二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案).doc
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【例1】.如图,点,以点为圆心、为半径的圆与轴交于点.已知抛物过点和,与轴交于点.
⑴求点的坐标,并画出抛物线的大致图象.
⑵点在抛物线上,点为此抛物线对称轴上一个动点,求最小值.
⑶是过点的的切线,点是切点,求所在直线的解析式.
【巩固】已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式并且线段CM的长为
(1)求抛物线的解析式。
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(X1,0)、B(X2,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长。
(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由。
【例2】如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,半径为的圆交轴正半轴于点,
是的切线.动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动,点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动,且动点、从点和点同时出发,设运动时间为(秒).
⑴当时,得到、两点,求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴;
⑵当为何值时,直线与相切?
并写出此时点和点的坐标;
⑶在⑵的条件下,抛物线对称轴上存在一点,使最小,求出点N的坐标并说明理由.
提示:
(1)先求出t=1时,AP和OQ的长,即可求得P1,Q1的坐标,然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式.进而可求出对称轴l的解析式.
(2)当直线PQ与圆C相切时,连接CP,CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC(M为PG与圆的切点),因此可设当t=a秒时,PQ与圆相切,然后用a表示出AP,OQ的长即PM,QM的长(切线长定理).由此可求出a的值.
(3)本题的关键是确定N的位置,先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标,连接P′Q,那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点,可先求出直线P′Q的解析式,进而可求出N点的坐标.
【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与
二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.
⑴求一次函数与二次函数的解析式;
⑵判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;
⑶把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?
最小面积是多少?
【例3】如图1,⊙O的半径为,正方形顶点坐标为,顶点在⊙O上运动.
⑴当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙O相切;
⑵当直线与⊙O相切时,求所在直线对应的函数关系式;
⑶设点的横坐标为,正方形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值与最小值.
【巩固】如图,已知点从出发,以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以为顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为半径作圆.设点运动了秒,求:
⑴点的坐标(用含的代数式表示);
⑵当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的值.
【例4】已知:
如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,
⑴求的值及抛物线顶点坐标;
⑵过的三点的交轴于另一点,连结并延长交于点,过点的的切线分别交轴、轴于点,求直线的解析式;
⑶在条件⑵下,设为上的动点(不与重合),连结交轴于点,问是否存在一个常数,始终满足,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.
【巩固】如图,已知点的坐标是,点的坐标是,以为直径作,交轴的负半轴于点,连接、,过、、三点作抛物线.
⑴求抛物线的解析式;
⑵点是延长线上一点,的平分线交于点,连结,求直线的解析式;
⑶在⑵的条件下,抛物线上是否存在点,使得?
如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
课后作业:
1.如图,直角坐标系中,已知两点,,点在第一象限且为正三角形,的外接圆交轴的正半轴于点,过点的圆的切线交轴于点.
⑴求两点的坐标;
⑵求直线的函数解析式;
⑶设分别是线段上的两个动点,且平分四边形的周长.试探究:
的最大面积?
参考答案
例1
【巩固】
例2
分析:
(1)先求出t=1时,AP和OQ的长,即可求得P1,Q1的坐标,然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式.进而可求出对称轴l的解析式.
(2)当直线PQ与圆C相切时,连接CP,CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC(M为PG与圆的切点),因此可设当t=a秒时,PQ与圆相切,然后用a表示出AP,OQ的长即PM,QM的长(切线长定理).由此可求出a的值.
(3)本题的关键是确定N的位置,先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标,连接P′Q,那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点,可先求出直线P′Q的解析式,进而可求出N点的坐标.
【巩固】
例3
【巩固】
例4
【巩固】
作业