a=,3=，代入
（1）式即得⑵式•
22
证明：
（1）因为sin（a+3）=sinacos3+cosasin3,
sin（-a）=sinacoos^asin3,
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（a+3）+sin3）=2sinacos3,
即sinacos31[sin（a+3）+s3（）].a
2
（2）由
（1），可得sin（a+3）+s-3）=2sina3-
、日ze
设a+3=0-，3^=（那么a=3=
2'2
把a，的值代入①，
e+^p日
即得sin0+sin$=2cos
22
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程
中用到了换元的思想，如把a+看作0，-a看作0从而把包含a，的三角函数式变换成0，的三
角函数式.另外，把sinacos看作x，cosasin看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现•
讨论结果：
①a是旦的二倍角•
2
a.2a1-cosa
②sin=1-cos•
22
③④⑤略（见活动）•
（3）应用示例思路1
例1化简：
宀阮5
1+sinx+cosx
活动：
此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和
倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系
2XXX
2sin2sincos-
解源式=222
2XXX
2cos2sincos
222
X/•XX、
2sin（sincos）
222x
=tan
xfx.X\2
2cos（cossin）
222
点评：
本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系
变式训练化简:
sin50°+,3tan1Oc，l
1.3.
2（—cos10sinlO）
解:
原式=sin50°+-__—=sin50「■一22
coslO「cos10'
=2sin50gcos1°边30sin10
cos10
sin40sin80cos10
=2cos40•-=1.
cos10cos10cos10
33
例2已知sinx-cosx=,求sinX-cosX的值.
2
活动：
教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab（a-b）,a3-b3=（a-b）3+3ab（a-b）.解完此题后，教师引导学生深挖本
例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±osx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思
想.本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x-cos'x=（sinx-cosx）3+3sinxcosx（sinx-cosx）=.此方
16法往往适用于sin3xkos'x的化简问题之中.
121
解：
由sinx-cosx=，得（sinx-cosx）=,
24
二sin3x-cos'x=（sinx-cosx）（sin2x+sinxcosx+cos2x）
1311
（1+）=-
2
816
变式训练
亠1兀3兀
（2007年咼考浙江卷,12）已知sin0+cosF,=!
—，则cos2啲值是
524
答案：
-—
25
4典・4典4^・4f
cosAsinAcosBsinB
例1已知221求证:
一221.
cosBsinBcosAsinA
活动：
此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是
将A,B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A,B角的正、余弦，可
利用平方关系来减少函数的种类•从结构上看，已知条件是a2+b2=1的形式，可利用三角代换
44
证明一"cos^+s^/
2c・2^，
cosBsinB
42422
…cosA・sinB+sinA-cosB=sinB-cos+B.
.424222
--cosA（1-cosB）+sinA-cosB=（1-cosB）cosB，
424424
即cosA-cosB（cosA-sinA）=cosB-cosB.
4224
…cosA-2cosAcosB+cosB=0.
.,2222222
--（cosA-cosB）=0./•cosA=cosB./•sinA=sinB.
cosBsinB22
…2cosB+sinB=1.
cosAsinA
2K.2A
cosAsinA
证明一：
令cosa，=sina,
cosBsinB
则cos2a=cosBcosa，s2A=sinBsina.
两式相加，得1=cosBcosa+sinBsin即cos（B-a）=1.
•••B-a=2kn（kZ），即B=2kn+a（k€Z）.
•••cosa=cosB,sina=sinB.
2222
…cosA=cosBcosa=coB,sinA=sinBsina=sBi.
cos4Bsin4Bcos4Bsin4B22
2222=cosB+sinB=1.
cosAsinAcosBsinB
点评:
要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系
进行了合理消元.
变式训练
又A+B>90,•90°>A>90-B>0°.
•tanA>tan（90°-B）=cotB>0,
•tanAtanB>1.•S<1.
思路2
1sinx二x
例1证明=tan（+）.
cosx42
活动：
教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：
①左边t
右边；②右边t左边；③左边t中间条件J右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注
-，三角函数的种类为
2
意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
正切.
解：
方法一：
从右边入手，切化弦，得
cosx
（cos2s哙吨吨）
方法二：
从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幕,
cosx
（cos-sinx）（cos°—sin°）cos'—sin°
xe
cos，得
2
222222
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以
x兀x
1tantantan
242兀x
=tan（—+—）.
x兀X42
1-tan1-tantan
242
点评：
本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法变式训练
：
\22
已知a,0（0,—）且满足：
3sina+2sin3=1,3sin2-2sin23=求a+2的值.
2
解法一：
3sin2a+2sin3=U3sin2a=12sin23即3sin2a=cos23,①
3sin2
asin2
3=0
—
3sinacos
a=sin23,
②
①2+②2：
9sin4
a+9sinacoSa=1即9sin2a
22
（Sina+cosa）=1,
.・2
1
兀1
••sin
a二—T
■a0（0,）,•sina—.
9
23
•sin（
a+23
）=sinacos23+cosasin2
3=siraaco3sin•3sin
acosa=3sincos（s）A:
3
1Y=1.
3
71
3兀
31
Ta,
0（0,—
）,--a+20（0,）.--a+2
-3"—.
2
2
2
解法二：
3sin2a+2sin3=挡cos23=1sin23=3sin%.
3
3sin2asin23=0sin23=sin2a=3sinacosa,
2
•••cos（a+23）=cosacosdrpasin23=cosa・3sO;ina・3sinacosa=0.
n3兀n
-a,0（0,—）,•-a+23（0,）.•a+23=.
222
解法三:
由已知3sin2a=cos2仔,in2a=sin23,2
两式相除，得tana=cot2俟,tana=tan^-23）
2
..厂兀n
•%€（0,）,「.tana>0・.tan（-23）>0.
22
.,kJinn
又•3€（0,—）,•••<_-23<.
2222
结合tan（-23>0,得0<-23<.
222
tTEJI3T
•••由tana=tan—-23得a=-23即a+23=.
tan2:
tan2:
-
222
例2求证:
Sin（aJSin［」）sinacosP
活动：
证明三角恒等式，一般要遵循由繁到简”的原则，另外化弦为切”与化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
（sincos：
costsin:
）（sin-：
：
cos：
—cosjsin:
）证明：
证法一：
左边=
sin2acos2P
sin4v（1-cos4v）2sin2vcos2v2sin2v2sin2v（cos2sin2v）
=2===tan2
sin4v（1cos4v）2sin2vcos2v2cos22^2cos2v（sin2cos2v）
r右边••••上式成立，即原等式得证•
”亠、1+m
2.已知sin3=m-sin（2求证0tan（a+tana.
1-m
分析：
仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2a+可
化为结论式中的a+3与a的和，不妨将a+作为一整体来处理.
证明：
由sin3=msin（2a+3）sin[（a+-a）]=msin[（a+3）+a]
二sin（a+3）cossaa+3）sin0[siFima+3）cosa+cos（an3（）sim）・asin（a+3）cosa=（1+m）•cos（a+3）sina
1+m
=■tan（a+3~）=tana.
1-m
（四）知能训练
1.若sin
5a
a=,a在第二象限,则tan的值为（
132
3
3.已知sin0=,3
5
解答：
1.A2.D3.-3
（五）课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识：
和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结：
本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的
基本手段.
（六）作业
风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。
运动太多和太少，同样的损伤
体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。
秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月
极美，在于它必然的流逝。
春花、秋月、夏日、冬雪。
你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。
你本是尘土，仍要归于尘土。
我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得
更朴素。
在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。
世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树
忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索年轻的你只如云影掠过而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚遂翻开那发黄的扉页命运将它装订得极为拙劣含着泪我一读再读却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。
我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。
尽管心很累很疲倦我却没有理由后退或滞留在过去与未来之间
三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。
这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；
这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。
我有所感事，结在深深肠。
你一定要“离开”才能开展你自己。
所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。
心之所向素履以往生如逆旅一个人的行走范围，就是他的世界。
因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。
刻意去找的东西，往往是找不到的。
天下万物的来和去，都有他的时间。
与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。
曾经沧海难为水，除却巫山不是云。
回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。
半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。
风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。
心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。
东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。
如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。
不乱于心，不困于情。
不畏将来，不念过往。
如此，安好。
笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。
一辈子，不说后悔，不诉离伤。
上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。
跟着你，在哪里，做什么，都好。
眠。
我倾尽一生，囚你无期。
择一人深爱，等一人终老。
痴一人情深，留一世繁华。
断一根琴弦，歌一曲离别。
我背弃一切，共度朝夕。
人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。
路过的已经路过，留下的且当珍惜我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。
我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！
每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。
每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。
那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。
如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。
黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。
因为有了因为，所以有了所以。
既然已成既然，何必再说何必。
想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。
你受的苦，会照亮你的路。
我希望有个如你一般的人。
如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。
由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。
我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路
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