同位角内错角同旁内角及平行证明.docx

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同位角内错角同旁内角及平行证明

同位角、内错角、同旁内角及平行证明

同位角、内错角、同旁内角

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1.“三线八角”模型

直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

图1

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2.同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：

像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：

像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：

像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

（1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

（2）“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

要点二、同位角、内错角、同旁内角位

置特征及形状特征

要点诠释：

巧妙识别三线八角的两种方法：

（1）巧记口诀来识别：

一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

（2）借助方位来识别,根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

同位角、内错角、同旁内角测试题

A卷

一、填空题

1.如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。

2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。

3.如图3，∠1的内错角是，∠A的同位角是，∠B的同旁内角是。

4.如图4，和∠1构成内错角的角有个；和∠1构成同位角的角有

个；和∠1构成同旁内角的角有个。

5.如图5，指出同位角是，内错角是，同旁内角是。

二、选择题

6.如图6，和∠1互为同位角的是（）

（A）∠2；（B）∠3；

（C）∠4；（D）∠5。

7.如图7，已知∠1与∠2是内错角，则下列表达正确的是（）

（A）由直线AD、AC被CE所截而得到的；

（B）由直线AD、AC被BD所截而得到的；

（C）由直线DA、DB被CE所截而得到的；

（D）由直线DA、DB被AC所截而得到的。

8.在图8中1和2是同位角的有（）

（A）

（1）、

（2）；（B）

（2）、（3）；（C）

（1）、（3）；（D）

（2）、（4）。

9.如图9，在指明的角中，下列说法不正确的是（）

（A）同位角有2对；（B）同旁内角有5对；

（C）内错角有4对；（D）∠1和∠4不是内错角。

10.如图10，则图中共有（）对内错角

（A）3；（B）4；（C）5；（D）6。

B卷

一、填空题

1.如图1，∠1和∠2可以看作直线和直线被直线所截得的

角。

2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。

3.如图3，直线DE、BC被直线AC所截得的内错角是；∠B与∠C可以看作直线、被直线所截得的角。

4.如图4，与∠EFC构成内错角的是；与∠EFC构成同旁内角的是。

5.如图5，与∠1构成内错角的角有个；与∠1构成同位角的角有个；与∠1构成同旁内角的角有个。

二、选择题

6.如图6，与∠C互为同位角的是（）

（A）∠1；（B）∠2；（C）∠3；（D）∠4。

7.在图7，∠1和2是对顶角的是（）

8.如图8，

（1）∠1与∠4是内错角；

（2）∠1与∠2是同位角；

（3）∠2与∠4是内错角；（4）∠4与∠5是同旁内角；

（5）∠3与∠4是同位角；（6）∠2与∠5是内错角。

其中正确的共有（）

（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个。

9.如图9，下列说法错误的是（）

（A）∠3与∠A是同位角；（B）∠B是∠A是同旁内角；

（C）∠2与∠3是内错角；（D）∠2与∠B是内错角。

10.如图10，AB、CD、EF三条直线两两相交，则图中共有（）同位角。

（A）12对（B）8对；（C）4对；（D）以上都不对。

平行线的证明

要点一、定义、命题及证明

1.定义：

一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：

判断一件事情的句子，叫做命题.

要点诠释：

（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）公认的真命题叫做公理.

（4）经过证明的真命题称为定理.

3.证明:

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.

要点诠释：

（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：

同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

内错角相等，两直线平行．

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：

在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于180°．

推论：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

要点诠释：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.

如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.

举一反三：

【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）.

A．直线的公理B．直线的公理或线段最短公理C．线段最短公理D．平行公理

【变式2】下列命题真命题是（）.

A．互补的两个角不相等B．相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点的两个角是对顶角D．同角或等角的补角相等

2.叙述并证明三角形内角和定理．

要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．

类型二、平行线的判定与性质

3.（佳木斯中考）如图所示，请你填写一个适当的条件：

________，使AD∥BC．

4.如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？

并说明理由.

举一反三：

【变式】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示.

6.已知：

如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上的一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：

∠EGH＞∠ADE

【变式】在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.