最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2.docx
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最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2
自我小测
2.4.1等比数列
（一）
夯基达标
1.已知等比数列{an},a4＝7,a6＝21,则a8等于（）
A.35B.63C.
D.
2.一个各项均为正数的等比数列,每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q等于（）
A.
B.
C.
D.
3.等比数列{an}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31,a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62,则通项是（）
A.2n－1B.2nC.2n＋1D.2n－2
4.已知等比数列{an}中,a3＋a5＝18,a9＋a11＝144,则a6＋a8＝______________.
5.在7和56之间插入a,b两数,使7,a,b,56成等差数列,插入c,d两数,使7,c,d,56成等比数列,则a＋b＋c＋d＝______________.
能力提升
6.已知等比数列{an}中,有a3a11＝4a7,数列{bn}是等差数列,且b7＝a7,则b5＋b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
7.（2008山东潍坊模拟）已知f（1,1）＝1,f（m,n）∈N*且对任意m,n∈N*都有①f（m,n＋1）＝f（m,n）＋2;②f（m＋1,1）＝2f（m,1）.则f（2007,2008）的值为（）
A.22006＋2007B.22007＋2007
C.22006＋4014D.22007＋4014
8.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.
9.已知数列{an}是各项为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列,又
n＝1,2,3,….证明:
{bn}成等比数列.
则（a1＋d）2＝a1（a1＋3d）.
∴d2＝a1d.
∴d（d－a1）＝0.
当d＝0时,{an}为常数列,{bn}也为常数列,
此时{bn}是首项为正数,公比为1的等比数列.
当d＝a1≠0时,
∴
（常数）.
这时{bn}是首项为
公比为
的等比数列.
综上知{bn}是等比数列.
10.在数列{an}中,a1＝2,an＋1＝an＋cn（c是常数,n＝1,2,3,…）,且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
（1）求c的值;
（2）求{an}的通项公式.
拓展探究
11.我们在洗一件衣物时,假设每次都用相同体积的清水,每次能洗去污垢的
现要求衣物上存留的污垢在1%以下,那么我们应该至少洗几次?
参考答案
1解析:
∵a6＝a4q2,∴
.
∴a8＝a6q2＝21×3＝63.
答案：
B
2解析:
由题意有an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2,而an≠0,
∴q2＋q－1＝0.
∴
.
而an＞0,∴q＞0.
∴
.
答案：
C
3解析:
由于
∴等比数列{an}的公比为2.
将q＝2代入a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31,得a1（1＋q＋q2＋q3＋q4）＝31.
∴a1＝1.
∴an＝2n－1.
答案：
A
4解析:
∵（a3＋a5）·q6＝a9＋a11,
∴
.
又∵
.
答案:
5解析:
∵7,a,b,56成等差数列,
∴a＋b＝7＋56＝63.
∵7,c,d,56成等比数列,
∴公比
.
∴q＝2.
∴c＝14,d＝28.
∴c＋d＝42.
∴a＋b＋c＋d＝105.
答案：
105
6解析:
设{an}的公比为q,由a3a11＝4a7及数列{an}是等比数列得a3a11＝a1q2·a1q10＝（a1q6）2＝a72＝4a7,
所以a7＝4,即b7＝a7＝4.
因为数列{bn}为等差数列,
所以b5＋b9＝2b7＝8.
答案:
C
7解析:
由题意知f（2007,2008）＝f（2007,1）＋2×2007＝f（1,1）×22006＋2×2007＝22006＋4014.故选C.
答案:
C
8解:
三个数适当排列,不同的排列方法有6种,但这里不必分成6种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项,则只有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解好问题的关键.
由已知,可设这三个数为a－d,a,a＋d,
则a－d＋a＋a＋d＝6,
∴a＝2.
这三个数可表示为2－d,2,2＋d,
（1）若2－d为等比中项,
则有（2－d）2＝2（2＋d）.
解之,得d＝6或d＝0（舍去）.此时三个数为－4,2,8.
（2）若2＋d是等比中项,
则有（2＋d）2＝2（2－d）.
解之,得d＝－6或d＝0（舍去）.此时三个数为8,2,－4.
（3）若2为等比中项,
则22＝（2＋d）·（2－d）,
∴d＝0（舍去）.
综上可求得此三数为－4,2,8.
9证明:
∵lga1、lga2、lga4成等差数列,
∴2lga2＝lga1＋lga4.
∴a22＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d,
10解:
（1）a1＝2,a2＝2＋c,a3＝2＋3c,
因为a1,a2,a3成等比数列,
所以（2＋c）2＝2（2＋3c）.
解得c＝0或c＝2.
当c＝0时,a1＝a2＝a3,不符合题意,舍去,故c＝2.
（2）因为a2－a1＝c,a3－a2＝2c,…,
an－an－1＝（n－1）c,
所以
.
又a1＝2,c＝2,故an＝2＋n（n－1）＝n2－n＋2（n＝2,3,…）.
当n＝1时,上式也成立,所以an＝n2－n＋2（n＝1,2,…）.
11解：
可以设衣物上原有的污垢为整体1,则洗1次后存留的污垢为
洗2次后存留的污垢为
洗3次后为
…,每次洗后与上次洗后的比都为同一个常数
所以每次洗后存留下的污垢的数量就构成了一个等比数列,由此我们可以得出洗n次后存留的污垢为
.要想满足要求,需
＜1%,则n＞3.故应至少洗4次,存留的污垢才能在1%以下.
2.4.2等比数列
（二）
夯基达标
1.在等比数列{an}中,a3·a4·a5＝3,a6·a7·a8＝24,则a9·a10·a11的值等于（）
A.48B.72C.144D.192
2.如果－1，a,b,c,－9成等比数列，那么（）
A.b＝3,ac＝9B.b＝－3,ac＝9
C.b＝3,ac＝－9D.b＝－3,ac＝－9
3.已知等比数列{an}各项均为正数,且a1,
a2成等差数列,则
等于（）
A.
B.
C.
D.
4.若在20,50,100三个数上各加同一个常数,使它们构成一个等比数列,则数列的公比是（）
A.
B.
C.
D.
5.若{an}是等比数列,a4·a7＝－512,a3＋a8＝124,且公比q为整数,则a10＝_____________.
6.（2009山东青岛模拟）已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3－a72＋2a11＝0,数列{bn}是等比数列,且b7＝a7,则b6b8等于（）
A.2B.4C.8D.16
能力提升
7.等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则
__________.
8.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,其公比q≠1,且bi＞0（i＝1,2,3,…）,若a1＝b1,a11＝b11,则（）
A.a6＝b6B.a6＞b6
C.a6＜b6D.a6＞b6或a6＜b6
9.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍.那么该单位此年的月平均增长率是______________.
10.已知等比数列的前3项和为168,a2－a5＝42,求a5,a7的等比中项.
11.某国银行A提供每月支付一次年利率为7%的复利存款业务,而银行B提供每天支付一次年利率为6.9%的复利存款业务,问哪种效益好?
拓展探究
12.在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,
…成等比数列，求数列{kn}的通项.
参考答案
1解析：
由等比数列的性质，知（a6·a7·a8）2＝（a3·a4·a5）·（a9·a10·a11）,
∴
.
答案：
D
2解析：
∵b2＝（－1）×（－9）＝9,
∴b＝±3.
又b＜0,∴b＝－3.
ac＝（－1）×（－9）＝9.
答案：
B
3解析:
由题意得a3＝a1＋a2,即a1q2＝a1＋a1q,
∴q2＝1＋q.
∵q＞0,
∴
.
∴
.
答案:
B
4解析:
设在20,50,100三个数上同加一个x,由题目已知可得（50＋x）2＝（20＋x）·（100＋x）.
解之，得x＝25.
故成等比数列的三个数为20＋25,50＋25,100＋25,公比为
.
答案:
B
5解析:
由a3·a8＝a4·a7＝－512,
联立
∴
∴q＝－2或
（舍）.
∴a10＝a8·q2＝128×（－2）2＝512.
答案:
512
6解析:
由题意知{an}为等差数列,a3＋a11＝2a7,
∴4a7－a72＝0,
则a7＝4,a7＝0（舍）.
∴b7＝4,
则b6b8＝b72＝16.
答案:
D
7解析:
在等差数列中,有a3＋a9＝2a6,a4＋a10＝2a7,
∴
.
∵a1,a3,a9成等比数列,
∴（a1＋2d）2＝a1（a1＋8d）.
∴a1＝d.
∴a6＝6a1,a7＝7a1.
∴所求的值为
.
答案:
8解析:
如图,在同一坐标系中,分别作出{an}和{bn}对应函数的图象,由图可知a6＞b6.
故选B.
答案:
B
9解析:
由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需利用
所以月平均增长率为
.
答案:
10思路分析:
利用已知条件,列出关于首项a1和公比q的方程组,求出a1和q后,问题便得以解决.
解：
设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得
即
∵1－q3＝（1－q）（1＋q＋q2）,
∴由①②可得
.
∴
.
此时
.
若G是a5,a7的等比中项,则应有
.
∴a5,a7的等比中项是±3.
11解:
在年利率为r的前提下,所谓“每月支付一次”,也就是按月利率
每月付息;“每天支付一次”,也就是按日利率
每日付息,
故有在A银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为
所以年有效收益为7.23%.
而在B银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为
.
所以年有效收益为7.14%.
比较两银行提供的年有效收益,可见银行A提供的投资行为效益更好.
12解：
依题设得an＝a1＋（n－1）d,a22＝a1a4,
∴（a1＋d）2＝a1（a1＋3d）,
整理,得d2＝a1d.
∵d≠0,
∴d＝a1.
∴an＝nd.
∴由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列.
由d≠0,
∴数列1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列，首项为1，公比为
由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9,公比q＝3,
∴kn＝9×qn－1＝3n＋1（n＝1,2,3,…）,
即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.
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