三角形四心向量一般形式的探究.pdf

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三角形四心向量一般形式的探究罗永高浙江宁波奉化高级中学315500摘要：

本文由三角形重心向量形式，通过进一步的探索得到三角形四心向量的一般形式，进而推出三角形四心的特殊形式，使学生领会探求问题本质的途径和方法，即特殊和一般转化的方法关键词：

探索；四心；一般形式教师版问题若O是ABC的重心，则OA+OB+OC=0，反之也成立探索1若O是ABC内任一点，是否有类似的向量一般形式？

解析方法1.假设存在x，y，zR+，使xOA+yOB+zOC=0.作OA=xOA，OB=yOB，OC=zOC，则OA+OB+OC=0.所以O是ABC的重心因为SOAB=SOBC=SOAC，且SOAB=xySOAB，SOBC=yzSOBC，SOAC=xzSOAC，所以x:

y:

z=SOBC:

SOAC:

SOAB.故SOBCOA+SOACOB+SOABOC=0.方法2.O是ABC内任一点，作OA=OA，则一定存在正数1，2，使得OA=1OB+2OC.作平行四边形ODAE，则OD=1OB，OE=2OC.SAOCSBOC=ODOB=1，SAOBSBOC=OEOC=2，所以SOBCOA=SOACOB+SOABOC.所以SOBCOA+SOACOB+SOABOC=0.问题1若O是ABC的内心，是否有特殊的向量形式？

解析若O是ABC的内心，则SOBC=12ar，SOAC=12br，SOAB=12cr.所以aOA+bOB+cOC=0.问题2若O是锐角ABC的外心，是否有特殊的向量形式？

解析若O是ABC的外心，则SOBC=12R2sin2A，SOAC=12R2sin2B，SOAB=12R2sin2C.所以sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.问题3若O是锐角ABC的垂心，是否有特殊的向量形式？

解析若O是锐角ABC的垂心，则SOBC:

SOAB=CE:

EA=tanA:

tanC，SOCA:

SOAB=tanB:

tanC.所以SOBC:

SOAC:

SOAB=tanA:

tanB:

tanC.所以tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.探索2若O是ABC所在平面内任一点，是否有类似的向量一般形式？

ABC图1AOEDCB图2解析设O是平面ABC内任意一点，O不在ABC内，用SA，SB，SC分别表示BOC，COA，AOB的面积.若O在号区域（如图2），则一定存在正数1，2，使得OA=1OB+2OC.作平行四边形ODAE，则OD=1OB，OE=2OC.SAOCSBOC=ODOB=1，SAOBSBOC=OEOC=2.所以SAOA=SBOB+SCOC.SOBCOA+SOACOB+SOABOC=0.同理可得，若O在号区域，则SBOB=SCOC+SAOA；若O在号区域，则SCOC=SAOA+SBOB.运用探索2所得的结论，马上可以得到以下结论.结论1若O为钝角ABC的垂心，当A为钝角时，则tan（A）OA=tanBOB+tanCOC；当B为钝角时，则tan（B）OB=tanCOC+tanAOA；当C为钝角时，则tan（C）OC=tanAOA+tanBOB.证明如图3，当A为钝角时，则SAOA=SBOB+SCOC.图3AOEDCBFSBSA=AFBF=tanBtan（A），试题研究试题探究063数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：

（上接第62页）M的坐标为_PONMFyx图4解析设点M到右准线的距离为MN，a2，b=3摇姨，c=1，e=12.由椭圆的第二定义：

MFMN=e=12，所以MN=2MF.故MP+2MFMP+MN.这样过P作右准线的垂线与椭圆的交点M即为所求的点.把y-1代入x24+y23=1得x26摇姨3，所以M点的坐标为26摇姨3，-姨姨1.点评运用定义，化曲为直是解决此类问题的有效方法襛求最值例5F是双曲线x216y29=1的右焦点，M是双曲线右支上的动点，定点A的坐标为（5，4），则4MF+5MA的最小值是_A（5，4）ONMF（5，0）yxx=165图5解析过M点作右准线x=165的垂线，垂足为N，双曲线的离心率e=54.所以由双曲线第二定义：

MFMN=e=54圯MF=54MN.所以4MF+5MA=5（MN+MA）.显然当M，N，A共线时，MN+MA最小，求得最小值为5165=95.点评巧用统一定义，让系数统一起来，再转化为共线问题襛求距离例6设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若F圯圯A+F圯B+F圯C=0，则F圯圯A+F圯B+F圯C等于（）A.9B.6C.4D.3图6AOFCByxA1B1C1解析抛物线y24x的准线为x-1，焦点F（1，0），如图6，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，C1则FA=AA1%，FB=BB1%，FC=CC1%.由F圯圯A+F圯B+F圯C=0知F是ABC的重心，则xF=xA+xB+xC3=1，即xA+xB+xC=3.所以F圯圯A+F圯B+F圯C=AA1%+BB1%+CC1%=1+xA+1+xB+1+xC=6.故选B.点评本题利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为点到准线的距离，从而使问题获解同理，SCSA=tanCtan（A），所以tan（A）O圯圯A=tanBO圯圯B+tanCO圯圯C.同理，tan（B）O圯圯B=tanCO圯圯C+tanAO圯圯A；tan（C）O圯圯C=tanAO圯圯A+tanBO圯圯B.综合上述结论我们可知，当O为斜ABC的垂心时，则tanAO圯圯A+tanBO圯圯B+tanCO圯圯C=0.容易验证，若O为直角ABC的外心，也有sin2AO圯圯A+sin2BO圯圯B+sin2CO圯圯C=0.结论2若O为钝角ABC的外心，当A为钝角时，则sin（22A）O圯圯A=sin2BO圯圯B+sin2CO圯圯C；当B为钝角时，则sin（22B）O圯圯B=sin2AO圯圯A+sin2CO圯圯C；当C为钝角时，则sin（22C）O圯圯C=sin2AO圯圯A+sin2BO圯圯B.AOCB图4证明如图4，当A为钝角时，则SAO圯圯A=SBO圯圯B+SCO圯圯C.SBSA=12R2sinAOC12R2sinBOC=sin2Bsin（22A）.同理，SCSA=sin2Csin（2-2A），所以sin（22A）O圯圯A=sin2BO圯圯B+sin2CO圯圯C.同理，sin（22B）O圯圯B=sin2AO圯圯A+sin2CO圯圯C；sin（22C）O圯圯C=sin2AO圯圯A+sin2BO圯圯B.综合以上结论我们可知，当O为ABC的外心时，则sin2AO圯圯A+sin2BO圯圯B+sin2CO圯圯C=0.本文由三角形重心向量形式，通过进一步的探索得到三角形四心向量的一般形式，进而推出三角形四心的特殊形式，使学生领会探求问题本质的途径和方法，即特殊和一般转化的方法思考四面体ABCD，O是空间上任意一点，是否可以用同样方法探求向量一般形式呢？

试题研究试题探究064