151 绝对值不等式.docx

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151绝对值不等式

编制人

审核人

高三数学组

主讲人

课题

班级

高三班

课型

高考复习课

讲学时间

日期

15.1绝对值不等式讲读设计

教学目标：

1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）．

|a－b|≤|a－c|＋|c－b|（a，b∈R）．

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；

|x－c|＋|x－b|≥a.

教学重点：

解决含有绝对值不等式的简单问题．

教学难点：

解决含有绝对值不等式的简单问题．

教学过程：

一、预补反馈

1．设a，b为满足ab<0的实数，那么（　　）

A．|a＋b|>|a－b|

B．|a＋b|<|a－b|

C．|a－b|＜

D．|a－b|<|a|＋|b|

解析：

选B　∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.

2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为（　　）

A．（0,2）

B．（－2,0）∪（2,4）

C．（－4,0）

D．（－4，－2）∪（0,2）

解析：

选D　原不等式等价于1＜x＋1＜3或

－3＜x＋1＜－1，

∴0＜x＜2或－4＜x＜－2，

∴原不等式的解集为（－4，－2）∪（0,2），故选D.

3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．

解析：

f（x）＝|x＋1|－|x－2|＝

当－1

由2x－1≥1，

解得1≤x<2.

又当x≥2时，

f（x）＝3>1恒成立．

所以不等式的解集为.

答案：

4．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－（x－1）|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，

可使|a－1|≤3，

∴－3≤a－1≤3，

∴－2≤a≤4.

答案：

[－2,4]

二、教学目标明确考纲要求

1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）．

|a－b|≤|a－c|＋|c－b|（a，b∈R）．

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；

|x－c|＋|x－b|≥a.

三、自学与探究

（一）自学提示整合教材知识，落实基本能力

1．绝对值三角不等式

定理1：

如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：

如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：

不等式

a＞0

a＝0

a＜0

|x|＜a

{x|－a＜x＜a}

∅

∅

|x|＞a

{x|x＞a或x＜－a}

{x∈R|x≠0}

R

（2）|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解．

②利用零点分段法求解．

③构造函数，利用函数的图象求解．

（2）探究提升精研高考题点，提升备考智能

绝对值不等式的解法

[典例]　解下列不等式：

（1）|2x＋1|－2|x－1|＞0.

（2）|x＋3|－|2x－1|＜＋1.

[解]　

（1）法一：

原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，

两边平方得4x2＋4x＋1＞4（x2－2x＋1），解得x＞，

所以原不等式的解集为

法二：

原不等式等价于

或或

解得x＞，所以原不等式的解集为.

（2）①当x＜－3时，

原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜＋1，

解得x＜10，∴x＜－3.

②当－3≤x＜时，

原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜＋1，

解得x＜－，∴－3≤x＜－.

③当x≥时，

原不等式化为（x＋3）＋（1－2x）＜＋1，

解得x＞2，∴x＞2.

综上可知，原不等式的解集为.

[方法指导]

含绝对值不等式的常用解法

（1）基本性质法：

对a∈R＋，|x|

|x|>a⇔x<－a或x>a.

（2）平方法：

两边平方去掉绝对值符号．

（3）零点分区间法（或叫定义法）：

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．　　

[变式训练]

1．若不等式|x－a|＋3x≤0（其中a>0）的解集为，求实数a的值．

解：

不等式|x－a|＋3x≤0等价于或即或

因为a>0，所以不等式组的解集为.

由题设可得－＝－1，故a＝2.

2．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.

解：

当x>时，原不等式转化为4x≤6⇒

当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；

当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒－≤x<－.

综上知，原不等式的解集为.

绝对值不等式的证明

[典例]　（2016·河北唐山模拟）设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.

（1）证明：

＜；

（2）比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

[解]　

（1）证明：

记f（x）＝|x－1|－|x＋2|

＝

由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，

则M＝.

所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.

（2）由

（1）得a2＜，b2＜.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2

＝（1－8ab＋16a2b2）－4（a2－2ab＋b2）

＝（4a2－1）（4b2－1）＞0，

所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，

故|1－4ab|＞2|a－b|.

[方法指导]

绝对值不等式证明的三种主要方法

（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．

（2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．

（3）转化为函数问题，数形结合进行证明．　　

[变式训练]

已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，

求证：

|x＋5y|≤1.

证明：

∵|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|.

∴由绝对值不等式的性质，得

|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|

＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.

即|x＋5y|≤1.

绝对值不等式的综合应用

[典例]　设函数f（x）＝x＋|x－a|.

（1）当a＝2016时，求函数f（x）的值域；

（2）若g（x）＝|x＋1|，求不等式g（x）－2＞x－f（x）恒成立时a的取值范围．

[解]　

（1）由题意得，当a＝2016时，

f（x）＝

因为f（x）在[2016，＋∞）上单调递增，所以f（x）的值域为[2016，＋∞）．

（2）由g（x）＝|x＋1|，不等式g（x）－2＞x－f（x）恒成立，知|x＋1|＋|x－a|＞2恒成立，

即（|x＋1|＋|x－a|）min＞2.

而|x＋1|＋|x－a|≥|（x＋1）－（x－a）|＝|1＋a|，

所以|1＋a|＞2，解得a＞1或a＜－3.

故a的取值范围为（－∞，－3）∪（1，＋∞）．

　[方法指导]

绝对值不等式的恒成立问题

（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．

（2）f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a.

f（x）＞a恒成立⇔f（x）min＞a.　

[变式训练]

（2015·山西考前质量检测）设函数f（x）＝|x－3|＋|2x－4|－a.

（1）当a＝6时，求不等式f（x）>0的解集；

（2）如果关于x的不等式f（x）<0的解集不是空集，求实数a的取值范围．

解析：

（1）当a＝6时，f（x）＝|x－3|＋|2x－4|－6，

由f（x）>0，可得或

或解得x<或x>.

故f（x）>0的解集为∪.

（2）∵|x－3|＋|2x－4|

|x－3|＋|2x－4|＝

∴（|x－3|＋|2x－4|）min＝1，∴a>1.

故实数a的取值范围为（1，＋∞）．

四、当堂检测

1．（2015·山东高考）不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是（　　）

A．（－∞，4）　　　　　　　　B．（－∞，1）

C．（1,4）D．（1,5）

解析：

选A　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1

∴x<4，∴1

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为（－∞，4），故选A.

2．（2014·安徽高考）若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）

A．5或8B．－1或5

C．－1或－4D．－4或8

解析：

选D　当a≥2时，f（x）＝

如图1可知，当x＝－时，f（x）min＝f＝－1＝3，

解得a＝8；

当a<2时，f（x）＝

如图2可知，当x＝－时，f（x）min＝f＝－＋1＝3，解得a＝－4.综上可知，答案为D.

3．（2014·湖南高考）若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.

解析：

由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即解得a＝－3.

答案：

－3

4．（2015·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解：

（1）当a＝1时，

f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－10，

解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为.

（2）由题设可得f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>6，故a>2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

5．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

解：

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）可化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则

y＝

其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a.

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈都成立．

故－≥a－2，即a≤.

从而a的取值范围是.

6．（2013·辽宁高考）已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

解：

（1）当a＝2时，f（x）＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，

解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|，得2x－6≥4，

解得x≥5.

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，解得≤x≤.

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以于是a＝3.

五、归纳小结

1．绝对值三角不等式

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：

（2）|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法：

（3）|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法：

六、日日清：

A组、专练经典模拟

1．（2016·忻州模拟）已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

（1）求m＋n的值；

（2）若|x－a|

|x|<|a|＋1.

解：

（1）由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

得1≤x≤2，

∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.

（2）证明：

若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.

2．（2016·沈阳质检）设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）若f（x）＋3|x－4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

解：

（1）当x≥4时，f（x）＝2x＋1－（x－4）＝x＋5＞0,

得x＞－5，所以x≥4.

当－≤x＜4时，f（x）＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0，

得x＞1，所以1＜x＜4.

当x＜－时，f（x）＝－x－5＞0，得x＜－5，所以x＜－5.

综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜－5}．

（2）f（x）＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|

≥|2x＋1－（2x－8）|＝9，

当－≤x≤4时等号成立，

所以m＜9，即实数m的取值范围是（－∞，9）．

3．（2016·南宁二模）已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）若f（x）≤m的解集为，求实数a，m的值；

（2）当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）．

解：

（1）∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.

∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，

∴a＝2，m＝3.

（2）f（x）＋t≥f（x＋2）可化为|x－2|＋t≥|x|.

当x∈（－∞，0）时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，

∵0≤t≤2，∴x∈（－∞，0）；

当x∈[0,2）时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，

∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；

当x∈[2，＋∞）时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞）．

∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；

当t＝2时原不等式的解集为[2，＋∞）．

4．（2015·大同调研）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x－2a|.

（1）当a＝1时，求f（x）≤3的解集；

（2）当x∈[1,2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝1时，由f（x）≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，

∴①或②

或③

解①得0≤x＜；解②得≤x＜2；解③得x＝2.

综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]．

（2）∵当x∈[1,2]时，f（x）≤3恒成立，

即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，

故2x－4≤2a－x≤4－2x，即3x－4≤2a≤4－x.

再根据3x－4的最大值为6－4＝2,4－x的最小值为4－2＝2，

∴2a＝2，∴a＝1，

即a的取值范围为{1}．

B组、专练思维规范

1．（2016·唐山模拟）已知函数f（x）＝|2x－a|＋|x＋1|.

（1）当a＝1时，解不等式f（x）<3；

（2）若f（x）的最小值为1，求a的值．

解：

（1）因为f（x）＝|2x－1|＋|x＋1|＝且f

（1）＝f（－1）＝3，

所以f（x）<3的解集为{x|－1

（2）|2x－a|＋|x＋1|＝＋|x＋1|＋≥＋0＝，

当且仅当（x＋1）≤0且x－＝0时，取等号．

所以＝1，

解得a＝－4或0.

2．已知函数f（x）＝|3x＋2|.

（1）解不等式f（x）<4－|x－1|；

（2）已知m＋n＝1（m，n>0），若|x－a|－f（x）≤＋（a>0）恒成立，求实数a的取值范围．

解：

（1）不等式f（x）<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.

当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，

解得－

当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，

解得－≤x<；

当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

综上所述，x∈.

（2）＋＝（m＋n）＝1＋1＋＋≥4，

当且仅当m＝n＝时等号成立．

令g（x）＝|x－a|－f（x）＝|x－a|－|3x＋2|＝

∴x＝－时，g（x）max＝＋a，

要使不等式恒成立，

只需g（x）max＝＋a≤4，即0

所以实数a的取值范围是.

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