积分中值定理的推广与应用.pdf
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2008年第10期总第139期林区教学TeachingofForestryRegionNo.102008GeneralNo.139积分中值定理的推广与应用周?
燕（盐城师范学院数学科学学院,江苏盐城224002）?
摘?
要:
在数学分析中第一积分中值定理的基础上,证明了介值点必可在某一开区间内取得,然后进一步将这个结论推广到被积函数在区间端点为第一类间断点或瑕点,以及被积函数在某开区间内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些具体应用实例。
将积分中值定理及其推广与实际应用相结合,充分阐明了积分中值定理的重要性。
关键词:
积分中值定理;第一类间断点;无穷型断点中图分类号:
O172.2?
文献标志码:
A?
文章编号:
1008-6714（2008）10-0009-02?
收稿日期:
2008-08-23作者简介:
周燕（1980-）,女,江苏盐城人,硕士。
?
一、引言在数学分析中,中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多命题和不等式的证明都以它为依据,在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
学好微积分中值定理,能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
从引入积分中值定理入手,并对其加以推广,旨在扩大中值定理应用范围,增强其实际应用价值,使中值定理发挥更大作用,同时,让我们看到教材上的结论并不终极,提高了发散思维能力和创新能力。
积分第一中值定理在华师大数学分析教材中为:
若f（x）在闭区间a,b上连续,则在闭区间a,b上至少有一点?
使得?
baf（x）dx=f（?
）（b-a）成立。
对于上述定理,是否可以将条件闭区间a,b减弱到开区间（a,b）,是否对间断函数也有上述的积分中值定理?
我们将证明这个定理中的?
一定可以在开区间（a,b）上取到,并把这个定理推广到间断函数上去。
?
二、积分中值定理的推广定理1:
若f（x）在闭区间a,b上连续,则在开区间（a,b）内至少有一点?
使得?
baf（x）dx=f（?
）（b-a）成立。
该定理不仅有很多实际应用,而且也与微分中值定理的叙述相一致,在这里我们将给出两种证明方法。
证明:
利用微分中值定理来证明,令?
（x）=?
xaf（x）dx因f（x）在a,b上连续,所以?
（x）在a,b上连续,在（a,b）内可导,且?
（x）=f（x）,应用拉格朗日微分中值定理可得:
在（a,b）内至少存在一点?
使?
（b）-?
（a）=?
（?
）（b-a）即?
baf（x）dx-?
aaf（x）dx=f（?
）（b-a）,a?
b亦即?
baf（x）dx=f（?
）（b-a）,a?
0;b-cb-a0所以有c-ab-af（?
1）+b-cb-af（?
1）?
c-ab-af（?
1）+b-cb-af（?
2）?
c-ab-af（?
2）+b-cb-af（?
2）即f（?
1）?
c-ab-af（?
1）+b-cb-af（?
2）?
f（?
2）因此对在?
1,?
2上的连续函数f（x）使用介值定理得c-ab-af（?
1）+b-cb-af（?
2）=f（?
）,?
!
?
1,?
2?
（a,b）所以有?
baf（x）dx=f（?
）（b-a）,?
!
（a,b）若设f（?
1）f（?
2）,证法相同。
通过上面的分析与证明,不仅解决了积分中值定理的证明问题,而且推广了积分中值定理。
同时,让我们看到教材上的结论并不终极,提高了我们的发散思维能力和创新能力。
?
三、积分中值定理的应用例:
假设f（x）为0,1上的连续、非负、严格单调减函数,证明?
a0f（x）dxab?
baf（x）dx证明:
由定理1可以得到?
a0f（x）dx=af（?
1）af（a）,（0?
1a）?
baf（x）dx=（b-a）f（?
2）（b-a）f（a）,（a?
2f（a）1b-a?
baf（x）dx（ba-1）?
a0f（x）dx?
baf（x）dx两边乘以ab得（1-ab）?
a0f（x）dxab?
baf（x）dx因为0ab1,所以1-ab0所以?
a0f（x）dxab?
baf（x）dx参考文献:
1刘玉琏,等.数学分析讲义M.北京:
高等教育出版社,2004:
212-213.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:
高等教育出版社,1993:
115-118.3王尚户.多元函数之微分中值定理K.包头钢铁学院学报,1998,
（1）.4王海玲.微分中值定理的推广及应用J.长春理工大学学报,2003,（3）.5华师大数学系.数学分析:
第三版M.北京:
高等教育出版社,2001:
96-97.%责任编辑:
李海波
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