《概率论与数理统计》课后习题答案2.pdf

《概率论与数理统计》课后习题答案2.pdf

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习习题题22.1.11试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例解解用X表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X的全部可能取值为可列的0,1,2,3，；用Y表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y的全部可能取值为有限个1,2,3，4,5,6；2试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例解解用X表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X的全部可能取值为区间（0，+）3设随机变量X的分布函数（）Fx为（）Fx=21,20,2Axxx确定常数A的值，计算（04）PX.解解由（20）

（2）,FF可得10,=44AA（04）（04）（4）（0）0.75PXPXFF.4试讨论：

A、B取何值时函数（）arctan3xFxAB是分布函数解解由分布函数的性质，有0,1FF，可得0,211,21,2ABABAB于是11arctan,.23xFxx习习题题2.22.21设10个零件中有3个不合格现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X的概率分布解解由题意知，X的取值可以是0,1,2,3.而X取各个值的概率为70,103771,10930PXPX32772,1098120321713.10987120PXPX因此X的概率分布为012377711030120120X2从分别标有号码1，2，7的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布解解设X为余下的卡片的最大号码，则X的可能取值为5、6、7，且1521PX5621PX15721PX即所求分布为5671515212121X3某人有n把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布解解设此人将门打开所需的试开次数为X，则X的取值为1,2,3,.,kn，事件1Xkkk前次未打开，第次才打开，且11PXn，11121nPXnnn，121112111,2,.,nnnkPXknnnknkknn故所需试开次数的分布为12111Xnnn.n.4随机变量X只取1、2、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X的概率分布解解设1,2,3PXaPXbPXc，则由题意有1abccbba解之得2313acb设三个概率的公差为d，则11,33adcd，即X的概率分布为123111333Xdd，103d5设随机变量X的全部可能取值为1，2，n，且（）PXk与k成正比，求X的概率分布解解由题意，得1,2,kPXkpckkn其中c是大于0的待定系数由11nkkp，有12.1nkkcpccnc即112nnc，解之得21cnn.把21cnn代入kp，可得到X的概率分布为2,1,2,.,.1kPXkknnn6一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布解解设汽车未遇红灯通过的路口数为X，则X的可能值为0，1，2，3以1,2,3iAi表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”，则123,AAA相互独立，且1,1,2,32iiPAPAi对0,1,2,3k，有1102PXPA1212211142PXPAAPAPA123311282PXPAAA123311382PXPAAA所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012311112488X7将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止求掷骰子次数的概率分布解解设掷骰子次数为X，则X可能取值为1，2，3，4，且31162PX14151526666612PX；11511111736666666216PX；11114666216PX所以掷骰子次数X的概率分布为123415171212216216X8设X的概率分布为X0123P0.20.30.10.4试求

（1）X的分布函数并作出其图形；

（2）计算11PX，01.5PX，2PX解解

（1）由公式kkxxFXPXxpx，得0,00.2,010.5,120.6,231,3xxFXxxx

（2）11

（1）（10）0.500.5PXFF01.5（1.5）（00）0.500.5PXFF2

（2）0.6PXF9设随机变量X的分布函数为010.210（）0.70212xxFxxx，试求

（1）求X的概率分布；

（2）计算1322PX，1PX，03PX，1|0PXX解解

（1）对于离散型随机变量，有0PXkFkFk，因此，随机变量X的概率分布为1020.20.50.3X

（2）由分布函数计算概率，得13310.52222PXFF；110.2PXF；0330（00）10.20.8PXFF；1,0100010.50.625.00.8PXXPXXPXPXPX10已知随机变量X服从01分布，并且0PX=0.2，求X的概率分布解解X只取0与1两个值，0PX=0PX0PX0.2,1100.8PXPX11已知PXn=nP，n=1,2,3,求P的值解解因为11,nPXn有11=,1nnppp解此方程，得0.5p.12商店里有5名售货员独立地售货已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤

（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；

（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率解解

（1）由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p,设在同一时刻需用台秤的人数为X,则5,0.25XB,所以550.250.75（0,1,2,3,4,5）kkkPXkCk

（2）因台秤太少而令顾客等候的概率为55553320.250.75kkkkkPXPXkC332445550.250.750.250.750.250.1035CC13保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：

（1）双方各出3人；

（2）双方各出5人；（3）双方各出7人3种方案中得胜人数多的一方为胜利问：

对甲队来说，哪种方案有利？

解解设以上三种方案中第i种方案甲队得胜人数为（1,2,3）,iXi则上述3种方案中，甲队胜利的概率为

（1）331322（0.4）（0.6）0.352kkkkPXC

（2）552533（0.4）（0.6）0.317kkkkPXC（3）773744（0.4）（0.6）0.290kkkkPXC因此第一种方案对甲队最为有利这和我们的直觉是一致的。

14有某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

解解设该商店每月销售这种商品数为X，月底进货为a件，则为了Xa时不脱销，故有0.95.PXa由于（5）,XP上式即为5050.95.!

kakek查表可知58050.93190.95.!

kkek59050.96820.95.!

kkek于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件（假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月不会脱销。

15一本300页的书中共有240个印刷错误若每个印刷错误等可能地出现在任意1页中，求此书首页有印刷错误的概率解解根据题意，可将问题看作是一个240重伯努利试验，每一个错误以概率1300p出现在指定的一页上，以概率299300q不出现在这一页上以X表示出现在首页上的错误数，则1240,300XB，而所求概率为240024029911010.5513300PXPXC16设某高速公路上每天发生交通事故的次数服从参数为=2的泊松分布已知今天上午该公路上发生了一起交通事故，求今天该公路上至少发生三起交通事故的概率解解设每天发生交通事故的次数为X，由题知X服从参数为2的泊松分布，即22!

kPXkek已知今天上午该公路上发生了一起交通事故，则今天至少发生一次交通事故，其概率为02221110!

PXee该公路上每天至少发生三起交通事故的概率为222023115!

kkPXeek所以所求概率为22315310.373911PXePXXPXe17某传呼台有客户3000已知每个客户在任意时刻打传呼的概率为千分之二，问传呼台至少应安排多少名传呼员才能以不低于0.9的概率保证客户打入电话时立刻有人接？

解解设在任意时刻打传呼的客户数为X，由题意可知，2（3000,）1000XB又设安排n名传呼员，则由题意有0.9PXn由泊松定理，X近似服从6np的泊松分布，即6060.9!

knkPXnek查6的泊松分布表，可得9n18某公司采购人员在购买一种电脑用芯片时被告知：

此种芯片的合格率为0.98，为了以不低于0.95的概率保证至少买到80只合格的芯片，该采购员应购买多少只芯片？

解解设该采购员应购买80n只芯片，则其中的不合格芯片数为X，由题意可知，（80,0.02）XBn，且0.95PXn由泊松定理X近似服从参数为的泊松分布，其中（80）0.021.60.021.6nn（这里n显然不会太大）.于是有1.601.60.95!

knkek查表得4n，所以该采购员应购买84只芯片习题习题2.31已知函数22,0（）.0,0xcxexfxcx其0c,问（）fx是否为密度函数，为什么？

解解显然（）0,（,）,fxx又2201.xcxedxc所以（）fx是密度函数.2设随机变量（）Xpx22,

（1）（）0,axxpx，其他.试确定常数a的值，如果（）PaXb=0.5,求b的值解解2222arctan|（arctan）

（1）2aadxxax解方程2（arctan）12a得0a0022（）（）arctan|arctanbbPaXbfxdxxb解关于b的方程：

2arctan0.5b得1b3某种电子元件的寿命X是随机变量，概率密度为2100,100（）0,xpxxx，100.3个这种元件串联在一个线路中计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率解解由已条件知，串联线路正常工作当且仅当3个元件都能正常工作。

而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则3（）150PAPX215010021503PXdxx故8（）27PA4设随机变量X的密度为

（1）01（）0axxpx，其它试求

（1）常数a；

（2）X的分布函数解解

（1）由密度函数的性质1pxdx，有10112axdxa

（2）由2a，有21010,xxpx,其他于是，X的分布函数为020,021,011,10,02,0121,1xxxFxptdttdtxxxxxxx.5已知连续随机变量X的密度为1

（2）2041（）cos0220xxpxxx，其它

（1）求X的分布函数；

（2）计算（11）PX,4PX解解

（1）由分布函数的定义，有20200,212,204112cos,04221,2xxxxtdtxFxptdttdttdtxx20,212,20811sin,0221,2xxxxxx2

（2）111111311sin112sin12882PXFF112111sin1442422PXF6设连续型随机变量X的分布函数为01（）arcsin1111xFxabxxx，试确定a、b并求112PX解解因X为连续型随机变量，故其分布函数Fx在,上连续，从而0101,21101,2FFabFFab解得11,.2ab于是0,1,11arcsin,11,21,1.xFxxxx1111111arcsin02222PXFF11112.26263习题习题2.41设随机变量X在2，5上服从均匀分布现对X进行3次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率解解因为随机变量X服从均匀分布，故其密度函数为1,2,5（）30,xpx其他易得233PX设A表示“对X进行3次独立观测，至少有两次的观测值大于3的”事件，则312312120）1（）（）（）33327PAC（2设随机变量Y服从0，5上的均匀分布，求关于x的二次方程2442YxYx=0有实数根的概率解解x的二次方程24420xxYY有实根的充要条件是它的判别式244420YY即16120,YY解得2,Y或1.Y由假设，Y在区间0,5上服从均匀分布，其概率密度为150Yxfy，05，其他，故所求概率为2121pPYYPYPY15122100.6.5YYfydyfydydydy3设exp（）X，求：

（1）X的分布函数；

（2）1PX；（3）常数c，使PXc=21解解由题知Xe，即X的概率密度为000xexpxx，

（1）由定义xFxptdt当0x时，0Fx，当0x时，001xxttxxFxptdtedtee所以，X的分布函数为1000xexFxx，

（2）1111111PXFee（3）由题知112cPXcFce，则ln2c4某种电脑显示器的使用寿命（单位：

千小时）X服从参数为150的指数分布生产厂家承诺：

购买者使用1年内显示器损坏将免费予以更换

（1）假设用户一般每年使用电脑2000小时，求厂家须免费为其更换显示器的概率；

（2）显示器至少可以使用10000小时的概率为何？

（3）已知某台显示器已经使用10000小时，求其至少还能再用10000小时的概率解解因为X服从参数为150的指数分布，所以X的密度函数为50105000xexpxx，

（1）222505050001210.039250xxPXedxee

（2）1050505010101100.818750xxPXedxee（3）20150510502020100.818710PXePXXePXe5设（0.5,4）XN，求：

（1）0.51.5PX，0.52PX，0PX；

（2）常数a，使PXa=0.8944解解

（1）因为0.5,4,XN故有1.50.50.50.50.51.522PX20.5120.691510.3830.5220.522.51.5PXPXPX1.50.52.50.513122220.691510.93320.624700.5101110.598724PX

（2）由0.8944,PXa得10.8944,PXa0.1056,PXa即0.50.10561.252a于是0.51.252.2aa6某种电池的使用寿命X（单位：

小时）是一个随机变量，2（300,35）XN

（1）求其寿命在250小时以上的概率；

（2）求一允许限x，使X落入区间（300x，300x）内的概率不小于0.9解解

（1）由2300,35XN，可得3002503002503535XPXP101011.430.9236.77

（2）由题意，知3003000.9PxXx即3000.9353535xXxP210.9353535xxx1.90.95352x查表得1.6450.95则1.64535x，即57.575x7某高校一年级学生的数学成绩X近似地服从正态分布2（72,）N，其中90分以上的占学生总数的4求：

（1）数学不及格的学生的百分比；

（2）数学成绩在6580分之间的学生的百分比解解先求方差2.因为90分以上的占学生总数的4%,所以有900.04PX即90720.04XP1810.04XP从而180.96查表可知181.75，则10.29于是272,10.29XN.

（1）数学不及格的学生的百分比为7260726010.2910.291.170.12112.10%XPXP

（2）数学成绩在6580分之间的学生的百分比为6572728072658010.2910.2910.290.780.680.53453.4%XPXP习题习题2.51设X的分布列为X2101P61316131求23YX及21ZX的概率分布解解X2101P1613161323YX753121ZX5212将函数值相同的概率相加，得随机变量Y的概率分布为753111116363Y随机变量Z的概率分布为125121636Z2设2（,）ZN，求XYe的概率密度解解因为2,XN，所以X的密度函数为2221,.2xXpxex由于函数xye单增且其反函数,1ln,xhyyxy故Y=Xe的概率密度函数为22（）（）ln1exp,0220,0YXpyphyhyyyyy3设（）Xpx=000）1（22xxx，求lnYX的密度解解函数lnyx单增且其反函数,（）yyxhyexhye，故Y=lnX的密度函数为22（）（）,1yYXyepyphyhyye4设X服从2的指数分布，证明21XYe在区间0，1上服从均匀分布证证由定义知，Y的分布函数为21XYFyPYyPey当0y时，0YFy当1y时，1YFy当01y时，221112ln1ln12XXYXFyPeyPeyPXyFy由X服从2的指数分布，故21,0,0,0.XXexFxx因而12ln121ln112yYXFyFyey所以随机变量Y的分布函数为0,0,01,1,1.YyFyyyy即证得Y在区间01，上服从均匀分布5随机变量X服从0,2上的均匀分布，cosYX,求Y的概率密度（）Ypy.解解由于cosyx在0,2上单调，于是在01y上，hyxarccosy又随机变量X服从0,2上的均匀分布，2（）,Xpx因此22,01（）10,Yypyy其他综合练习综合练习二二一、一、填空题填空题1.设随机变量X的概率分布为（1,2,3）kPXkka，则a（6）.2.一批零件的次品率为0.01,连取三次,每次一件（有放回）,则取到的次品次数X服从的概率分布为（（3,0.01）B）.3.设随机变量XB（2,p）,YB（3,p）,若P（X1）=95,则P（Y1）=（1927）.4.设（）XP，且

（1）

（2）PXPX，则（3）PX（243e）.5.设随机变量X的密度函数为2,100（）0,100Cxpxxx，则C（100）.6.设随机变量X的分布函数为500（）10xxFxex，则（5）PX（1e）.7.设随机变量X的分布列为1230.20.30.5X，则X的分布函数为（）Fx（010.2120.52313xxxx）.8.已知随机变量X的密度函数为|（）,（）xpxaex，则a（12）.9.设连续随机变量X的密度函数为（）px，则XYe的密度函数为（）Ypy（1（ln）（0）pyyy）.10.设（3,9）XN，则（354）PX（12）二二、选择题、选择题1下列函数为某随机变量密度函数的是（.）a）（a）sin0（）20xxpx，其它（b）3sin0（）20xxpx，其它（c）sin0（）0xxpx，其它（d）sin02（）0xxpx，其它2设随机变量X的密度函数为（）px且（）（）pxpx，（）Fx是X的分布函数，则对任意实数a，有（（.）b）001（）（）1（）（）（）（）2（）（）（）（）（）2（）1aaaFapxdxbFapxdxcFaFadFaFa3设1（）Fx与2（）Fx分别为随机变量1X与2X的分布函数，为使12（）（）aFxbFx是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（a）（a）52,53ba（b）32,32ba（c）23,21ba（d）23,21ba4设400（）0111xFxaxxx是连续型随机变量X的分布函数，则a（（d））（）4（）3（）2（）1abcd5设随机变量X的概率密度函数为其它,010,2）（xxxp，则X的分布函数为（（c））22220101（）（）（）（）000001（）（）01（）（）111xxxaFxbFxxxxcFxxxdFxx其它其它其它6设一个零件的使用寿命X的密度函数为100010（）100000xexpxx，则三个这样的零件中恰好有一个的使用寿命超过1000的概率为（（b））.1112113（）（）3

（1）（）3（）（）aebeecede7设随机变量（1,1）XN，其概率密度函数为（）px，分布函数是（）Fx，则正确的结论是（（b））（）（0）（0）（）

（1）

（1）（）（）（）（）（）（）aPXPXbPXPXcFxFxdpxpx8下列函数中不是正态密度函数的为（（b））2222

（2）412

（2）

（1）16411（）（）（）（）2411（）（）（）（）42xxxxapxebpxecpxedpxe9设随机变量X的密度函数为）（x,则YX的密度函数为（（c））（a）（）（）pyy（b）（）1（）pyy（c）（）（）pyy（d）（）1（）pyy10若随机变量X服从均匀分布（0,1）U，则1YX的密度函数为（（d））10101（）（）（）（）00201112（）（）（）（）00yyyapybpyyycpydpy其它其它其它其它三、解答题三、解答题1如果2npcn,n=1,2.,问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么？

解解因为2111,nnnpcn由于级数211nn收敛，若记211nmn，只要取1,cm则有11,nnp且0.np所以它可以成为离散型随机变量的分布。

2一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布（不计其他因素停车）解解X可以取0，1，2，3，4.（0）0.4PX

（1）0.60.40.24PX,2

（2）0.60.40.144PX3（3）0.60.40.0864PX4（4）0.60.1296PX3一盒中有6个球，在这6个球上标注的数字分别为-3，-3,1,1,1,2，现从盒中任取一球，试取得的球上标注的数字X的分布律及分布函数解解X的全部可能取值为-3,1,2.则分布律为X-312P131216故X的分布函数为0,3,1,31,3（）11,12,32111,2,326xxFxPXxxx0,3,1,3