平面向量的数量积练习题(含答案).doc

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平面向量的数量积

A组　专项基础训练

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·辽宁）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x），若a·b＝1，则x等于 （　　）

A．－1 B．－ C. D．1

2．（2012·重庆）设x，y∈R，向量a＝（x,1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于（　　）

A.B.C．2D．10

3．已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c等于（　　）

A. B.C. D.

4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于 （　　）

A．－ B．－ C. D.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.

7．已知a＝（2，－1），b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．

三、解答题（共22分）

8．（10分）已知a＝（1,2），b＝（－2，n）（n>1），a与b的夹角是45°.

（1）求b；

（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

9．（12分）设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

B组　专项能力提升

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于 （　　）

A. B. C．2 D.

2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是（　　）

A．－4B．4C．－2D．2

3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．设向量a＝（1,2m），b＝（m＋1,1），c＝（2，m）．若（a＋c）⊥b，则|a|＝________.

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点

F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

三、解答题

7．（13分）设平面上有两个向量a＝（cosα，sinα）（0°≤α<360°），b＝.

（1）求证：

向量a＋b与a－b垂直；

（2）当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

平面向量的数量积参考答案

A组　专项基础训练

1.答案　D解析　a·b＝（1，－1）·（2，x）＝2－x＝1⇒x＝1.

2．答案　B

解析　∵a＝（x,1），b＝（1，y），c＝（2，－4），

由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.

由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝（2,1），b＝（1，－2）．

∴a＋b＝（3，－1），∴|a＋b|＝＝.

3．答案　D

解析　设c＝（x，y），则c＋a＝（x＋1，y＋2），又（c＋a）∥b，∴2（y＋2）＋3（x＋1）＝0.①

又c⊥（a＋b），∴（x，y）·（3，－1）＝3x－y＝0.②联立①②解得x＝－，y＝－.

4．答案　D

解析　由于·＝||·||·cos∠BAC

＝（||2＋||2－||2）＝×（9＋4－10）＝.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．答案　3解析　∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，

∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.

6．答案　－16

解析　如图所示，

＝＋，

＝＋

＝－，∴·＝（＋）·（－）

＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.

7．答案　（－∞，－6）∪解析　由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.

三、解答题（共22分）

8．解　

（1）a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，

∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0，∴n＝6或n＝－（舍），∴b＝（－2,6）．

（2）由

（1）知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb（λ>0），（c－a）·a＝0，

∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，∴c＝b＝（－1,3）．

9．解　∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×＝1，

∴（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＝2te＋7te＋（2t2＋7）e1·e2＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.

由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7

设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ<0，则⇒2t2＝7⇒t＝－或t＝（舍）．

故t的取值范围为（－7，－）∪（－，－）．

B组　专项能力提升

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．答案　A

解析　∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||||cos（π－B），∴||||cosB＝－1.

在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，即9＝4＋|BC|2－2×（－1）．

∴|BC|＝.

2．答案　A

解析　a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，

∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.

3． 答案　D

解析　∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.

∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.∴||2＋||2

＝（2＋2）－2·（＋）＋22＝2－2·2＋22.

又2＝162，＝2，

代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．答案　解析　利用向量数量积的坐标运算求解．

a＋c＝（1,2m）＋（2，m）＝（3,3m）．∵（a＋c）⊥b，

∴（a＋c）·b＝（3,3m）·（m＋1,1）＝6m＋3＝0，

∴m＝－.∴a＝（1，－1），∴|a|＝.

5．答案　解析　方法一　坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（，0），E（，1），F（x,2）．故＝（，0），＝（x,2），＝（，1），＝（x－，2），

∴·＝（，0）·（x,2）＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝（1－，2）．

∴·＝（，1）·（1－，2）＝－2＋2＝.

方法二　用，表示，是关键．

设＝x，则＝（x－1）.

·＝·（＋）＝·（＋x）＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，

∴x＝.∴＝＋＝＋.∴·＝（＋）·

＝

＝2＋2＝×2＋×4＝.

6．答案　[1,4]

解析　利用基向量法，把，都用，表示，再求数量积．

如图所示，

设＝

＝λ（0≤λ≤1），则＝λ，

＝λ，＝－＝（λ－1），

∴·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·[＋（λ－1）]＝（λ－1）·＋λ·

＝4（1－λ）＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，·取得最大值4；当λ＝1时，·取得最小值1.∴·∈[1,4]．

三、解答题

7．

（1）证明　∵（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝（cos2α＋sin2α）－＝0，

故向量a＋b与a－b垂直．

（2）解　由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，

所以2（|a|2－|b|2）＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，即·cosα＋·sinα＝0，

即cos（α＋60°）＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，k∈Z，

即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.

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