勾股定理教学设计.docx

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勾股定理教学设计

《17．1勾股定理》教学设计

一、内容和内容解析

1、内容

勾股定理的探究、证明及简单应用。

2、内容解析

勾股定理：

如果直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。

这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要作用。

由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边的长。

勾股定理常用来求解线段长度或距离问题。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角出发，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法。

证明勾股定理的关键是利用割补法求一些以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路。

我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定。

要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；要通过对勾股定理的探索和发现，培养学生学好数学的自信心。

基于以上分析，确定本节课的教学重点:

探究并证明勾股定理。

二、目标和目标解析

1、目标

（1）经历勾股定理的探究过程。

了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感。

（2）能用勾股定理解决一些简单问题。

2、目标解析

目标

（1）要求学生先观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳和合理的数学表示发现勾股定理的结论。

理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理。

了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。

目标

（2）要求学生能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角的两边长能求出第三边的长度。

三、教学问题诊断分析

勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊结论。

在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系进而得出三边的关系。

但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大的困难。

学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补法求以斜边为边长的正方形的面积。

因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下的正方形的面积关系，再把这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理的发现和证明勾股定理。

本节课的教学难点：

勾股定理的探究和证明。

四、教学支持条件分析

借助课件动态的演示三角形从网格的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形，再到去网格背景下的直角三角形的变化过程，启发学生考虑用割补法求正方形的面积。

五、教学准备

教具：

多媒体课件

学具：

剪刀和边长分别为a、b的两个连体正方形纸片.

五、教学过程设计

1、创设问题情境

引言

前面我们共同学习了三角形以及等腰三角形的有关内容，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质。

研究特例是数学研究的方向，直角三角形是有一个角是直角的特殊三角形，它有哪些特殊的性质呢？

让我们一起研究吧！

【问题1】国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。

2002年在北京召开了的第24届国际数学家大会，如图就是本届大会会徽的图案.它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们。

（1）你见过这个图案吗？

（2）它由哪些我们学过的基本图形组成？

（3）这个图案有什么特别的含义？

师生活动：

教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形的全等关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义。

设计意图:

本节课是本章的开始，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

2、探究勾股定理

【问题2】看似平淡无奇的现象有时却隐含着深刻的数学道理。

相传在2500年以前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

（2）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

师生活动：

学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形。

得到结论：

正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积。

追问：

图中由这三个正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有怎样的特殊关系?

师生活动：

教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：

等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图:

从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）。

【问题3】在网格中的一般直角三角形图3，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？

（每个小方格的面积均为1）

师生活动：

分别求出A、B、C的面积，并寻找他们之间的关系。

追问：

正方形A、B、C所围直角三角形三边之间有怎样的特殊关系?

师生活动：

学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形的面积。

学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：

在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面。

教师在学生回答的基础上归纳方法----割补法。

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图:

网格中的直角三角形也是三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数。

进一步体会割补法，为探索无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法。

【问题4】通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？

教师通过课件展示引导学生得到猜想：

如果直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

设计意图:

在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成。

【问题5】以上直角三角形的边长都是具体的数值。

一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，如图所示，刚刚提出的猜想仍然正确吗？

师生活动：

学生学生独立思考，用a,b表示c的面积。

用“割”的方法可得c2=

ab×4+（a-b）2，用“补”的方法可得c2=（b+a）2-

ab×4。

经过整理都可以得到，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图:

从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论。

【问题6】历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究。

下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理。

师生活动：

教师指导学生阅读教材23-24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的.

（1）

（2）（3）

引导学生拼图的关键是：

构造以a、b为直角边的直角三角形。

鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程.

教师介绍图（3）是三国时期的赵爽注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图。

赵爽根据此图指出：

四个全等直角三角形（朱实）可以如图（3）围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄实）我们刚才用割的方法使用的就是这个图形。

教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究。

设计意图:

通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对勾股定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想。

通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明做出的贡献，增强民族自豪感。

通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心。

3、初步应用，巩固新知

例题：

求出下列直角三角形中未知边的长度.

设计意图:

在直角三角形，已知两边，求第三边。

应用勾股定理求解，也可建立方程，渗透方程思想。

练习1求下列图中字母所表示的正方形的面积，A,B的边长分别是多少？

设计意图:

学生应掌握三个正方形的面积关系，以及能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系。

练习2

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3,b=4,则c=。

（2）在Rt△ABC中，∠B=90°,若a=9,b=15,则c=。

设计意图:

明确勾股定理的应用必须在直角三角形中，是两直角边的平方和等于斜边的平方。

练习3如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？

设计意图:

利用转化思想，将实际问题转化为数学问题。

感受数学来源于生活，服务于生活。

4、回顾小结

教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理的内容是什么？

它有什么作用？

（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？

师生活动:

学生总结如下几方面：

数学知识：

勾股定理；勾股定理的简单计算

经历过程：

观察---归纳---猜想---验证

数学思想：

由特殊到一般思想，数形结合思想

设计意图:

让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容：

勾股定理的内容；验证勾股定理的方法；利用勾股定理已知两边，求第三边；能利用转化思想，将实际问题转化为数学问题。

在学习的过程中感受到中国数学文化及数学美，感悟数形结合思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。

5、布置作业

（1）课本24页练习，28页习题17.1第1题；

（2）阅读课本第30页“勾股定理”的证明；

（3）通过上网等方式查找勾股定理的史料、趣事及其他证明方法。

设计意图:

作业灵活多样，使不同的学生对勾股定理都有较好的理解从而培养他们对学好数学的自信。

板书设计：

17.1勾股定理

如果直角三角形两直角边长分别为a,b，

斜边长为c，那么a2+b2=c2

a2+b2=c2