无理数概念，定义为“无限不循环小数”，在活动中学生能够体会“无限”，但对“不循环”不可能有清楚的认识，只能通过后面的理论分析来补充，这里只要求学生了解无理数的概念和意义，理解无限不循环小数是一类新数即可，教学时不必作另外的补充。
再如实数的稠密性即实数与数轴上的点一一对应，不可能要求学生有深刻的理解，只能通过后继的学习逐步完成。
3．注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。
类比法是本章的重要方法之一。
最主要的就是类比于有理数建立起实数中的相反数和绝对值的概念。
当然类比的对象间可能会表现出差异，这在进一步的类比——有理数与数轴的关系时表现出来了：
有理数与数轴上的点不是一一对应的，而实数与数轴上的点是一一对应的。
对于实数的运算律、运算性质等，也是通过类比得出的。
4.鼓励学生进行探索与交流
本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题，教学中应当让学生进行充分的探索和交流，如大正方形的边长a是什么数，教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受无理数引入的必要性，并体会无限不循环的过程；再如实数的相关运算法则，在教学过程中应让学生从中经历从具体问题到一般规律的探索过程，并鼓励学生用自己的语言清楚的表达。
5.对于二次根式，只给出了两条运算规律（加法和减法用合并同类项）
只要求学生会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化），因此教学中不要补充、引申。
6.允许和鼓励学生使用计算器
一方面，在保证基本运算技能的同时，教师应引导学生使用计算器完成较复杂的开方计算和实数计算，在课堂教学、课外作业以及考试中，应允许学生使用计算器；另一方面，应鼓励学生使用计算器进行探索规律的活动，发展学生的合情推理能力。
六、评价建议：
1．关注学生对无理数和实数概念的意义理解。
实数涉及的理论较深，学生目前没有必要也不可能有太深的认识，评价学生对无理数和实数概念的意义理解是主要方面，而不是让学生简单记忆概念。
为什么要引入无理数？
无理数与有理数有什么不同？
什么是实数？
2．关注考查学生对知识技能的理解和运用。
如能否举出或构造与无理数有关的实例，能否运用开方运算解决与实数有关的简单问题，能否用有理数估计一个无理数的大小（一般只要求估计到整数部分或一位小数，对于较复杂的无理数的运算则可以通过计算器来完成）。
3．重视学生的分析、概括、交流等能力的考察。
本章为学生提供了丰富的活动，如操作、猜测、验证、类比、推理等，在教学中教师应在活动中注意观察学生的表现，如是否积极主动地参与活动，是否独立思考，是否与同伴交流及能够使用数学语言、有条理地表达自己的思考过程，能否从具体问题抽象、概括等等，将此与书面考试的评价结合起来。
2.1数怎么又不够用了
教学核心：
1.感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；
2.经历无理数是无限不循环小数的探索过程，体会无限逼近思想。
3.会判断一个数是有理数还是无理数。
教学课时：
2课时
教学内容：
1.通过创设的操作活动，提出本节课的主要问题，感受无理数产生的实际背景；
2.让学生感受书本中的两个正方形边长等都不是分数和有理数，理解引入无理数的必要性；
3.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，体会无限逼近思想；
4.学会判断一个数是有理数还是无理数，能对简单常见数作出估算。
分析与建议：
第一课时
教材分析：
教材首先设置了一个简单的操作活动，两个小正方形剪拼成一个大正方形，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后提出本课时的主要问题，引起学生的思考与讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。
紧接着通过“做一做”、课本随堂练习及习题再次进入无理数的实际背景，使学生知道就在学生身边大量存在着无理数，懂得无理数引入的必要性。
教学建议：
1.重视标题。
让学生回忆七年级上册“有理数及其运算”中的标题“数怎么不够用了”，回顾一下数的发展史，使学生了解数是随着社会的发展而不断发展的，小数是怎样产生的？
负数、有理数是怎样产生的？
有理数是怎样分类的？
体会每一次的“不够用”就有新的数出现。
2.课本中的操作活动，学生的做法肯定有多种，不仅可以让学生感受无理数产生的实际背景，而且能够提高学生的动手操作能力和培养学生的创新意识，因此，教师应给予充足的时间。
3.对于问题（3）“a可能是什么数？
说说你的理由。
”、“（4）a可能是分数吗？
说说你的理由。
”学生回答有一定的难度，教师应鼓励学生进行思考和讨论，并做出适当的引导。
只需使学生知道a不能用分数来表示。
4.“做一做”让学生自己完成，进一步丰富无理数的实际背景，同时体会无理数在现实生活中是大量存在的。
5.在教学设计时，最好设计让学生举出一些类似于课本中的无理数的实际背景。
6.注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。
教学素材：
一个正方形木块的面积为8平方厘米，那么它的边长满足什么条件？
可能是整数吗？
可能是分数吗？
请你估计一下，它大概是多少？
第二课时
教材分析：
本节是前一节知识的延续，从前一节的定性描述转化为定量研究，进一步引起学生的思考。
由创设的问题“面积为2的正方形的边长究竟是多少”作为引入，在学生已有的知识（这个数既不是整数也不是分数）的基础上提出的一个很自然的问题，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会无限逼近的数学思想，得到“这个数是一个无限不循环小数”的结论；通过“做一做”让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，同时体会无理数的无限不循环的特点。
最后理解无理数的概念和无理数的判断的方法。
教学建议：
1.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程，因此，要重视课本创设（或相同类型）的问题，针对内容应该花较多的时间，教师应积极引导，让学生有充分的时间借助计算器进行思考和交流，循序渐进地缩小范围，体会无限逼近的思想。
2.课本设计的P27第（3）个小问题的意图是想让教师引导学生整理自己前面探索的思维过程。
对于记号“1﹤a﹤2”、“1﹤s﹤4”等，学生可能不习惯，教师要讲清意义和写法即可。
3.本节渗透了用有理数近似的表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想，通过探索学生容易理解“无限”，但对“不循环”一般不会有清楚的认识，只有逐步渗透理解，教学中不必多说。
“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释。
4.为进一步让学生理解无理数的概念，应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别，前者不能化为分数，后者可以化为分数，但如何化成分数，教师不必深入讲解。
5.鼓励学生自学课本中的“读一读”，了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神，特别是对学有余力的学生，在教师引导下，可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明。
教学素材：
一根长为5米的电线杆竖立于地面，为保证它的安全，要用三根钢丝把它固定，要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端，一头系在离电线杆3米的地面木桩上，问每根钢丝的长要满足什么条件？
它是有理数吗？
大概是多长？
2.2平方根
本节的教学核心：
开平方运算是本节内容的核心。
本节课分二个课时，主要内容有算术平方根、平方根的概念，用根号表示一个非负数的算术平方根和平方根，引入实数的第六种运算-----开方运算。
第一课时
教材分析：
实数概念的建立实际上是从本节课开始的，故本节课在这一章中占有非常重要的地位。
教材上通过实际背景引入算术平方根，这是根据在现实生活中学生接触到的开平方运算大多是正的，教材这样的安排很有道理，符合学生的认知规律。
教学建议：
1）教学中可以通过素材引入算术平方根的概念，如：
有4个边长为1的小正方形拼成一个长方形，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到四条对角线，则这些对角线的
长分别是多少？
为了解决这个实际问题，学生产生了认知冲突，感觉到已往的知识不能解决这个问题，教师因时导势，引出算术平方根的概念。
2）教材中用平方的方法求算术平方根，是为了让学生体会平方与开平方是互为逆运算，教学中教师要注意这个问题。
第二课时
教材分析：
一个正数进行开平方运算会有二个结果，即一个正数有二个平方根，学生由于认知的原因，可能会出现理解上的困难，教材中为了解决这个问题，通过具体的例子让学生进行理解，并且特别强调了这二个平方根是互为相反数。
负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算以及零的平方根是零教材中也重点指出。
教材中的想一想实际上是对平方根概念的具体运用。
教学建议：
（1）教材中通过算术平方根引出平方根的概念，即可以方便学生的理解，又可以沟通二者之间的关系，再由学生议一议，使学生对正数、零、负数的平方根的不同情况产生好奇，从而激发学生的兴趣，教学中应充分利用这一点。
（2）开平方运算和乘方运算是互为逆运算。
学生对乘方运算比较熟悉，所以教学中应引导学生从乘方运算出发进行开平方运算。
教学中，不妨提出这样一个问题：
4=5吗、
你看了这个等式一定会说“错”，可是这是可以说明的，不信吗？
请看下列推理
16-36=25-45，
两边同时加上
，得16-36+
=25-45+
，即
-
=
-
根据完全平方公式，得
。
，
4=5。
究竟错在哪里呢？
这一问题提出以后，留时间让学生去思考、讨论，引入平方根的概念。
2.3立方根
【教学核心】
了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；
能用立方运算求某些数的立方根。
【课时及内容】
§3．立方根1课时
本节内容和平方根合起来构成了初中数学方根运算的一个整体。
教材从“某化工厂要建造一个新的球形储气罐”这个实际问题引入立方根的概念，说明学习数的立方根的意义，同时又体现了立方根的计算有着广泛的应用。
通过“做一做”，让学生体会一个数的立方根的唯一性。
通过“议一议”，既突出平方根与立方根的对比，又加深对“做一做”的感受。
教材安排的两个例题也是分步到位：
“例1”采用语言叙述和符号表示互为补充的做法，着眼于让学生理解立方根的概念，在此基础上引出基本规律
，“例2”着眼于符号表示的立方根的计算，是今后求开方运算的书写格式。
【分析与建议】
1．注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念。
如，立方根的概念，教师可多举一些具体的问题，特别像P36“做一做”，让学生从具体的例子中体会立方根的概念和唯一性。
在此基础上让学生去讨论：
一个正数有几个立方根？
0有几个立方根？
负数呢？
引导学生更深刻地理解立方根与平方根的概念的区别，然后再通过具体的求立方根的练习，巩固新学的概念。
这里可借助表格作对比，以加深对概念的认识。
2．在（正数、0、负数）数的平方根与立方根的对比中交代清楚数的立方根的含义，以及立方根的符号表示，防止出现像“8的立方根是
”这种现象。
3．对例1的教学，要着眼于立方根的概念的理解，要学生模仿和适应这种书写格式，突出体现开立方与三次方的互逆运算以及利用互逆运算求数的立方根的方法。
4．对于P37“想一想”，教学时应抓住立方根的意义去分析，如果
，那么
就是
的立方根，即
，所以
；同样，根据定义，
是
的立方根，所以
的立方根就是
，即
。
这样为例2的学习以及以后的知识学习提供了思考的方法和公式上的准备。
5．本节课中立方根的值都是可求的（有理数），教师在举例时要注意。
【教学素材】
1．判断正误，在后面的括号内，对的打“√”，错的画“×”。
（1）
；（）
（2）互为相反数的立方根互为相反数；（）
（3）任何数的立方根只有一个；（）
（4）
（）
（5）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；（）
（6）如果m是n的立方根，那么m·n≥0；（）
解：
（1）×
（2）√（3）√（4）×（5）×（6）√
2．将一个体积为125cm3的铜块改铸成8个相同大小的小立方体小铜块，求每个小立方体铜块的表面积。
解：
设每个小立方体铜块的边长为
，则
，
，
，
所以每个小立方体铜块的表面积为
。
3．判断下列语句是否正确？
在后面的括号内，对的打“√”，错的画“×”。
（1）8的立方根是
。
（）
（2）－0.001的立方根是－0.1。
（）
（3）
的立方根是
。
（）
（4）64的平方根的立方根是2。
（）
解：
（1）×
（2）√（3）√（4）×
2.4公园有多宽
【教学核心】
能用有理数估计一个无理数的大致范围，包括通过估算比较大小和检验计算结果的合理性等；
掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感。
【课时及内容】
§4．公园有多宽1课时
本节内容是方根运算的生活化。
教材通过两例“实际问题”---
（1）估计公园的宽，
（2）求梯子稳定摆放时的顶端高度，发展学生的估算意识，使学生掌握估算的方法，并能按照要求形成对估算结果合理化的解释，进而导出本节课的教学核心-----估算比较两上数的大小，通过“议一议”进一步使学生掌握估算的方法。
【分析与建议】
1．估算的方法是
（1）通过开方运算，采用“夹逼法”，确定其值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在其值的范围内取出近似值。
2．“精确到”与“误差小于”意义不同。
如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不惟一。
在本节中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
3．本章对估算的要求较低，开立方要求估算到个位，开平方运算要求估算到0.1，对于较复杂的运算可借助计算器平完成。
4．在应用中体现平方根、立方根的简单应用。
突出估算的思想方法，体会估算的必要性和合理性。
能用有理数估计一个无理数的大致范围，如例1。
5．对于P40“议一议”，比较两个数的大小也只局限于简单的小数型分母或同分母型，对于学生来说，这类数的比较有一定的难度，因此教师在教学中宜采用分析法讲解，对于学生的说法，只要合理均可。
对于“试一试”型的题目，只要求有学有余力的学生去尝试，或在学习了“用计算器开方”后再做。
6．“去尾”和“进1”的近似值取法，应视具体问题而定。
一般来说，求实际问题中的长度，个数，面积和体积之类的采用“进1”法。
【教学素材】
托尔斯泰是俄罗斯最伟大的作家，他曾在作品《一个人需要很多土地吗？
》中写了如下一个故事：
有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地，卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：
“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过如果在日落之前，买地的人回不到原来的出发点，那他就只好白出1000卢布。
巴河姆于是付了1000卢布，等第二天太阳刚刚从地平线上升起，就连忙在草原上大步向前走去。
他走了足足有10俄里（1俄里＝1.0668公里），这才朝左拐弯；接着又走了许久许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点足足还有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发点跑去……最后，他总算如期赶回出发点，却口吐鲜血死去。
请你算一算，他这一天共走了多少路？
他走过的路围成的土地有多大？
（精确到0.1）
他这一天共走了
俄里。
他走过的路围成的土地大小为
≈76.1俄里2。
2.5用计算器开方
【教学核心】
会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律。
让每个学生经历运用计算器探求规律的活动，发展合情推理的能力。
【课时及内容】
§5．用计算器开方1课时
本节内容是七年级上册“有理数及其运算”中计算器使用的延续，介绍了用计算器进行开平方和开立方运算，一方面是继续熟悉计算器的用法，包括利用计算器进行探索规律的活动，同时又是对第4节估算方法的进一步认识和提升。
【分析与建议】
1．讲清用计算器求平方根和立方根的基本操作步骤，见P42表格部分。
2．对于借助计算器探索规律的题目，目前局限于简单数字的运算，要鼓励学生动手去做，但由于这个探索过程蕴涵着极取思想，故教学中不必作拓展。
3．用计算器比较数的大小要注意培养学生分析和说理的方法。
【教学素材】
高速公路旁有一矩形坡面，其横截面如图所示，
公路局为了美化公路沿线环境，决定把该矩形坡面
平均分成11段相间的种树与栽花。
已知该矩形坡面
的长为550米，铅直高度AB为2米，水平宽度BC
为1米，若种草每平方米需投资20元，栽花每平方
米需投资15元，求公路局将这一坡面美化最少需投
资多少元？
（结果保留三个有效数字）
解析：
550米长的坡面平均分成11段，则每快坡面长为50米，为减少投资，应用6块坡面种花，5块坡面种草，则需最少投资
故公路局将这一坡面美化最少需投资2.12×104元。
§2.6实数
教学核心：
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；
2、了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；
3、能运用化简对实数进行简单的四则运算
教学课时：
3课时。
教学内容：
1、实数的分类，相反数、倒数、绝对值在实数范围内的应用，实数与数轴的关系；
2、实数的运算及运算法则在实数范围内的应用；
3、实数的简化计算及运算法则的灵活应用。
§2.6.1（第一课时）分析与建议：
本节课对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。
通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。
同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？
”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
”，掌握如何在数轴上画出如：
，
等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。
参考素材：
1、把下列各数写入相应的集合中：
，0.2323323332…（相邻两个2之间3的个数逐次加1）。
⑴正数集合｛ …｝；
⑵负数集合｛ …｝；
⑶有理数集合｛ …｝；
⑷无理数集合｛ …｝
⑸整数集合｛ …｝；
⑹实数集合｛ …｝。
2、在数轴上表示下列各数：
，并把它们用“＜”连接起来。
你能说说实数大小比较的方法吗？
§2.6.2（第二课时）分析与建议：
在上一节课的基础上，提出实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，并运用类比手段，设计一些填空题，引入实数的运算法则。
对于二次根式的两条运算法则
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0），应鼓励学生通过计算、归纳、交流自己总结得出，教师宜适当注意引导（可设计一些有针对性的问题引入）。
在学生熟悉两条运算法则的前提下，通过变式训练加以巩固，提高学生的计算能力和速度，并注重和以往知识（公式法计算）的联系。
本节课应以学生练
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