平面向量的数量积练习题(含答案).doc
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平面向量的数量积
A组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2012·辽宁)已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于 ( )
A.-1 B.- C. D.1
2.(2012·重庆)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( )
A.B.C.2D.10
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( )
A. B.C. D.
4.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于 ( )
A.- B.- C. D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=________.
7.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________.
三、解答题(共22分)
8.(10分)已知a=(1,2),b=(-2,n)(n>1),a与b的夹角是45°.
(1)求b;
(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.
9.(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
B组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于 ( )
A. B. C.2 D.
2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( )
A.-4B.4C.-2D.2
3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于( )
A.2 B.4 C.5 D.10
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点
F在边CD上,若·=,则·的值是________.
6.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则·的取值范围是________.
三、解答题
7.(13分)设平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.
(1)求证:
向量a+b与a-b垂直;
(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.
平面向量的数量积参考答案
A组 专项基础训练
1.答案 D解析 a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1.
2.答案 B
解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),
由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,∴x=2.
由b∥c,得1×(-4)-2y=0,∴y=-2.∴a=(2,1),b=(1,-2).
∴a+b=(3,-1),∴|a+b|==.
3.答案 D
解析 设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.①
又c⊥(a+b),∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.②联立①②解得x=-,y=-.
4.答案 D
解析 由于·=||·||·cos∠BAC
=(||2+||2-||2)=×(9+4-10)=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.答案 3解析 ∵a,b的夹角为45°,|a|=1,
∴a·b=|a|·|b|cos45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.
6.答案 -16
解析 如图所示,
=+,
=+
=-,∴·=(+)·(-)
=2-2=||2-||2=9-25=-16.
7.答案 (-∞,-6)∪解析 由a·b<0,即2λ-3<0,解得λ<,由a∥b得:
6=-λ,即λ=-6.因此λ<,且λ≠-6.
三、解答题(共22分)
8.解
(1)a·b=2n-2,|a|=,|b|=,
∴cos45°==,∴3n2-16n-12=0,∴n=6或n=-(舍),∴b=(-2,6).
(2)由
(1)知,a·b=10,|a|2=5.又c与b同向,故可设c=λb(λ>0),(c-a)·a=0,
∴λb·a-|a|2=0,∴λ===,∴c=b=(-1,3).
9.解 ∵e1·e2=|e1|·|e2|·cos60°=2×1×=1,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+7te+(2t2+7)e1·e2=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.
由已知得2t2+15t+7<0,解得-7设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则⇒2t2=7⇒t=-或t=(舍).
故t的取值范围为(-7,-)∪(-,-).
B组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.答案 A
解析 ∵·=1,且AB=2,∴1=||||cos(π-B),∴||||cosB=-1.
在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cosB,即9=4+|BC|2-2×(-1).
∴|BC|=.
2.答案 A
解析 a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,得a·b=|b||a|·cos〈a,b〉,即-12=3|a|·cos〈a,b〉,
∴|a|·cos〈a,b〉=-4.
3. 答案 D
解析 ∵=-,∴||2=2-2·+2.
∵=-,∴||2=2-2·+2.∴||2+||2
=(2+2)-2·(+)+22=2-2·2+22.
又2=162,=2,
代入上式整理得||2+||2=10||2,故所求值为10.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.答案 解析 利用向量数量积的坐标运算求解.
a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b,
∴(a+c)·b=(3,3m)·(m+1,1)=6m+3=0,
∴m=-.∴a=(1,-1),∴|a|=.
5.答案 解析 方法一 坐标法.
以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2).故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2),
∴·=(,0)·(x,2)=x.又·=,∴x=1.∴=(1-,2).
∴·=(,1)·(1-,2)=-2+2=.
方法二 用,表示,是关键.
设=x,则=(x-1).
·=·(+)=·(+x)=x2=2x,又∵·=,∴2x=,
∴x=.∴=+=+.∴·=(+)·
=
=2+2=×2+×4=.
6.答案 [1,4]
解析 利用基向量法,把,都用,表示,再求数量积.
如图所示,
设=
=λ(0≤λ≤1),则=λ,
=λ,=-=(λ-1),
∴·=(+)·(+)=(+λ)·[+(λ-1)]=(λ-1)·+λ·
=4(1-λ)+λ=4-3λ,∴当λ=0时,·取得最大值4;当λ=1时,·取得最小值1.∴·∈[1,4].
三、解答题
7.
(1)证明 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-=0,
故向量a+b与a-b垂直.
(2)解 由|a+b|=|a-b|,两边平方得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,
所以2(|a|2-|b|2)+4a·b=0,而|a|=|b|,所以a·b=0,即·cosα+·sinα=0,
即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k·180°+90°,k∈Z,
即α=k·180°+30°,k∈Z,
又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.
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