一次函数与方程及不等式结合应用题.pdf

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一次函数与方程及不等式结合应用题黑龙江省大庆市46中学（163411）邵玉振一般地,一次函数y=kx+b中,令y=0,kx+b=0是一元一次方程,它的根就是y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.一元一次不等式kx+b0（或kx+b0）可以看作是y=kx+b取正值（或负值）的特殊情况,其解集可以看作y=kx+b相应的自变量x的取值范围、两直线的交点坐标,就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程的解.下面以中考题为例说明.例1如图1,l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费,单位:

元）与对照明时间x（小时）的函数图象,假设两种灯的使用寿命都是2000小时,照明效果一样.

（1）根据图象分别求出l1、l2的函数关系式;

（2）当照明时间为多少时,两种灯的费用相同.析解:

（1）设直线l1的解析式为y1=k1x+2,由图象得17=500k1+2,解得k1=0.03.所以y1=0.03x+2（0x2000）.设直线l2的解析式为y2=k2x+20.由图象得26=500k2+20,解得k2=0.012,所以y2=0.012x+20（0x2000）.

（2）当y1=y2时,两种灯的费用相等,即0.03x+2=0.012x+20,解得x=1000.当照明时间为1000小时时,两种灯的费用相等.注:

本题属于一次函数与一元一次方程问题,充分利用图象的信息进行数据处理求解.例2某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中,发现此商品的日销单价x元与日销量y件之间有如下关系:

x35911y181462

（1）在直角坐标系中根据表中提供的数据描出实数对（x,y）的对应点.

（2）猜测并确定日销量y件与日销单价x元之间的函数解析式,画出图象.析解:

（1）描出四点的位置如图2.

（2）猜测y与x之间是一次函数关系,设解析式为y=kx+b,将两点（3,18）,（5,14）代入解析式,得18=3k+b14=5k+b所以k=-2b=24因此y=-2x+24.28数理化学习（初中版）当x=9时,y=-29+24=6;当x=11时,y=-211+24=2.所以所求解析式y=-2x+24（0x12）评注:

本题通过阅读表内数据,从图象进行推断,发现一次函数模型,用二元一次方程组解决问题.例3（2005年武汉课改区中考）某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工,每吨加工费用600元,需13天,每吨售价4000元;若进行精加工,每吨加工费用为900元,需12天,每吨售价4500元,现将这50吨原料全部加工完.

（1）设其中粗加工x吨,获利y元,求y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）;

（2）如果必须在20天内完成,如何安排生产才能得最大利润最大利润是多少析解:

（1）由题意,因为其中粗加工x吨,则精加工为（50-x）吨,由此,粗加工可获400x元,精加工可获利600（50-x）元,所以y=400+600（50-x）,即y与x的函数关系式为y=-200x+30000.

（2）由题意知,粗加工需x3天,精加工需12（50-x）,故有13x+12（50-x）20,解之x30,所以30x50,由于k=-2000,由一次函数性质知y随x的增大而减小,所以当x=30时,最大利润为y=-20030+30000=24000元,此时,粗加工需安排13x=303=10（天）,粗加工安排50-302=10天.答:

（略）.评注:

本题是一次函数与一元一次不等式的结合题型,再用函数增减性解决问题.（初三）构造对偶式巧解竞赛题首都师范大学附属中学（100037）沈杰构造对偶式是解竞赛题时常用的一种解题技巧,对于一些较难的问题,如果拘泥于常规解法,常常需要进行繁琐的运算而且容易出错,若能从题设条件和所求结论的特点出发,构造与之相关的对偶式,将问题转化为所构造的对偶式来确定,可以收到峰回路转、化难为易的功效.一、利用奇偶关系构造对偶式例1（2003年北京市中学生数学竞赛试题）若（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a2+a4=.解:

设x=0,得a0=-1;设x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1;设x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243.292006年第9期