(完整)空间解析几何与向量代数习题与答案.doc
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（完整）空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间解析几何与向量代数
A
一、
1、平行于向量的单位向量为______________。
2、设已知两点，计算向量的模，方向余弦和方向角.
3、设，求向量在x轴上的投影,及在y轴上的分向量。
二、
1、设,求
（1）（3）a、b的夹角的余弦.
2、知，求与同时垂直的单位向量。
3、设，问满足_________时，。
三、
1、以点（1，3，—2）为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________。
2、方程表示______________曲面。
3、1）将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为__
_____________,曲面名称为___________________。
2）将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程
_____________，曲面名称为___________________。
3）将xOy坐标面上的绕x轴及y轴旋转一周,生成的曲面方
程为_____________，曲面名称为_____________________.
4）在平面解析几何中表示____________图形。
在空间解析几何中
表示______________图形。
5）画出下列方程所表示的曲面
（1）
（2）
四、
1、指出方程组在平面解析几何中表示____________图形，在空间解
析几何中表示______________图形.
2、求球面与平面的交线在xOy面上的投影方程.
3、求上半球与圆柱体的公共部分在
xOy面及xOz面上的投影。
五、
1、求过点（3,0，-1）且与平面3x—7y+5z-12=0平行的平面方程.
2、求过点（1，1，-1）,且平行于向量a=（2,1,1）和b=（1,—1，0）的平面方程.
3、求平行于xOz面且过点（2，—5,3）的平面方程.
4、求平行于x轴且过两点（4，0，—2）和（5，1,7）的平面方程。
六、
1、求过点（1,2,3）且平行于直线的直线方程。
2、求过点（0,2，4）且与两平面，平行的直线方程.
3、求过点（2，0，-3）且与直线垂直的平面方程.
4、求过点（3，1,-2）且通过直线的平面方程。
5、求直线与平面的夹角。
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
1）直线与直线；
2）直线和平面x+y+z=3.
7、求点（3，—1,2）到直线的距离。
B
1、已知（为非零矢量），试证:
。
2、。
3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模最小？
并证明此时.
4、求单位向量，使且轴，其中。
5、求过轴,且与平面的夹角为的平面方程.
6、求过点，，且垂直于的平面.
7、求过直线,且与直线：
平行的平面.
8、求在平面:
上,且与直线垂直相交的直线方程。
9、设质量为的物体从空间点，移动到点,计算重力所做的功（长度单位为）.
10、求曲线在坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？
11、已知，求的面积
12、.求直线在平面上的投影直线方程.
C
1、设向量有相同起点，且，其中，不全为零，证明:
终点共线.
2、求过点，且与直线：
相交成角的直线方程.
3、过且平行于平面又与直线相交的直线方程。
4、求两直线:
与直线：
的最短距离.
5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点,半径为1）,母线平行于向量,求此柱面方程.
6、设向量a,b非零，，求。
7、求直线绕y轴旋转一周所围成曲面方程。
第七章空间解析几何与向量代数
习题答案
A
一、1、
2、=2,，
3、在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j
二、1、1）
（2），
（3）
2、
即为所求单位向量。
3、
三、1、
2、以（1，-2,—1）为球心,半径为的球面
3、1），旋转抛物面,球面
3）绕x轴：
旋转双叶双曲面
绕y轴：
旋转单叶双曲面
4、抛物线,抛物柱面
5、
四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
2、
3、在xoy面的投影为：
在xOz面的投影为：
五、1、2、
3、4、
六、1、2、
3、4、
5、06、1）垂直2）直线在平面上7、
B
1、证明思路：
，
即，又,
同理得
2、思路：
.答案:
3、思路
该式为关于的一个2次方程，求其最小值即可.答案:
4、思路：
取，则。
答案:
5、思路：
平面过轴，不妨设平面方程为，则，又（
不全为）
答案：
所求平面方程为或
6、法一：
，所求平面法向量，且
取
又平面过点，则平面方程为
解法2.在平面上任取一点，则和共面，由三向量共面的充要条件得，整理得所求平面方程
7、思路：
用平面束。
设过直线的平面束方程为
答案：
平面方程为
8、思路:
求交点，过交点且垂直于已知直线的平面为。
答案：
9、思路：
重力的方向可看作与向量方向相反
答案：
10、思路：
先求投影柱面方程,答案：
原曲线在面上的投影曲线方程为
.原曲线是由旋转抛物面被平面所截的抛物线。
11、思路：
，答案:
12、思路：
利用平面束方程。
答案
C
1、证明：
设,,,根据三角形法则。
则,，。
根据条件不全为,不妨设，则
即与共线。
点在一条直线上。
2、解：
在已知直线上任取两点，,则向量
则构造直线束方程：
表示过点且与已知直线共面的所有直线。
根据已知条件：
当与成角时，有，即，
所求直线方程为.
3、解:
设所求直线方程为
所求直线与已知平面平行，则
（1）
又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点，则
在平面上.三向量共面,得，
即
（2）
由
（1）
（2），得所求直线方程:
4、解：
已知两直线的方向向量为，故垂直于两方向向量的向量可取为，又点在直线上
过直线且平行于的平面为，即,又点在直线上，该点到平面的距离
为所求两直线间的最短距离.
5、解：
设柱面上任意一点，过作平行于向量的母线且准线相交于
又，即，,，。
又在圆上，
即
6、解：
7、解：
对旋转曲面上任一点P（x，y,z），过P作平面垂直y轴，与y轴的交点为B（0,y,0），与L的交点为Q（）。
因为，所以
又因为Q在L上，所以，代入得
。
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