傅里叶变换公式.docx
《傅里叶变换公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换公式.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
傅里叶变换公式
第2章信号分析
本章提要
信号分类
周期信号分析--傅里叶级数
非周期信号分析--傅里叶变换
脉冲函数及其性质
信号：
反映研究对象状态和运动特征的物理量
信号分析：
从信号中提取有用信息的方
法和手段
2－1信号的分类
•两大类：
确定性信号，非确定性信号
进一步分为：
周期信号，非周期信号。
•按取值情况分类：
模拟信号，离散
信号
数字信号：
属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。
•信号描述方法
时域描述
如简谐信号
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方法：
将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
§2-2周期信号与离散频谱
-、周期信号傅里叶级数的三角函数形式
•周期信号时域表达式
x（t}=x（t+厂）=x（t+2T）=…=x（t+nT}
（77二±1,±2,…）
T:
周期。
注意n的取值：
周期信号无始无终
•傅里叶级数的三角函数展开式
n=1,2,3,…）
傅立叶系数:
式中T周期；3。
--基频,cdQ=2冗T
•三角函数展开式的另一种形式:
aV）=%+工Acos（0丿
二±:
&=J町+b；
-b叭二arctg—-
门=b2,3,-
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和
--谐波分析法
•频谱图
、匕
•周期信号的频谱三个特点：
离散性、谐波性、收敛，
•例1:
求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图
解:
解:
傅里叶系数
4sin[1一cos11兀
屈+b；十
T
\x{t}sin门少0伍f
2
4L-P
7Jo
n为偶数
n次谐波的幅值和相角
4>4
一化
n兀
（11=135
最后得傅立叶级数
L44兀
（72=1,3,5,…）
X（t）=C0S（Z7%f-—
nIM2
频谱图
f
幅频谱
图相频谱
图
周期信号傅里叶级数的复指数形式
亠、
欧拉公式
e兰®F=cosQf±7sinwt
傅立叶级数的复指数形式
•复数傅里叶系数的表达式
日打_jbnq=
=丄眉心）严％
T9
其中an,bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。
亠般cn是个复数。
因为an是n的偶函数,bn是n的奇函数，
因此#
即：
实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭。
•cn的复指数形式
共轭性还可以表示为
•傅立叶级数复指数也描述信号频率结
构。
它与三角函数形式的关系
对于n>0
+D_令
2-2
模的
（与三角函数形式中的相角相等）
LJ
•用cn画频谱：
双边频谱
#
§2-3非周期信号与连续频谱分两类：
定义：
由没有公共周期（频率）的周期信号组成频谱特性：
离散性判断方法：
周期分量的频率比（或周期比）不是有理数
b.瞬变非周期信号
几种瞬变非周期信号
数学描述：
傅里叶变换
、傅里叶变换
式（2.22）借助（2.16）演变成:
定义x（t的傅里叶变换X（3
X3的傅里叶反变换X（t：
x（r）=——fx/u）"®/少
J-30
•傅里叶变换的频谱意义：
一个非周期信号可以分解为角频率连续变化的无数谐波
——X（e）e泅d®
2兀
的叠加。
称x（其为函数x（t的频谱密度函数。
•对应关系：
X（描述了x（t的频率结构
X（的指数形式为
•以频率f（Hz为自变量，因为二w/（2P，得
x（t）=fX（门ftdf
J—Xi
x（f的指数形式
•频谱图
幅值频谱图和相位频谱图:
O
角为
实频谱图ReX（3和虚频谱图lm（3如果x（是实函数，可用一张x（图表示负值理解为幅值为x（的绝对值，相”或7。
傅里叶变换的主要性质
叠加性
纠刍⑴+日2®⑺丄T%X]（f）+日2兀（/）
对称性
（注意翻转）
时移性质
（幅值不变，相位随f改变塑ftO）（四）频移性质
X仃）血X（f+4）
（五）时间尺度改变特性
t__J
（六）微分性质
（1）卷积定义
x（f）*xo=
TO
x（r）Xr-r）c/r
*—gc
（2）卷积定理
40*x（CY（f）
双f）y（f）—Jx（o*y（0
、脉冲函数及其频谱
（一）脉冲函数:
定义函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值:
5（f）=w
脉冲强度（面积）
fS（t）dt=\
J--X
（二）脉冲函数的样质
1・脉冲函数的采性（相乘）样质：
函数值:
强度:
结论：
1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t在脉冲发生时刻的函数值
2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
CD
x（f）宰5（f）=Jx{t}S（f-r）cZr
0D
x（f）*5（r-G）=fx（T）S{t-t^-T）dT
=双f-4）5（f—f。
一r）
（三）脉冲函数的频谱
>A{f）=f5⑴尹S"
J-X
均匀幅值谱
由此导出的其他3个结果
5（f±f（J—Te士八叭
（利用时移性质）
J5（-C=6（f）
（利用对称性
质）
-（对上式，再用频移性质）
（四）正弦函数和余弦函数的频谱
cos2JI
十小+宀如D+A（r）
sin2兀/?
近“宀1十
（一）十7）
升级会员 