平行四边形专题.docx

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平行四边形专题

第18章平行四边形专项训练

专训1:

平行四边形的性质

1、（2014宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B'处，AB和CD相交于点O.求证：

OAOC

2、（2015•南通中考）如图，在一ABC呼，点E,F分别在AB,DC上，且EDLDB,FBIBD•⑴求证：

△AED^ACFB.

（2）若/A=30°，ZDEB=45°,求证：

DA=DF.

专训1.判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程.

如图，在?

ABCD中，E，F分别为ADBC上的点，且BF=DE连接AF，CEBE,DF,AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点.求证：

四边形FMEF为平行四边形.

I）

2.

如图，已知△ABD△BCE△ACF都是等边三角形.求证：

四边形ADEF是平行四边形.

已知：

如图，在四边形ABCDKAB//CDE,求证：

四边形ABC助平行四边形.

形BFDE是平行四边形吗？

请说明理由.

AGHDT积相等的所有平行四边形（四边形AGH陈外）.

5•如图①，？

ABC呼，点O是对角线AC的中点，EF过点O,与ADBC分别相交于点E,F,GH过点O,与ABCD分别相交于点GH,连接EGFQFH,EH.⑴求证：

四边形EGFH是平行四边形；⑵如图②,若EF//ABGH/BC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形

D

D

（2015遂宁）如图,

6、

平行四边形ABC冲，点E，F在对角线BD上，且BE=DF求证:

四边形AECF是平行四边形.

7、如图，以厶ABC勺三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即厶ABD△BCEAACF请回答下列问题，并说明理由

（1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；

（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在

8、如图，在口ABCD中，E,F,G,H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH，连接EF，GH.求证：

EF与GH互相平分

专训2.构造中位线的方法

名师点金：

三角形的中位线具有两方面的性质：

一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系.因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.

连接两点构造三角形的中位线

1如图，四边形ABC冲，E、F、GH分别是ABCDACBD的中点，那么四边形GEH!

是平行四边形，为什么？

3、已知：

如图，四边形ABCC四条边上的中点分别为E、F、GH,顺次连接EF、FGGHHE,得到四边形EFGH（即四边形ABCD勺中点四边形）.

（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；

（2）当四边形ABCD勺对角线满足件时，四边形EFGH是矩形；

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？

.

4、如图，点B为AC上一点，分别以ABBC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形

5、（2015广州）如图，四边形ABCD中,/A=90°,AB=3■,AD=3点MN分别为线段BC,AB上的动

点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DMMN的中点，贝UEF长度的最大值为

利用角平分线+垂直构造中位线

6.如图,在厶ABC中，点M为BC的中点,AD^^ABC的外角平分线,且AD丄BD若A吐12,

AO18,求DM的长.

7.如图,在厶ABC中,已知A吐6,AO10,AD平分/BAC,BDLAD于点D,点E为BC的中

倍长法构造三角形的中位线

8.如图,在厶ABC中,/ABG90°,B心BC,△BEF为等腰直角三角形,/BEM90°,M

1

为AF的中点,求证：

ME=2CF

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

9.已知：

如图,在四边形ABCD中,AD=BCMN分别是ABCD的中点,ADBC的延长线交MNTE、F.求证：

/DEN=/F.

10.如图，在四边形ABC冲，MN分别是ADBC的中点，若AB=10,CD=8,求MN长度的取值范围.

11.如图，在△ABC中,ZC=90°,CA=CBE,别为AF,BE的中点，求证：

AE=/2MN.

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

12.如图，在△ABC中,A吐AC,ADLBC于点D,点P是AD的中点，延长BP交AC于点N,

1

求证：

AN=3AC.

答案

专训1

1.证明：

•••四边形ABCD1平行四边形，DE=BF,aDE綊BF.二四边形BFDE为平行四边形.•••BE//DF.同理，AF//CE.A四边形FMEF为平行四边形.

2.证明：

ABD△BCE△ACF都是等边三角形，

•••BQBDBOBE,/DBA^ZEBG=60°.:

丄EBG-/EBA^ZDB/VZEBA

•••/ABGZDBE「.AABC^ADBE「.AF=AODE同理，可证△ABC^AFEQ

•••AD=A吐EF.二四边形ADEF是平行四边形.

3.证明：

tAB//CD•••/BAE=ZDCF.vBE//DF,/-ZBEF=ZDFE.

•••ZAEB=ZCFD.ftAAEB?

3CFD中,

ZBAE=ZDCF

AE=CF,AEB^ACFD•/AB=CD.又vAB//CD•/四边ABCD是平行四形.

ZAEB=ZCFD

4.解：

四边形BFDE是平行四边形.理由：

在？

ABC冲,ZABC=ZCDAZA=ZC.

11

vBE平分ZABCDF平分ZADC/ZABE=ZCBE=壬ABCZCDF=ZADF=qZADC./ZABE=ZCBE=ZCDF=ZADF.vZDFB=ZC+ZCDFZBED=ZABE^ZA,/ZDFB=ZBED/.四边形BFDE是平行四边形.

5.⑴证明：

v四边形ABCD是平行四边形,/AD//BC,OA=OC/ZEA3ZFCO.

ZEA3ZFCO

在厶OAE与△OCF中,OA=OC/△OAE^AOCF/OE=OF.同理O&OH

ZAO吕ZCOF

/四边形EGFH是平行四边形.

（2）解：

与四边形AGHDT积相等的平行四边形有？

GBCH?

ABFE?

EFCD?

EGFH.

专训2

11

1.

（1）证明：

如图,连接CDAE.由三角形中位线定理可得PM綊qCDPN綊qAE.vAABD和厶BCE是等边三角形,/AB=DB,BE=BC,ZABD=ZCBE=60°,/ZABE=ZDBC./A

ABE^ADBC/AE=DC./PWPN.

（2）解：

如图,设PM交AE于F,PN交CD于GAE交CD于H.由

（1）知厶ABE^ADBC/ZBAE=ZBDC./ZAHD=ZABB60°,/ZFHG=120°.易证四边形PFHG为平行四边形,

/ZMPN=120°

2.解：

如图，延长BDCA交于N.在厶ANDHRAABD中,ZNAD=ZBAD

AD=AD/△AND^AABDASA.

ZADN=ZADB=90°,

/DN=DBAN=AB./DM=^NC^|（AN+AC）=|（ab+AC）=15.

3.解：

如图,延长BD交AC于点F,vAD平分ZBAC

•••/BAD=ZCAD.vBD丄AD,/-ZADB=ZADF,

又•••AD=AD,ADB^AADFASA.•/AF=A吐6,BD=FD.

AN.

90°

BF=BN,

•••/CB1ABN2BCF?

3BAN中,

ZCBF=ZABNBOBA

1BCF^ABAN./CF=AN./ME^-AN^-CF.

22

5.解：

如图,取BD的中点P,连接PM,PN.

A

•••M是AD的中点,P是BD的中点，•/PM®AABD的中位线,

11

/PM=尹吐5.同理可得PN=2CD=4.在^PM中,tPM-PN

1R

6.证明：

如图,取AB的中点H,连接MHNH则M*尹F,NH='》AE.

tCE=CF,CA=CB/AE=BF./MHkNH.v点M,H,N分别为AF,ABBE的中点,

/MH/BF,NH//AE./ZAHIVkZABCZBHN=ZBAC.

/ZMH比180°—（ZAHM-ZBHN>180°—（ZABC^ZBAC>90°.

/NH^-^MN./AE=2NH=2X^MN=/2MN.

7.证明：

如图,取NC的中点H,连接DH过点H作HE//AD交BN的延长线于E.tAB=AC,ADLBC,/D为BC的中点.

又tH为NC的中点,/DH//BN.又tPD//EH/四边形PDHE是平行四边形./HE=PD.又tP为AD的中点,/A吐PD./A吐EH

易证△APN^AHEN二AN=NH..

AN=NH=HC.AN=3AC.