初一数学一题多解.docx
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初一数学一题多解
初一数学一题多解
例题一、如图1,已知AB//CD,试找出B∠、BED∠和D∠的关系并证明。
我们找出他们的关系是:
DBBED∠+∠=∠。
证明如下:
方法一:
如图2,过点E作EF//AB。
因为EFAB//,所以BBEF∠=∠;因为CDAB//,EFAB//,所以CDEF//,所以DFED∠=∠,所以DBFEDBEFBED∠+∠=∠+∠=∠。
方法二:
如图3,过点E作EF//AB。
因为EFAB//,所以180=∠+∠BBEF,即BBEF∠-=∠180;因为CDAB//,
EFAB//,所以CDEF//,所以180=∠+∠DFED,即DFED∠-=∠180;因为︒=∠+∠+∠360FEDBEDBEF,所以）180180（360）（360DBFEDBEFBED∠-+∠--=∠+∠-=∠︒︒DB∠+∠=。
方法三:
如图4,连接BD。
因为CDAB//,所以180=∠+∠BDCABD,即
）（180EDBEBDEDCABE∠+∠-=∠+∠;在ΔBED,）（180EDBEBDBED∠+∠-=∠,所以EDCABEBED∠+∠=∠。
方法四:
如图5,过点E做ABFG⊥,垂足为点F,交CD于点G。
因为CDAB//,
所以90180=∠-=∠EFBEGD;在直角ΔEGD,DGED∠-=∠90,在直角ΔEFB
BFEB∠-=∠90,所以
）9090（180）（180BDFEBGEDBED∠-+∠--=∠+∠-=∠DB∠+∠=。
方法五:
如图6,延长BE交CD于点F。
因为CDAB//,所以BEFD∠=∠;在ΔEFD,FEDDEFD∠-=∠+∠180,又因为FEDBED∠-=∠180,所以
DBD
E
FDBED∠+∠=∠+∠=∠。
例题二、证明:
如果一个三角形一边上的线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
已知:
如图1,在△ABC,AD=BD=CD.
求证:
△ABC是直角三角形.证法1如图1,利用两锐角互余.∵AD=CD,CD=BD,∴∠1=∠A,∠2=∠B。
在△ABC,∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°,∴2（∠A+∠B）=180°,∴∠A+∠B=90°,
∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形。
证法2如图2,利用等腰三角形的三线合一.
延长AC到E使CE=AC,连接BE.∵AD=BD,
∴CD是△ABE的位线.
∴BE2
1
CD=。
∵AB2
1
CD=
∴AB=BE.
∴BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.
证法3如图3,利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）.
过点D作DE⊥BC交BC于点E.
∴CD=BD,
∴BC21
BE=,
∴
2
1
ABBDBCBE==,∵∠B是公共角,∴△BDE∽△BAC。
∴∠ACB=∠DEB=90°,∴△ABC是直角三角形。
证法4如图4,利用如果一条直线垂直于两平行线的一条,则也垂直于另一条.
取BC点E,连接DE.
∵AD=BD,∴DE是△ABC的位线.∴DE∥AC.∵CD=BD,CE=BE,∴DE⊥BC.
∴AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形.
证法5如图5,构造四边形,并证其为矩形.
延长CD到E使DE=CD,连接AE、BE.∵AD=BD=CD.
∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE.∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.证法6如图6,利用勾股定理的逆定理.
设AC=b,BC=a,AB=c,取BC点E,连接DE.∴DE是△ABC的位线.
∴b21
AC21DE==。
∵CD=BD,∴DE⊥BC。
在Rt△DEB,∵222BDBEDE=+,∴2
2
2
c21a21b21⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛。
∴222cba=+,∴△ABC是直角三角形。
证法7如图7,利用两直线平行,再证同旁内角相等。
延长CD到E使DE=CD,连接BE。
∵AD=BD,∠1=∠2,∴△ADC≌△BDE（SAS）,∴∠ACD=∠E,AC=BE,∴AC∥BE,
∴∠ACB+∠EBC=180°。
又∵AD=CD,∴AB=CE。
∵BC是公共边,
∴△ACB≌△EBC（SSS）。
∴∠ACB=∠EBC。
∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形。
证法8如图8,利用直径所对的圆周角是直角。
以D为圆心,DA长为半径作圆。
∵AD=BD=CD,
∴点C、B在圆上,AB是直径。
∴∠ACB=90°。
∴△ABC是直角三角形。
例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元,如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个,共需多少钱?
这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数,看似不可解,但由于所求的并不是每一个未知数的值,而是一个代数式的值。
所以可解。
这类题对学生来说是有一些难度的,但如果掌握了以下方法,既可以化繁为简,又可以收到一题多解,提高学生能力的效果。
下面让我们先来列出方程。
设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元,则根据题意,可得方程
⎩
⎨
⎧=++=++20.334225
.99513zyxzyx,求zyx++的值。
解法一:
变元法:
把z看成常数,解关于x、y的方程,可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=2010112
1zyzx
然后代入所求式zyx++,得:
05.120
101121=+-+-=
++zz
zzyx答:
只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个,共需1.05元。
解法二:
直接构造法:
因为题目要求zyx++的值,所以将原方程互助组变形直接构造出zyx++。
⎩
⎨⎧=--++=++++⇔⎩⎨
⎧=++=++20.32）（425
.948）（520.334225.99513zxzyxzxzyxzyxzyx②⨯4+①得05.22）（21=++zyx
05.1=++∴zyx
答:
略
解法三:
间接构造法:
将原方程组的①两边同乘以常数a,②的两边同乘以常数b,得
⎩⎨⎧=++=++b
bzbybxaazayax20.334225.99513①+②得bazbaybaxba20.325.9）39（）45（）213（+=+++++
∵我们想要求的代数式是x+y+z,
∴令bababa3945213+=+=+
可得a=1,b=4,代入上式得21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05
∴x+y+z=1.05
例题四、三角形一题多解
如图:
已知AB=AC,E是AC延长线上一点,且有BF=CE,连接FE交BC于D。
求证:
FD=DE。
证法一
证明:
过E点作EM∥AB交DC延长线于M点,则∠M=∠B,又因为∠ACB=
∠B
∠ACB=∠ECM=∠M,所以CE=EM,又EC=BF从而EM=BF,∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME,故FD=DE;
证法二
证明:
过E点作EM∥AB交DC延长线于M点,则∠M=∠B,又因
为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M,所以CE=EM,又EC=BF从而EM=BF,∠
BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME,故FD=DE;
证法二
证明:
过F点作FM∥AE,交BD于点M,
则∠1=∠2=∠B所以BF=FM,
又∠4=∠3∠5=∠E
所以△DMF≌△DCE,故FD=DE。
例题五、平行四边形一题多解如图4,平行四边形ABCDAD=2AB,E、F在直线AB上,且
AE=BF=AB,求证:
DF⊥CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形,故∠1=∠F,∠2=
∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F,∠4=∠E,从而∠1=∠3,∠2=∠4
而
∠
1+∠2+∠
3+∠
4=1800,故∠3+∠4=900,表明∠COD=900
所以DF
⊥CE。
证法二、如图5,连接MN,则CD=BF,且CD∥BF,故BFCD为平行
四边形,则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM,得平行四
边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN也是菱形,根据菱形的对角线互相垂
直,结论成立。
证法三、如图6,连接BM
、AN,可证ΔAFN,BN=BF=BA,则ΔAFN
为直角三角形,即DF⊥AN,利用位线定理可知AN∥CE,故DF⊥CE。
证法四、如图7,作DG∥
CE交AE延长线于G,则EG=CD=AB=AE,故
AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE
例题六、如图所示,一个长为a,宽为b的矩形,两个
阴影都是长为c的矩形与平行四边形,则阴影部分面
积是多少。
解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行转换。
（a-c）（b-c）
解法二
重叠面积为c的平方,大矩形面积为ab,小矩形为ac,平行四边形为bc,阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）
图2
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