蚌埠学院学一食堂排队分析3Word文件下载.docx
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3、针对窗口数量与学生平均排队时间之间的关系，我们从经济学角度进行了分析，比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的大小关系，最后得出学一食堂设置6个窗口最为合理。
进一步，我们结合经济学中的竞争原理，分析了现在设置5窗口的原因。
关键字
排队论M\M\n模型灵敏度等待损失学校食堂排队时间排队等待时间窗口服务学生服务时间
模型的建立与分析
由于周末学生不用上课，所以学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此就不做分析了。
我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析。
经我们观察发现，一般打到饭菜的同学都能找到座位吃饭，所以我们可以认为食堂的座位数量是足够的，无需添加新的桌椅。
所以，解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。
我们将就此问题建立模型，进行分析。
调查数据
我们调查了从2011年4月25号到4月29号（周一至周五）11：
35至11:
55高峰期学一食堂的学生流分布情况：
共统计了2164人次的数据，见下表：
表一
每20秒到达人数
1
2
3
4
5
6
7
频数
126
278
421
657
387
208
87
由概率论知识我们得知，如果分布满足
，则该分布为泊松分布。
由上表可得，=4.04。
经过检验可知此分布近似于泊松分布。
虽然我们只调查了学一食堂一周的数量，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据还是较为可靠的。
另外在非高峰时段很少发生排队现象，所以在此我们就不做研究。
模型假设
1、假设每位同学来到食堂都是自觉排队，没有插队现象。
2、每位同学只打一份饭菜，没有帮别人代打情况。
3、由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在11:
55这一时间段赶去食堂吃饭，所以我们可以认为在该时间段中学生源是无限的。
4、每个窗口菜色都一样，饭菜的供给量充足，学生到任何一个窗口都是随机的。
5、食堂实行先来先服务的原则，我们假设排队方式是单一队列等待制。
6、观察发现每个窗口服务人员工作效率是随机的，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务是60秒，而且服务员之间并无差异。
7、以20秒为一个时间单位。
模型建立
基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型（M\M\n）。
该模型特点是：
服务系统中有n个服务员，学生按泊松流来到服务系统，到达强度为λ；
服务员的能力都是μ，服务时间服从指数分布。
当学生到达时，如果所有服务员都忙着，学生便参加排队，等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。
这个系统的效率指标有：
顾客到达强度λ
每个顾客的平均服务时间
服务员能力μ=
系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例ρ=
空闲概率
=
系统中排队学生的平均数：
=
学生平均排队时间：
学生平均逗留时间：
系统中学生的平均数：
模型求解
由我们调查的数据，经过计算得到λ=4.04
=1minn=5代入以上各式得到:
=1
系统服务强度ρ=
=4.04
=0.014
=3
=0.74
=1.74
=8
由此可见，当我们中午在11:
35~11:
55这个时间段去学一食堂吃饭时，一进门就会发现里面人满为患，几乎不可能找到空闲的窗口。
而且，已经8个同学在排队买饭。
3人正在排队等待，平均一个窗口5人。
当我们开始排队时，要过60秒才能轮到我们，要过80秒我们才能吃上可口的饭菜。
为了检验我们的数据与事实相符，我们特地亲身体验了一番，下表就是我们的统计数据：
表二
时间
4月25日11:
35
4月26日11:
40
4月27日11:
4月28日11:
50
日排队等待人数
排队等待时间
65
70
60
75
忽略那些随机因素，我们得到的那些结论和实际数据还是较为符合的，可见我们的模型建立的还是很成功的。
模型分析
对于学生来说，中午的时间还是很有限的，能尽快吃上饭对我们来说还是很重要的。
同时，学生在食堂排队的平均逗留时间Wo很大程度上可以决定学生对食堂的选择，所以食堂工作人员也希望尽可能满足学生的需求。
我们认为平均服务时间t不可改变。
因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口数量n了，下面我们将就n的取值对W的影响进行分析：
由matlab我们可以得到他们两者之间的图形：
窗口数的优化设计
从以上的灵敏度分析可知，当窗口数超过6时，即使增加再多的窗口，其平均排队时间的拜年话绝对值大小也只在5秒左右，而这么少的时间间隔我们认为对学生是不会造成什么影响的。
但是增加窗口会给食堂带来巨大的成本压力，他们当然也不可能增加。
至于小于5个窗口时，平均排队时间会有所增加，这就会引起学生的抱怨，造成学剩的流失，当然也是不合理的。
因此，我们可以看出，最佳的窗口设置是6个或7个。
对于学生方面来说，当然是排队等待时间越短越好，即7个窗口比6个好。
对于食堂方面来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为
更多学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。
一般来说，每增加一个窗口，需要多配备三名服务人员以及一些配套的设施。
所以增加窗口数所带来的成本等于新增服务人员的工资加上配套设施的维修与清洗费。
新增窗口得到的收益是很难估量的。
在此我们引入等待损失的概念，即由于排队等待食堂所减少的收益。
如食堂每分钟可得收益a元，但是由于队列过长，顾客不得不排队等待服务，这意味着食堂无法及时为这些顾客服务，每等待1分钟，食堂就损失a元。
所以我们得到等待损失等于食堂单位时间收益乘以平均等待时间乘以顾客数。
我们调查得知蚌埠市餐饮行业服务人员的每月平均工资为700元，即每周平均175元。
至于配套设施的维修与清洗，我们可大致认为其每周不超过300元。
由此可知每增加一个窗口，食堂的成本就得增加825元。
至于食堂从每个学生身上可获得多少利润，因为学生要的菜不同，而且菜的利润也不同，
所以是很难确定的，故我们由一般规律假定其每十秒钟可得0.5元利润。
所以，学生因等待而使食堂发生的损失，Q=0.3×
3059W，当窗口数从6变为7时，食堂可少损失ΔQ=0.1×
3059×
ΔW=0.5×
（2.7-0.523）=3329.72元。
由此可知最佳的窗口数为6。
然而事实是学一食堂的窗口数是5，在这么长的实践时间里，难道是食堂人员没有发觉当窗口数增加到6时，其利润会更多吗？
还是有其它原因呢？
其实从理论上来讲，单从一个
食堂来讲，6个窗口是最合适的。
但是事实上由于整个学校的学生人数是一定的，故我们的假设中的第一条，学生源是无限的是不太合理的。
当学一食堂增加窗口时，必然会夺走其它食堂的学生，因此其它食堂也一定会同样增加窗口，使学生在各食堂间进行从新分配，最后达到新的平衡。
可能到头来，虽说学一食堂减少了平均排队等待时间，但学生并没有增加多少，利润也没多大变化，这是得不偿失的。
所以学校食堂之间的竞争有些类似于经济学中寡头的竞争，他们为了攫取最大的利润，彼此之间达成了某种默契，把实际价格定得比理论价格要高。
反映在我们食堂的窗口数设置上，就是学一食堂选择了5个窗口，而不是6个窗口。
我们认为学校食堂应以为学生服务为宗旨，不应只看重经济利益，所以强烈建议学一食堂增设一个窗口，以满足学生的需求。
体会
接触数学建模这门学科已有两个多月了，从老师分配了作业后，我们队的三人就开始分头行动，一人负责去图书馆查阅资料，一人在网上搜索相关信息，一个人建立模型，通过三人的努力，我们终于建立好了模型并编程求解，经过艰苦的奋斗，终于完成了论文的写作。
从选题到完成，这篇论文我们足足准备了近三个多星期。
一个学期的数学模型课，最后的成果都集中在了这篇论文中，可见其分量之重，我们自然不敢懈怠。
可是正应了老师说的那句话，在我们的周围有着很多的数学，问题在于我们怎么去发现它，解决它。
经过好几天的考虑和比较，我们选择了这个和我们每天的生活都密切相关的题目。
题目是有了，可是要调查的数据却极为庞大，我们抱着不撞南墙不回头的精神，硬是耐着性子坚持了一个星期的细致调查。
我们相信，道路是曲折的，前途是光明的。
尽管中间不时传来其他同学已经做完的消息，可是当我们看着自己辛苦调查来的真实数据时，我们感到极其满足。
由于我们的论文用到了排队论的知识，所以我们特意去图书馆借了本陆凤山先生的《排队论及其应用》。
我们在用新方法时，不仅要会用，还要知道为什么。
所以，我们花了两天来研究排队论中各概念的含义和计算公式。
接下来就是模型的建立与分析了，为此我们进行了明确的分工。
模型的组建和求解过程是由江琪同学完成的，模型的分析是由吴影丽同学完成的。
至于模型的优化设计，是我们在共同的讨论下完成的。
在处理处理这一问题时，汪亮同学创造性地提出了等待损失的概念，使我们的模型能从经济学的角度进行量化分析。
在于事实的验证中，我们碰到了个麻烦，即我们的结论与事实有出入。
在我们怀疑自己模型的正确性时，我们从图书馆里找到了关于寡头竞争概念的书籍，很好的解决了这一矛盾。
终于截稿了，我们的模型虽然有一些不足之处，但是我们认为整体来说还是很成功的。
一个学期的数模课让我们学到了很多分析问题的方法与思想，虽然在这篇论文中没有全部运用，但是这为我们将来用数学知识解决实际生活中的问题打下了良好的基础。
最后感谢建模老师在这次作业中给予我们的帮助。
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