高中数学第一章计数原理12排列与组合122第2课时组合的综合应用学案新人教A版选修2309182132.docx

高中数学第一章计数原理12排列与组合122第2课时组合的综合应用学案新人教A版选修2309182132.docx

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高中数学第一章计数原理12排列与组合122第2课时组合的综合应用学案新人教A版选修2309182132

第2课时　组合的综合应用

学习目标：

1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．（重点）2.能解决无限制条件的组合问题．（难点）

[自主预习·探新知]

1．组合的有关概念

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

组合数用符号C表示，其公式为C＝＝.

（m，n∈N*，m≤n），特别地C＝C＝1.

2．组合与排列的异同点

共同点：

排列与组合都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素．

不同点：

排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．

3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤

（1）判断：

判断实际问题是否是组合问题．

（2）方法：

选择利用直接法还是间接法解题．

（3）计算：

利用组合数公式结合两个计数原理计算．

（4）结论：

根据计算结果写出方案个数．

[基础自测]

1．以下四个命题，属于组合问题的是（　　）

A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地

C　[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]

2．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（　　）

【导学号：

95032059】

A．A种　　　　　　　B．45种

C．54种D．C种

D　[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种．]

3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有（　　）

A．C种B．A种

C．AA种D．CC种

D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：

第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]

4．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．

10　[从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．]

[合作探究·攻重难]

无限制条件的组合问题

　现有10名学生，男生6人，女生4人．

（1）要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？

（2）要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？

（3）要选2人去参赛，有多少种不同选法？

【导学号：

95032060】

[思路探究]　首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意．

[解]　

（1）从6名男生中选2人的组合数是C＝15种．

（2）分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合．C·C＝90种．

（3）从10名学生中选2名的组合数C＝45种．

[规律方法]　解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．

[跟踪训练]

1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（　　）

A．70个　　B．80个　　　C．82个　　D．84个

A　[分两类分别求即可，共有CC＋CC＝30＋40＝70.]

2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）

【导学号：

95032061】

140　[第一步，安排周六有C种方法，第二步，安排周日有C种方法，所以不同的安排方案共有CC＝140种．]

有限制条件的组合问题

　高二

（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．

（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？

[思路探究]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．

[解]　

（1）从余下的34名学生中选取2名，

有C＝561（种）．

∴不同的取法有561种．

（2）从34名可选学生中选取3名，有C种．

或者C－C＝C＝5984种．

∴不同的取法有5984种．

（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2100种．

∴不同的取法有2100种．

（4）选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2100＋455＝2555种．

∴不同的取法有2555种．

（5）选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6545－455＝6090种．

∴不同的取法有6090种．

[规律方法]　常见的限制条件及解题方法

1．特殊元素：

若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．

2．含有“至多”“至少”等限制语句：

要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．

3．分类讨论思想：

解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．

[跟踪训练]

3．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：

（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？

（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？

（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？

[解]　

（1）分步：

首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．

（2）“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，

法一：

（直接法）：

按选取的外科专家的人数分类：

①选2名外科专家，共有C·C种选法；

②选3名外科专家，共有C·C种选法；

③选4名外科专家，共有C·C种选法；

根据分类加法计数原理，共有

C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．

法二：

（间接法）：

不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：

C－C·C－C＝185种抽调方法．

（3）“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．

①没有外科专家参加，有C种选法；

②有1名外科专家参加，有C·C种选法；

③有2名外科专家参加，有C·C种选法．

所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．

分组（分配）问题

　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（2）分为三份，每份两本；

（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

【导学号：

95032062】

[思路探究]　

（1）是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，

（2）是“均匀分组问题”，（3）是分组问题，分三步进行，（4）分组后再分配，（5）明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．

[解]　

（1）根据分步乘法计数原理得到：

CCC＝90种．

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：

CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．

（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．

（5）可以分为三类情况：

①“2、2、2型”即

（1）中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有CC5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．

[规律方法]

1．分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键．

2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

（1）完全均匀分组，每组的元素个数均相等．

（2）部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！

.

（3）完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

[跟踪训练]

4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）．

36　[分两步完成：

第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36（种）．]

排列、组合的综合应用

[探究问题]

1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？

完成的“这件事”指的是什么？

[提示]　共有C＝＝6（个）不同结果．

完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．

2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？

这是排列问题，还是组合问题？

完成的“这件事”指的是什么？

[提示]　共有A－2＝10（个）不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．

3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？

有多少个不同的结果？

[提示]　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：

0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：

0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC＝18（种）不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A＋CCC＝30（种）不同的结果．

　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定担任语文课代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

【导学号：

95032063】

[思路探究]　

（1）按选中女生的人数多少分类选取．

（2）采用先选后排的方法．（3）先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．（4）先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．

[解]　

（1）先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，

共（CC＋CC）·A＝5400种．

（2）除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．

（3）先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3360种．

（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．

[规律方法]　解决排列、组合综合问题要遵循两个原则

1．按事情发生的过程进行分步．

2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

[跟踪训练]

5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（　　）

A．360　　B．520　　　C．600　　D．720

C　[分两类：

第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．

第二类，甲、乙都参加时，则有C（A－AA）＝10×（24－12）＝120种选法．

所以共有480＋120＝600种选法．]

[当堂达标·固双基]

1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（　　）

A．120　　　B．84　　　　C．52　　　D．48

C　[间接法：

C－C＝52种．]

2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（　　）

【导学号：

95032064】

A．60种B．20种

C．10种D．8种

C　[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.]

3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．4种B．10种

C．18种D．20种

B　[分两种情况：

①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]

4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n（n＝0,1,2，…，5）与平行直线y＝n（n＝0,1,2，…，5）组成的图形中，矩形共有________个．

225　[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．]

5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）只有一名女生；

（2）两队长当选；

（3）至少有一名队长当选；

（4）至多有两名女生当选.

【导学号：

95032065】

[解]　

（1）一名女生，四名男生，故共有CC＝350种选法．

（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC＝165种选法．

（3）至少有一名队长当选含有两类：

有一名队长当选和两名队长都当选．

故共有CC＋CC＝825种选法．

或采用间接法：

C－C＝825种．

（4）至多有两名女生含有三类：

有两名女生，只有一名女生，没有女生．

故共有CC＋CC＋C＝966种选法．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

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6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

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读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

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鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

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5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

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山中的石！

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6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。