高考数学复习三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义.docx

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高考数学复习三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义

第5讲　简单的三角恒等变换

第1课时　两角和、差及倍角公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）C（α∓β）：

cos（α∓β）＝cosαcosβ±sinαsinβ.

（2）S（α±β）：

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ.

（3）T（α±β）：

tan（α±β）＝.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）S2α：

sin2α＝2sinαcosα.

（2）C2α：

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

（3）T2α：

tan2α＝

.

3.公式的常用变形

（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）．

（2）cos2α＝，

sin2α＝.

（3）1±sin2α＝（sinα±cosα）2，

sinα±cosα＝sin.

（4）asinα＋bcosα＝sin（α＋φ），其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝（a≠0）．

1.概念辨析

（1）公式C（α±β），S（α±β），S2α，C2α中的角α，β是任意的．（　　）

（2）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．（　　）

（3）在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．（　　）

（4）公式tan（α＋β）＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），且对任意角α，β都成立．（　　）

（5）对任意角α都有1＋sin＝2.（　　）

答案　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

2.小题热身

（1）若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝（　　）

A.－B.C．－D.

答案　C

解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，

所以sinα＝－＝－，

所以sin＝sinαcos＋cosαsin

＝×＋×＝－.

（2）计算：

cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ＝（　　）

A.sin（α＋2β）B．sinα

C.cos（α＋2β）D．cosα

答案　D

解析　cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ＝cos[（α＋β）－β]＝cosα.

（3）已知cosx＝，则cos2x＝（　　）

A.－B.C．－D.

答案　D

解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.

（4）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan（α－β）的值为（　　）

A.0B.C.D.

答案　D

解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，

所以tan（α－β）＝＝＝，故选D.

题型　两角和、差及倍角公式的直接应用

1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P，则sin（α－β）＝________.

答案　－

解析　因为角α的终边与单位圆交于点P，

所以sinα＝，cosα＝.

因为角α与角β的终边关于y轴对称，

所以角β的终边与单位圆交于点Q，

所以sinβ＝，cosβ＝－，

所以sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.

2.（2018·全国卷Ⅱ）已知tan＝，则tanα＝________.

答案　

解析　tan＝＝＝，

解方程得tanα＝.

3.已知α∈，sinα＝，则cos的值为________．

答案　－

解析　因为α∈，sinα＝.

所以cosα＝－＝－.

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，

cos2α＝cos2α－sin2α＝，

所以cos＝coscos2α＋sinsin2α

＝－×＋×＝－.

应用三角公式化简求值的策略

（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：

“同名相乘，符号反”．

（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

（3）使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

1.（2018·石家庄质检）若sin（π－α）＝，且≤α≤π，则sin2α的值为（　　）

A.－B．－C.D.

答案　A

解析　∵sin（π－α）＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，

∴cosα＝－＝－，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

2.（2018·上饶三模）由射线y＝x（x≥0）按逆时针方向旋转到射线y＝－x（x≤0）的位置所成的角为θ，则cosθ＝（　　）

A.－B．±C．－D．±

答案　A

解析　设y＝x（x≥0）的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线y＝－x（x≤0）的倾斜角为β，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cos（β－α）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.

3.若sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则等于（　　）

A.5B．－1C．6D.

答案　A

解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，

cosαsinβ＝，∴＝5.

题型　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°

＝－sin47°（－cos17°）－cos47°sin17°

＝sin（47°－17°）＝sin30°＝.

2.（1＋tan18°）（1＋tan27°）的值是（　　）

A.B．1＋

C.2D．2（tan18°＋tan27°）

答案　C

解析　（1＋tan18°）（1＋tan27°）

＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°

＝1＋tan45°（1－tan18°tan27°）＋tan18°tan27°＝2.

3.已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.

答案　

解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.

条件探究1　将举例说明3的条件改为“sinα－cosα＝”，求cos4α.

解　因为sinα－cosα＝，

所以1－2sinαcosα＝，

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，

所以cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝－.

条件探究2　将举例说明3的条件改为“cos2＝，α∈（π，2π）”，求sinα＋cosα.

解　因为cos2＝

＝＝.所以sin2α＝>0，

又因为α∈（π，2π），所以α∈，

所以sinα＋cosα<0，

（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，

所以sinα＋cosα＝－.

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题

（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

（2）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

2．熟记三角函数公式的两类变式

（1）和差角公式变形

sinαsinβ＋cos（α＋β）＝cosαcosβ，

cosαsinβ＋sin（α－β）＝sinαcosβ，

tanα±tanβ＝tan（α±β）·（1∓tanαtanβ）．

（2）倍角公式变形

降幂公式cos2α＝，sin2α＝，

配方变形：

1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

1.若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.

2.（2019·湖南郴州质检）已知x∈（0，π），

sin＝cos2，则tanx＝（　　）

A.B．－2C.D.

答案　D

解析　因为sin＝cos2，

所以cosx－sinx＝，

cosx－sinx＝1－sinx，解得cosx＝，

因为x∈（0，π），所以sinx＝＝，

所以tanx＝＝＝.

3.化简：

·＝________.

答案　

解析　原式＝tan（90°－2α）·＝·

＝·＝.

题型　两角和、差及倍角公式的灵活应用

角度1　角的变换

1.（2018·南开区模拟）已知0<α＜<β<π，cos＝，sin（α＋β）＝.

（1）求sin2β的值；

（2）求cos的值．

解　

（1）sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.

（2）因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，

所以sin>0，cos（α＋β）<0，

因为cos＝，sin（α＋β）＝，

所以sin＝，cos（α＋β）＝－，

所以cos＝cos＝cos（α＋β）·cos＋sin（α＋β）sin＝×＋×＝.

角度2　函数名称的变换

2.求值：

（1）＝________；

（2）－sin10°＝________.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）＝

＝＝＝.

（2）原式＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－2cos10°＝

＝

＝＝＝.

三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路

（1）角的变换：

明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．

（2）名的变换：

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.

1.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于（　　）

A.B．－C.D．－

答案　C

解析　∵0<α<，∴<α＋<.

∵cos＝，∴sin＝.

∵－<β<0，∴<－<.

∵cos＝，∴sin＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.

2.（2018·吉林第三次调研）若sin＝，则cos2＝________.

答案　

解析　因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.

3.（2018·江苏高考）已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α＋β）＝－.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α－β）的值．

解　

（1）因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．

又因为cos（α＋β）＝－，

所以sin（α＋β）＝＝，因此tan（α＋β）＝－2.

因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，

因此，tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]

＝＝－.

思想方法　三角恒等变换中的拆角、凑角思想

[典例1]　（2018·石嘴山一模）已知α满足sinα＝，那么sinsin的值为（　　）

A．－B.C．－D.

答案　D

解析　∵sin＝sin＝cos，

∴sinsin＝sincos＝sin＝cos2α＝（1－2sin2α）＝＝.

[典例2]　若tanα＝，tan（α＋β）＝，则tanβ＝________.

答案　

解析　因为tanα＝，tan（α＋β）＝，

所以tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝.

方法指导　三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.