届二轮复习 第1练 集合与常用逻辑用语学案全国通用.docx

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届二轮复习第1练集合与常用逻辑用语学案全国通用

第1练　集合与常用逻辑用语

[明晰考情]　1.命题角度：

集合的关系与运算是考查的热点；命题的真假判断、命题的否定在高考中偶有考查.2.题目难度：

低档难度.

考点一　集合的含义与表示

要点重组

（1）集合中元素的三个性质：

确定性、互异性、无序性.

（2）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法.

特别提醒

　研究集合时应首先认清集合中的元素是什么，是数还是点.分清集合{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}的区别.

1.已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A.2B.3　C.4D.5

答案　C

解析　∵

∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，

又∵x∈Z，

∴x的取值分别为5，3，1，－1，

∴集合A中的元素个数为4，故选C.

2.（2018·全国Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8C.5D.4

答案　A

解析　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1，0），（－1，1），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，－1），（1，0），（1，1），共有9个.

故选A.

3.已知集合M＝{3，log2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{0}，则M∪N等于（　　）

A.{0，1，2}B.{0，1，3}

C.{0，2，3}D.{1，2，3}

答案　B

解析　∵0∈M，∴log2a＝0，

∴a＝1.

又0∈N，∴b＝0，

∴M∪N＝{0，1，3}.

4.设函数f（x）＝

，集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A.[－1，0）B.（－1，0）

C.（－∞，－1）∪[0，1）D.（－∞，－1]∪（0，1）

答案　A

解析　A＝[－1，1]，B＝[0，1]，

∴阴影部分表示的集合为[－1，0）.

考点二　集合的关系与运算

要点重组

（1）若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集.

（2）A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.

方法技巧

　集合运算中的三种常用方法

（1）数轴法：

适用于已知集合是不等式的解集.

（2）Venn图法：

适用于已知集合是有限集.

（3）图象法：

适用于已知集合是点集.

5.（2018·全国Ⅰ）已知集合A＝

，则∁RA等于（　　）

A.{x|－1＜x＜2}B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　∵x2－x－2＞0，∴（x－2）（x＋1）＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}.在数轴上表示出集合A，如图所示.

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}.

故选B.

6.（2017·全国Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A.3B.2C.1D.0

答案　B

解析　集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，

集合B表示直线y＝x上的所有点的集合.

结合图形（图略）可知，直线与圆有两个交点，

所以A∩B中元素的个数为2.故选B.

7.已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）等于（　　）

A.[2，3]B.（－2，3]

C.[1，2）D.（－∞，－2]∪[1，＋∞）

答案　B

解析　由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}，

∴∁RQ＝（－2，2）.又P＝[1，3]，

∴P∪（∁RQ）＝[1，3]∪（－2，2）＝（－2，3].

8.设集合P＝

，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是________.

答案　

解析　由

＝2x+6，得x＝2或x＝－3，

∴P＝{2，－3}.

若m＝0，则T＝∅，适合T⊆P；

若m≠0，则－

＝2或－

＝－3，

∴m＝－

或m＝

.

综上，实数m的取值组成的集合是

.

考点三　命题的真假判断及量词

要点重组

（1）四种命题的真假关系：

互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.

（2）含逻辑联结词的命题的真假判断规律：

p∧q：

一假即假；p∨q：

一真即真；p和綈p：

真假相反.

（3）含一个量词的命题的否定要点：

改量词，否结论（将全称量词或存在量词改变，同时否定结论中的判断词）.

特别提醒

　可以从集合的角度来理解“且”“或”“非”，它们分别对应集合运算的“交集”“并集”“补集”.

9.（2017·山东）已知命题p：

∀x>0，ln（x＋1）>0；命题q：

若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧qB.p∧（綈q）

C.（綈p）∧qD.（綈p）∧（綈q）

答案　B

解析　∵x>0，∴x＋1>1，∴ln（x＋1）>ln1＝0.

∴命题p为真命题，∴綈p为假命题.

∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，

此时a2

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题.

∴p∧q为假命题，p∧（綈q）为真命题，（綈p）∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题.

故选B.

10.（2018·衡阳模拟）下列说法错误的是（　　）

A.“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”的逆否命题是“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”

B.“x>3”是“x2－5x＋6>0”的充分不必要条件

C.“∀x∈R，x2－5x＋6≠0”的否定是“∃x0∈R，x

－5x0＋6＝0”

D.命题：

“在锐角△ABC中，sinA

答案　D

解析　依题意，根据逆否命题的定义可知选项A正确；由x2－5x＋6>0，得x>3或x<2，∴“x>3”是“x2－5x＋6>0”的充分不必要条件，故B正确；因为全称命题的否定是特称（存在性）命题，所以C正确；在锐角△ABC中，由A＋B>

，得

>A>

－B>0，

∴sinA>sin

＝cosB，∴D错误，故选D.

11.（2018·张掖诊断）已知命题p：

∃x0∈R，x

－x0＋1≥0；命题q：

若a2

A.p∧qB.p∧（綈q）

C.（綈p）∧qD.（綈p）∧（綈q）

答案　B

解析　命题p：

∃x0∈R，x

－x0＋1≥0是真命题；

命题q：

若a2

故p∧（綈q）是真命题.

12.已知c>0，且c≠1.设命题p：

函数f（x）＝logcx为减函数.命题q：

当x∈

时，函数g（x）＝x＋

>

恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数c的取值范围为________________.

答案　

∪（1，＋∞）

解析　由命题p真，可得0

∵当x∈

时，g（x）min＝2，

∴由命题q真，可得

<2，解得c>

.

由p或q为真命题，p且q为假命题知，p，q一真一假.

若p真q假，则0

；若p假q真，则c>1，

故实数c的取值范围是

∪（1，＋∞）.

考点四　充要条件

方法技巧

　充要条件判定的三种方法

（1）定义法：

定条件，找推式（条件间的推出关系），下结论.

（2）集合法：

根据集合间的包含关系判定.

（3）等价转换法：

根据逆否命题的等价性判定.

13.设p：

实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：

实数x，y满足

则p是q的（　　）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　如图，①（x－1）2＋（y－1）2≤2表示圆心为（1，1），半径为

的圆内区域所有点（包括边界）；②

表示△ABC内部区域所有点（包括边界）.实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.

14.（2018·石家庄质检）设a>0且a≠1，则“logab>1”是“b>a”的（　　）

A.必要不充分条件B.充要条件

C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件

答案　C

解析　logab>1＝logaa⇔b>a>1或0a时，b有可能为1.所以两者没有包含关系，故选C.

15.已知条件p：

x＋y≠－2，条件q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为p：

x＋y≠－2，q：

x≠－1或y≠－1，

所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1且y＝－1.

因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，

所以綈q是綈p的充分不必要条件，

即p是q的充分不必要条件.

16.若“0

A.（－∞，0]∪[1，＋∞）B.（－1，0）

C.[－1，0]D.（－∞，－1）∪（0，＋∞）

答案　C

解析　由（x－a）[x－（a＋2）]≤0，得a≤x≤a＋2，

∵（0，1）[a，a＋2]，

∴

解得－1≤a≤0.

1.若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.

B.

C.0D.0或

答案　D

解析　当a＝0时，A＝

，符合题意.

当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0有两个相等实根，

∴Δ＝（－3）2－8a＝0，∴a＝

.

综上，a＝0或a＝

.

2.已知全集U＝{x∈Z|x2－5x－6<0}，A＝{x∈Z|－1

A.{2，3，5}B.{3，5}

C.{2，3，4，5}D.{3，4，5}

答案　B

解析　U＝{x∈Z|x2－5x－6<0}＝{x∈Z|－1

A＝{x∈Z|－1

∴（∁UA）∩B＝{3，4，5}∩{2，3，5}＝{3，5}，故选B.

3.设命题p：

函数f（x）＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：

函数y＝ln（x2＋ax＋1）的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，3]B.（－∞，－2]∪[2，3）

C.（2，3]D.[3，＋∞）

答案　B

解析　若p为真命题，则f′（x）＝3x2－a≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a≥3x2在[－1，1]上恒成立，所以a≥3.若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的根的判别式Δ＝a2－4≥0恒成立，即a≤－2或a≥2.

由题意，得p真q假或p假q真.

当p真q假时，

即a∈∅；

当p假q真时，

即a≤－2或2≤a<3.

综上所述，a∈（－∞，－2]∪[2，3）.

解题秘籍

（1）准确理解集合中元素的性质是解题的基础，一定要搞清集合中的元素是什么.

（2）求参数问题，要考虑参数取值的全部情况（不要忽视参数为0等）；参数范围一定要准确把握临界值能否取到.

（3）对命题或条件进行转化时，要考虑全面，避免发生因为忽略特殊情况转化为不等价的问题.

（4）正确理解全称命题和特称（存在性）命题的含义；含一个量词的命题的否定不仅要否定结论，还要转换量词.

1.（2018·天津）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A.{x|0＜x≤1}B.{x|0＜x＜1}

C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜2}

答案　B

解析　全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁RB＝{x|x＜1}.

∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}.故选B.

2.设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}

答案　B

解析　A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥

}，

故∁UA＝{x∈N|2≤x<

}＝{2}，故选B.

3.已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|x2<9，x∈Z}，则A∩B等于（　　）

A.[－1，2]B.{0，1}

C.{0，2}D.{－1，0，1，2}

答案　D

解析　由2＋x－x2≥0得－1≤x≤2，∴A＝[－1，2]，由题意得B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}，故选D.

4.设命题p：

f（x）＝lnx＋2x2＋mx＋1在（0，＋∞）内单调递增，命题q：

m≥－5，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　f′（x）＝

＋4x＋m（x>0），

由f′（x）＝

＋4x＋m≥0，得m≥－

.

因为

＋4x≥2

＝4

，所以－

≤－4，所以m≥－4，即p：

m≥－4.所以p是q的充分不必要条件，故选A.

5.设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于（　　）

A.[0，1]∪（2，＋∞）B.[0，1）∪[2，＋∞）　C.[0，1]D.[0，2]

答案　A

解析　由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝（1，2]，

所以A×B＝[0，1]∪（2，＋∞）.

6.已知命题p：

∃x0∈R，

，则綈p为（　　）

A.∃x0∈R，

≥x

B.∀x∈R，exx2

答案　C

解析　命题p是一个特称命题，其否定为∀x∈R，ex≥x2.故选C.

7.已知集合A＝{x|x2－2018x＋2017<0}，B＝{x|log2x

A.0B.1C.11D.12

答案　C

解析　由x2－2018x＋2017<0，解得1

8.命题p：

方程x2－ax＋1＝0无实数根，綈p为假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－2，＋∞）B.（－∞，2）　C.（－2，2）D.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

答案　C

解析　因为綈p为假命题，故p为真命题，解得Δ＝（－a）2－4＜0，即－2＜a＜2，故选C.

9.在平面直角坐标系中，点

在第四象限的充要条件是_________.

答案　

解析　点

在第四象限⇔

⇔－1

或2

10.已知命题p：

|x2－x|≤2，q：

x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________.

答案　{x|－1

解析　由p得－1≤x≤2，又q：

x∈Z，得p∧q：

x∈{－1，0，1，2}.綈p：

x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－1

11.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.

答案　4

解析　A＝{x|log2x≤2}＝{x|0

12.下列结论中正确的是________.（填序号）

①命题∀x∈（0，2），3x>x3的否定是∃x0∈（0，2），

≤x

；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③在射击比赛中，比赛成绩的方差越小的运动员成绩越不稳定；

④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝3，则S7＝21.

答案　①④

解析　“∀x∈（0，2），3x>x3”的否定是“∃x0∈（0，2），

≤x

”，故①正确；若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②不正确；方差反映一组数据的稳定程度，方差越小，越稳定，故③不正确；在等差数列{an}中，S7＝

＝

＝7a4＝21，故④正确.