全国大学生数学建模竞赛题.docx
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全国大学生数学建模竞赛题
2001年全国大学生数学建模竞赛题目
A题血管的三维重建
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1mm的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
为简化起见，假设：
管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为
（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），
（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），
……
（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上下载。
关于BMP图象格式可参考：
1.《VisualC++数字图象处理》第12页2.3.1节。
何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。
2.http:
//www.dcs.ed.ac.uk/home/mxr/gfx/2d/BMP.txt
B题公交车调度
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
（第1页完）
A题示意图（第2页）
B题数据（第3-4页）：
某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表上行方向：
A13开往A0
站名
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
站间距（公里）
1.6
0.5
1
0.73
2.04
1.26
2.29
1
1.2
0.4
1
1.03
0.53
5:
00-6:
00
上
371
60
52
43
76
90
48
83
85
26
45
45
11
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下
0
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13
20
48
45
81
32
18
24
25
85
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6:
00-7:
00
上
1990
376
333
256
589
594
315
622
510
176
308
307
68
0
下
0
99
105
164
239
588
542
800
407
208
300
288
921
615
7:
00-8:
00
上
3626
634
528
447
948
868
523
958
904
259
465
454
99
0
下
0
205
227
272
461
1058
1097
1793
801
469
560
636
1871
1459
8:
00-9:
00
上
2064
322
305
235
477
549
271
486
439
157
275
234
60
0
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300
634
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440
245
339
408
1132
759
9:
00-10:
00
上
1186
205
166
147
281
304
172
324
267
78
143
162
36
0
下
0
81
75
120
181
407
411
551
250
136
187
233
774
483
10:
00-11:
00
上
923
151
120
108
215
214
119
212
201
75
123
112
26
0
下
0
52
55
81
136
299
280
442
178
105
153
167
532
385
11:
00-12:
00
上
957
181
157
133
254
264
135
253
260
74
138
117
30
0
下
0
54
58
84
131
321
291
420
196
119
159
153
534
340
12:
00-13:
00
上
873
141
140
108
215
204
129
232
221
65
103
112
26
0
下
0
46
49
71
111
263
256
389
164
111
134
148
488
333
13:
00-14:
00
上
779
141
103
84
186
185
103
211
173
66
108
97
23
0
下
0
39
41
70
103
221
197
297
137
85
113
116
384
263
14:
00-15:
00
上
625
104
108
82
162
180
90
185
170
49
75
85
20
0
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0
36
39
47
78
189
176
339
139
80
97
120
383
239
15:
00-16:
00
上
635
124
98
82
152
180
80
185
150
49
85
85
20
0
下
0
36
39
57
88
209
196
339
129
80
107
110
353
229
16:
00-17:
00
上
1493
299
240
199
396
404
210
428
390
120
208
197
49
0
下
0
80
85
135
194
450
441
731
335
157
255
251
800
557
17:
00-18:
00
上
2011
379
311
230
497
479
296
586
508
140
250
259
61
0
下
0
110
118
171
257
694
573
957
390
253
293
378
1228
793
18:
00-19:
00
上
691
124
107
89
167
165
108
201
194
53
93
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0
下
0
45
48
80
108
237
231
390
150
89
131
125
428
336
19:
00-20:
00
上
350
64
55
46
91
85
50
88
89
27
48
47
11
0
下
0
22
23
34
63
116
108
196
83
48
64
66
204
139
20:
00-21:
00
上
304
50
43
36
72
75
40
77
60
22
38
37
9
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下
0
16
17
24
38
80
84
143
59
34
46
47
160
117
21:
00-22:
00
上
209
37
32
26
53
55
29
47
52
16
28
27
6
0
下
0
14
14
21
33
78
63
125
62
30
40
41
128
92
22:
00-23:
00
上
19
3
3
2
5
5
3
5
5
1
3
2
1
0
下
0
3
3
5
8
18
17
27
12
7
9
9
32
21
某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表下行方向：
A0开往A13
站名
A0
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
站间距（公里）
1.56
1
0.44
1.2
0.97
2.29
1.3
2
0.73
1
0.5
1.62
5:
00-6:
00
上
22
3
4
2
4
4
3
3
3
1
1
0
0
下
0
2
1
1
6
7
7
5
3
4
2
3
9
6:
00-7:
00
上
795
143
167
84
151
188
109
137
130
45
53
16
0
下
0
70
40
40
184
205
195
147
93
109
75
108
271
7:
00-8:
00
上
2328
380
427
224
420
455
272
343
331
126
138
45
0
下
0
294
156
157
710
780
849
545
374
444
265
373
958
8:
00-9:
00
上
2706
374
492
224
404
532
333
345
354
120
153
46
0
下
0
266
158
149
756
827
856
529
367
428
237
376
1167
9:
00-10:
00
上
1556
204
274
125
235
308
162
203
198
76
99
27
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下
0
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100
80
410
511
498
336
199
276
136
219
556
10:
00-11:
00
上
902
147
183
82
155
206
120
150
143
50
59
18
0
下
0
103
59
59
246
346
320
191
147
185
96
154
438
11:
00-12:
00
上
847
130
132
67
127
150
108
104
107
41
48
15
0
下
0
94
48
48
199
238
256
175
122
143
68
128
346
12:
00-13:
00
上
706
90
118
66
105
144
92
95
88
34
40
12
0
下
0
70
40
40
174
215
205
127
103
119
65
98
261
13:
00-14:
00
上
770
97
126
59
102
133
97
102
104
36
43
13
0
下
0
75
43
43
166
210
209
136
90
127
60
115
309
14:
00-15:
00
上
839
133
156
69
130
165
101
118
120
42
49
15
0
下
0
84
48
48
219
238
246
155
112
153
78
118
346
15:
00-16:
00
上
1110
170
189
79
169
194
141
152
166
54
64
19
0
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0
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73
63
253
307
341
215
136
167
102
144
425
16:
00-17:
00
上
1837
260
330
146
305
404
229
277
253
95
122
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0
下
0
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459
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549
401
266
304
162
269
784
17:
00-18:
00
上
3020
474
587
248
468
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157
205
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0
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0
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934
1016
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00-19:
00
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1966
350
399
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289
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635
787
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1010
19:
00-20:
00
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00
上
636
110
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56
105
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107
123
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101
290
22:
00-23:
00
上
294
43
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24
46
58
35
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5
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下
0
35
20
20
87
108
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69
47
60
33
49
136
（AB题题目完）
C题基金使用计划
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1．只存款不购国库券；
2．可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%）
国库券年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
2.55
三年期
2.160
2.89
五年期
2.304
3.14
D题公交车调度
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
D题数据（第3-4页）：
某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表上行方向：
A13开往A0
站名
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
站间距（公里）
1.6
0.5
1
0.73
2.04
1.26
2.29
1
1.2
0.4
1
1.03
0.53
5:
00-6:
00
上
371
60
52
43
76
90
48
83
85
26
45
45
11
0
下
0
8
9
13
20
48
45
81
32
18
24
25
85
57
6:
00-7:
00
上
1990
376
333
256
589
594
315
622
510
176
308
307
68
0
下
0
99
105
164
239
588
542
800
407
208
300
288
921
615
7:
00-8:
00
上
3626
634
528
447
948
868
523
958
904
259
465
454
99
0
下
0
205
227
272
461
1058
1097
1793
801
469
560
636
1871
1459
8:
00-9:
00
上
2064
322
305
235
477
549
271
486
439
157
275
234
60
0
下
0
106
123
169
300
634
621
971
440
245
339
408
1132
759
9:
00-10:
00
上
1186
205
166
147
281
304
172
324
267
78
143
162
36
0
下
0
81
75
120
181
407
411
551
250
136
187
233
774
483
10:
00-11:
00
上
923
151
120
108
215
214
119
212
201
75
123
112
26
0
下
0
52
55
81
136
299
280
442
178
105
153
167
532
385
11:
00-12:
00
上
957
181
157
133
254
264
135
253
260
74
138
117
30
0
下
0
54
58
84
131
321
291
420
196
119
159
153
534
340
12:
00-13:
00
上
873
141
140
108
215
204
129
232
221
65
103
112
26
0
下
0
46
49
71
111
263
256
389
164
111
134
148
488
333
13:
00-14:
00
上
779
141
103
84
186
185
103
211
173
66
108
97
23
0
下
0
39
41
70
103
221
197
297
137
85
113
116
384
263
14:
00-15:
00
上
625
104
108
82
162
180
90
185
170
49
75
85
20
0
下
0
36
39
47
78
189
176
339
139
80
97
120
383
239
15:
00-16:
00
上
635
124
98
82
152
180
80
185
150
49
85
85
20
0
下
0
36
39
57
88
209
196
339
129
80
107
110
353
229
16:
00-17:
00
上
1493
299
240
199
396
404
210
428
390
120
208
197
49
0
下
0
80
85
135
194
450
441
731
335
157
255
251
800
557
17:
00-18:
00
上
2011
379
311
230
497
479
296
586
508
140
250
259
61
0
下
0
110
118
171
257
694
573
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