广义积分.doc
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理论与实验课教案首页
第12次课授课时间2016年12月4日第6～7节课教案完成时间2016年11月28日
课程名称
高等数学
教员
职称
副教授
专业层次
药学四年制本科
年级
2016
授课方式
理论
学时
2
授课题目（章，节）
第四章定积分及其应用
§5.广义积分和Γ函数
基本教材、主要参考书
和相关网站
基本教材：
《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011
年，第五版
参考书：
《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，
第二版
教学目标与要求：
了解：
函数及其主要性质；广义积分的思想；广义积分的概念
掌握：
广义积分的计算
教学内容与时间分配：
1.复习5分钟
2.无穷区间上的广义积分35分钟
3.被积函数有无穷型间断点的广义积分35分钟
4.小结5分钟
教学重点与难点：
重点：
广义积分（无穷区间、无界函数）的计算
难点：
广义积分间断点的判定
教学方法与手段：
教学方法：
讲授式为主，启发式、讨论式穿插其中，剖析实际案例，适当练习加强学生对公式的应用。
教学手段：
板书与多媒体相结合，信息量大同时又直观。
教学组长审阅意见：
签名：
年月日
教研室主任审阅意见：
签名：
年月日
理论与实验课教案续页
基本内容
教学方法手段
和时间分配
复习:
一、定积分的概念——特殊乘积和式的极限
二、定积分的性质
三、定积分的计算
积分上限函数及其导数
牛顿—莱布尼兹公式
第五节广义积分和函数
一、无穷区间上的广义积分
引例：
求曲线与x轴、y轴所围成的开口曲边梯形的面积。
根据定积分的思想，所求面积的底边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在上任取一点，则在区间上的曲边梯形面积为
由极限的思想，当时，的极限为所求的面积，即
由引例求解过程可以看出，极限
为函数在上的积分。
抽象到一般函数，可以定义无穷区间上的广义积分。
定义4-2设在内连续,任取若极限存在，则称此极限为在内的广义积分，记为即
若右端的极限存在，称广义积分收敛（convergent）；极限不存在，称广义积分发散（divergent）。
同理可定义在内的广义积分：
若极限存在则收敛，否则认为发散。
上述三种广义积分统称无穷区间的广义积分，简称无穷积分（infiniteintegral），也称为第一类反常积分。
记法：
设是的任意一个原函数，记
为使用方便,采用Newton-Leibniz公式的记法：
例1
例2
思考对吗？
分析：
原积分发散。
例3证明积分当时收敛，时发散。
例4在一次口服给药的情况下，血药浓度--时间曲线可表示为
其中为吸收速率常数，为消除速率常数，为药物的表现容积，为吸收分数，为口服剂量。
求曲线下的面积AUC（AreaunderCurve）。
课堂练习：
计算广义积分
二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
在上有无穷间断点（若在点无定义，且）
引例：
求曲线与轴、轴及直线所围成的开口曲边梯形的面积。
根据定积分的思想，所求面积的侧边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在上任取则在区间上的曲边梯形面积为
由极限的思想，当时，的极限为所求的面积，即
由引例求解过程可以看出，函数在上连续，则极限
为上的积分。
抽象到一般函数，可定义出无界函数的广义积分。
定义4-3设函数在区间内连续，且对任意的，如果极限存在，则称此极限为函数在区间内的广义积分，仍然记为即，这时也称广义积分存在或收敛。
如果上述极限不存在，则称广义积分不存在或发散。
同理可定义函数在区间上的广义积分
若在区间上除点外连续，且，如果两个广义积分与都收敛，则定义
无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称为瑕点（奇点）
说明：
若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点，在本质上是常义积分，而不是广义积分。
例如：
例5计算广义积分
例6讨论广义积分的收敛性
例7计算广义积分
说明：
（1）有时通过换元，广义积分和常义积分可以相互转化。
例如：
（令）
（令）
（2）当题中同时含两类反常积分时，应划分积分区间，分别讨论每一区间上的反常函数。
课堂练习题：
习题三P102--10319（3）（8）
小结
5分钟
15分钟
提问：
如何求无限长曲边梯形面积？
图示演示
重在思路的分析，对定积分的扩展
重点
类比得到
定义时，要求:
1）为常数；
2）在上连续必可积。
15分钟
板书
对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误。
5分钟
练习与讲评
15分钟
讨论式
对比无穷区间上的广义积分
重点
15分钟
重难点
板书讲解
5分钟
练习与讲评
5分钟
理论与实验课教案末页
小
结
1.广义积分：
积分区间无限、被积函数无界
2.广义积分的计算方法
特别注意积分区间含有无穷间断点的反常积分
思
考
题
及
作
业
题
思考：
，对吗？
为什么？
作业：
习题四27（2,4,6,8）
自学函数
预习：
第六章空间解析几何
第一节空间直角坐标系
第二节空间曲面与曲线
实
施
情
况
及
效
果
分
析
教员签名：
年月日
—8—
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