考研数学真题(数一).doc

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:

1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1、设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（）

（A）（B）

（C）（D）

3、若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：

（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点

（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点

4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则

（A）（B）

（C）（D）

5、设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为

（A）（B）

（C）（D）

6、设二次型在正交变换下的标准形为，其中

，若，则在正交变换下的标准形为

（A）（B）

（C）（D）

7、若为任意两个随机事件，则

（A）（B）

（C）（D）

8、设随机变量不相关，且则

（A）-3（B）3（C）-5（D）5

二、填空题：

9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9、

10、

11、若函数由方程确定，则.

12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则

13、n阶行列式

14、设二维随机变量服从正态分布，则.

三、解答题：

15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

设函数，，若与在是等价无穷小，求，，值。

16、（本题满分10分）

设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4，且，求的表达式.

17、（本题满分10分）

已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.

18、（本题满分10分）

（Ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明

（Ⅱ）设函数可导，写出的求导公式.

19、（本题满分10分）

已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分

20、（本题满分11分）

设向量组是3维向量空间的一个基，，，。

（Ⅰ）证明向量组是的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求出所有的。

21、（本题满分11分）

设矩阵相似于矩阵.

（Ⅰ）求的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角阵.

22、（本题满分11分）

设随机变量的概率密度为

对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数.

（Ⅰ）求的概率分布；

（Ⅱ）求.

23、（本题满分11分）

设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

（Ⅰ）求的矩估计.

（Ⅱ）求的最大似然估计.

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