《二次函数》全章复习与巩固知识讲解doc.docx

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《二次函数》全章复习与巩固一知识讲解（提高）

【学习目标】

1.通过对实际问题情境的分析确定二次两数的表达式，并体会二次两数的意义；

2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；

4.会利用二次函数的图彖求一元二次方程的近似解.

【知识网络】

二次函数的概念

—y=or2（a工0）=ax1+c（a工0）

-y二q（工—hi丄A（a工=ar，+如鼻HaH65]L]三次函数的对称柚、顶点坐标

【要点梳理】

要点一、二次函数的定义

一般地，如果》="+血+＜念上左是常数，那么，叫做汛的二次函数.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a^O）,那么y叫做x的二次函数.这里,当沪0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

要点二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①»=/；®y=ax2^k；③y■比一J0*；④尸=4一人尸十上,

其“？

“容;⑤2+W（以上式子”

几种特殊的二次函数的图彖特征如2

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当dA。

时

开口向上

当a<0吋

开口向下

囂-°（y轴）

（0,0）

y^ax^+k

轴）

（0,fc）

（A，0）

y=«（jr-A）1+k

x=A

（A,*）

5T■—

bAac-ti1

（W4a）

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

（1）a的符号决定抛物线的开口方向：

当<1>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

（2）平行于7轴（或重合）的直线记作z=A特别地，轴记作直线x=0

3•抛物线y=ax2+fcr+c（〃H0）中，a.b.c的作用：

（1）a决定开口方向及开口大小，这与/="中的a完全一样.

（2）6和么共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线x=~,

故：

①A=0时，对称轴为7轴；②一>0（即0、占同号）时，对称轴在y轴左侧；③一U0（即

aa.

a、Q异号）时，对称轴在丿轴右侧.

（3）r的大小决定抛物线》=*与丿轴交点的位置.

当,・0时，，二卞，・・・抛物线y=•加十c与丿轴有且只有一个交点（0,c）：

①c=0,抛物线经过原点；②与，轴交于正半轴；®c<0,与，轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在》轴右侧，则-<0.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

（1）-・般式：

=+*»+cQH0）.已知图象上三点或三对JT、，的值，通常选择--般式.

⑵顶点式：

护疋一硏4上（aHO）・已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（可以看成》=衣的图象平移后所对应的函数.）

（3）“交点式”：

已知图象与x轴的交点坐标；q、可，通常选用交点式：

»二无一吃工疋-石（aHO）.（由此得根与系数的关系：

丐4■可=一仝■耳号=兰）.

要点诠释：

求抛物线y^ax^+bx+cQH0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：

配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

要点三、二次函数与一元二次方程的关系

函数y=aa?

4-M+«（a#0）,当y=0时，得到一元二次方程ai5=0{a*0）,那么一

元二次方程的解就是二次函数的图象与X轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时6=沪一4比：

>0,则方程有两个不相等实根；

（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这吋4=沪-心=0,则方程有两个相等实根;

（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时&<0则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:

要点诠释：

二次函数图象与X轴的交点的个数由戸_。

的值来确定.

（1）当二次函数的图象与X轴有两个交点，这时A=*J-4*:

>0,则方程有两个不相等实根；

（2）当二次函数的图象与X轴有且只有一个交点，这时A=*a-*»=0,则方程有两个相等实根;

（3）当二次函数的图象与X轴没有交点，^R^A=ia-4

要点四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题屮存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题•在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

（1）建立适当的平而直角坐标系；

（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；

（4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

要点诠释：

常见的问题：

求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

【典型例题】

类型一、求二次函数的解析式

V1.己知抛物线的顶点是（3,-2）,且在x轴上截得的线段长为6,求抛物线的解析式.

【思路点拨】

已知抛物线的顶点是（3,-2）,可设抛物线解析式为顶点式，即y=a（x-3）2-2，也就是y=ax2-6ax+9a-2,再由在x轴上截得的线段长为6建立方程求出a.也可根据抛物线的

对称轴是直线x=3,在x轴上截得的线段长为6,则与x轴的交点为（0,0）和（6,0）,因此可设y=a（x-0）•（x-6）.

【答案与解析】

解法一：

・・・抛物线的顶点是（3,-2）,且与x轴有交点，

设解析式为y=a（x-3）'-2（a>0）,即y=cix2-6ax+-2,

设抛物线与X轴两交点分别为（X】，0）,（X2,0）.贝忙厂无匸牝（％_2）=6,

解得Q=_.・・・抛物线的解析式为y（兀―3）2—2,即J=-X2——X.

9993

解法二：

丁抛物线的顶点为（3,-2）,

・・・设抛物线解析式为y=a（x-3）2-2.

・・・对称轴为直线x=3,在x轴上截得的线段长为6,

・•・抛物线与x轴的交点为（0,0）,（6,0）.

把（0,0）代入关系式，得0=a（0-3）2-2,

解得a=-f:

.抛物线的解析式为y=-（x-3）2-2,

即y=_兀？

—x.

解法三：

求出抛物线与x轴的两个交点的坐标（0,0）,（6,0）设抛物线解析式为y=a（x-0）（x-6）,

把（3,—2）代入得gx3x（3—6）=—2,解得a=-・

抛物线的解析式为>'=—x（x-6）,即y=—x2~~x•

【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单.

举一反三:

【变式】己知抛物线y=nvr-+4m-25是常数）.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若-

h—4加

【答案】

（1）依题意，得77?

01X===2,

2a2m

4ac-b24zw（4/n-2）-（-4/w）216jw2-8m-16/w2亠

y===

4a4m

・・・抛物线的顶点坐标为（2,-2）.

（2）J抛物线与无轴交于整数点，

mx2一4mx+4m-2=0的根是整数.

4m±Jl6irr一4m（4/77-2）2-j2m

二2±

2m2m

•:

—取1,4,9,

2±逅.

m-—\当一=9时,

Vm>0,.\x=2±J-是整数.・・・2•是完全平方数・

122

T—v加v5,—v—v10,

55m

4m±J16m2一4m（4m一2）

x=二

m-—

当—=1时，m=2；当一=4时,

•••加的值为2或丄或土.

Io10

・・・抛物线的解析式为y小凡+6或二宀2皿〒2〒飞

类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

2.函数y=ax^rb和y=or?

+bx+c（aH0）在同一直角坐标系内的图象大致是（）

【答案】C；

【解析】・・・aHO,・・・分a>0,a<0两种情况來讨论两函数图彖的分布情况.

若a>0,则y=ax+b的图象必经过第一、三象限，y=ax1+bx^C的图象开口向上，可排除D.

若a>0,b>0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，）；=0?

+加+0的图象的対称轴在y轴的左侧，故B不正确.

若a>0,b<0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，y=ax2-\-bx-\-c的图彖的对称轴在y轴的右侧，故C正确.

若a<0,贝ijy=ax+b的图象必经过第二、四象限，y=加+©的图彖开口向下，故A不正确.

【点评】在同一直角坐标系屮研究两种函数图象的分布情况，待定系数a,b满足一致性，因此讨论a,b符号的一致性成为解决本题的关键所在.事实上，a,b的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置.

类型三、数形结合

如图，已知二次函数力二・x2+l^x+c的图彖与x轴的一个交点为A（4,0）,与y轴的交点为B,

过A、B的直线为y2=kx+b.

（1）求二次函数力的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足yi

（3）在两坐标轴上是否存在点P,使得AABP是以AB为底边的等腰三角形？

若存在，求出P的坐标；

解:

（1）将A点坐标代入y”得

-16+13+c=0.

解得c二3,

二次函数y<的解析式为y=-x2+M+3,

B点坐标为（0,3）；

（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是xVO或x>4,.*.x<0或x>4时,yi

（3）直线八B的解析式为y二-卫x+3,

AB的中点为（2,卫）

AB的垂直平分线为y^x-1

当x=0时，y二■丄，Pi（0,-—）,

当y二0时，x二2P2（丄0）,

综上所述：

Pi（0,-上），P2（丄0）,使得zMBP是以AB为底边的等腰三角形.

【点评】本题考察了二次函数综合题，

（1）利用待定系数法求函数解析式；

（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键.类型四、函数与方程

❾4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为x（xM60）元，销售量为y套.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？

（3）当销售单价为多少元吋，才能在一个月内获得最大利润？

最大利润是多少？

【答案与解析】

解：

（1）销售单价为x元，则销售量减少兰二竺X20,

故销售量为y二240-一X20=-4x+480（x260）；

（2）根据题意可得,x（-4x+480）=14000,

解得Xi=70,x2=50（不合题意舍去），

故当销售价为70元时，月销售额为14000元；

（3）设一个月内获得的利润为\v元，根据题意得：

w=（x-40）（-4x+480）

=-4x2+640x-19200

=-4（x-80）2+6400.

当x=80时，\v的最大值为6400.

故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元.

【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解.举一反三：

【变式1】抛物线7=^与直线只有一个公共点，贝ijb二.

[y=A（D

【答案】由题意得彳_

[y=2x+b.€）

把②代入①得?

-2x-*=O

•・•抛物线/=?

与直线y=2x+*只有一个公共点，

方程H—2*—6=0必有两个相等的实数根,

・・・A=（-2）a+46=0,・・・A=-l.

【变式2】二次函数y=ax^+bx+c（fltG）的图彖如图所示，根据图彖解答下列问题:

（2）写出不等式*-bx¥c>0的解集；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量X的取值范围；

（4）若方程/“星知：

二上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

【答案】⑴西二h*1=3

（2）1

（3）JT工2.

⑷方法1：

方程ax9—Ax-ke=it的解，

即为方程组・AF’Zg中X的解也就是抛物线严"S+匕与直线八上的交点1»"・

的横坐标，由图象可看出，

当时，直线尸=上与抛物线有两个交点，.・・*<2.

方法2：

・・・二次函数y=+c的图象过（1,0）,（3,0）,（2,2）三点，

.・.一2<+8x—6=上，即2壬一Er+it+6=0,

・A=C-8f-4x2（i+0=16-&b

•••

・・・方程有两个不相等的实数根，・・・16-»>0,?

.*<2.

）.

类型五、分类讨论

2+2（虫2）,则当函数值y=8时，自变量X的值是（2x（x>2）

B.4C.土般或4D.4或一舲

【思路点拨】

此题函数是以分段函数的形式给出的，当y=8时，求x的值时，注意分类讨论.【答案】D；

【解析】

由题意知，当x2+2=8时，x=±yjb.而>2,/.x=-a/6.x=^6（舍去）.

当2x=8时，x=4.综合上知，选D.

【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.

类型六、与二次函数有关的动点问题

仅.如图所示，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为70）,（3,0）,（0,3）,过A,B,0三点的抛物线的对称轴为直线D为对称轴1上一动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心，以AD为半径作OA.

①证明：

当AD+CD最小时，直线BD与OA相切；②写出直线BD与OA相切时，D点的另一个坐标.【思路点拨】

根据A、B两点在x轴上，可设交点式求解析式.要AD+CD最小，根据两点Z间线段最短，可判定D点位置，从而求出点D坐标.要让BD与OA相切，只需证AD丄BD,由圆的对称性，可直接写出D点另一个坐标.

【答案与解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+l）（x-3）.

将（0,3）代入上式,得3=a（0+l）（0-3）.

解得a=-l.

・・・抛物线的解析式为y=-（x+l）（x-3）,

艮卩y=—x~+2x+3.

⑵连接BC,交直线/于点D'.

・.・点B与点A关于直线1对称，・・・AD'=BD‘.

・•・AD'+CD'=BD‘+CDf=BC・

由“两点之间，线段最短”的原理可知：

由直线BC过点（3,0）,（0,3）,得

O=3k+b,

3=b.

此时+CL最小，点D'的位置即为所求.设直线BC的解析式为y=kx+b,

解这个方程组，得r=_1,

9=3.

・•・直线BC的解析式为y=-x+3.

•・・对称轴/为x=l.

将x=l代入y=-x+3,得y=-1+3=2.

・・・点D的坐标为（1,2）.

（3）①连接AD.设直线1与x轴的交点为点E.

由

（2）知：

当AD+CD最小时，点D的坐标为（1,2）.

•・・DE=AE=BE=2,ZDAB=ZDBA=45°,

・・・ZADB=90°.・•・AD丄BD.

・・・BD与OA相切.

②（1,-2）.

【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程屮的不变量、不变关系.

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