高考数学全国卷含答案解析.docx
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高考数学全国卷含答案解析
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共
12
小题，每小题
5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
i
，则
|z|
1．设z
2i
1
i
A．0
B．1
C．1
D．2
2
2．已知集合A
xx2
x20，则eRA
A．x1x2
B．x1x2
C．x|x
1
x|x2
D．x|x1
x|x2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番
.为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
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D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5
A．12B．10C．10D．12
5．设函数f（x）x3（a1）x2ax.若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0,0）处的切线方程为
A．y2xB．yxC．y2xD．yx
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=
A.3AB－1ACB.1AB－3AC
4444
C.3AB＋1ACD.1AB＋3AC
4444
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱
表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217
B．25
C．3
D．2
8．设抛物线C：
y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
2的直线与C交于M，N两点，则FMFN=
3
A．5
B．6
C．7
D．8
x，
x
，
9．已知函数
e
0
xa．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
f（x）
x
g（x）f（x）
，
，
lnx
0
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，
其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
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A．
p
=
p
B．
=
1
2
1
3
C．
p
2=3
D．
1=2+3
p
p
p
p
11．已知双曲线
：
x2
y
2
1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过
F的直线与C的两条渐近线的交点分
C
3
别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=
A．3
B．3
C．23
D．4
2
12．已知正方体的棱长为
1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的
最大值为
A．33
B．23
C．32
D．
3
4
3
4
2
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分，共20分。
x
2y
2
0
13．若x，y满足约束条件
x
y1
0
，则z3x
2y的最大值为_____________．
y
0
14．记Sn为数列an
的前n项和.若Sn
2an1，则S6
_____________．
15．从2位女生，4位男生中选
3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________
种．（用数字填写答案）
16．已知函数f
x
2sinx
sin2x，则fx的最小值是_____________．
三、解答题：
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第
22、23
题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，ADC
90，A
45，AB
2，BD5.
（1）求cosADB；
（2）若DC22，求BC.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C
到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：
平面PEF平面ABFD；
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（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19．（12分）
设椭圆C:
x2
y2
1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为（2,0）.
2
1
l
与
x
轴垂直时，求直线
AM的方程；
（）当
（2）设O为坐标原点，证明：
OMA
OMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱
200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
20件作检验，再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验，
设每件产品为不合格品的概率都为
p（0
p1），且各件产品是否为不合格品相
互独立．
（1）记20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f（p）,求f（p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了
20件，结果恰有
2
件不合格品，以（
1）中确定的p0
作为p的值．已知每
件产品的检验费用为
2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
25元的赔偿费
用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX;
（ii
）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数
1
x
alnx．
f（x）
x
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点
x1,x2，证明：
fx1
fx2
a2．
x1
x2
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（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程
]（10
分）
在直角坐标系
xOy中，曲线C1的方程为y
k|x|
2.以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C2
的极坐标方程为
2
2
cos
3
0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知f（x）|x1||ax1|.
（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；
（2）若x（0,1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围.
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参考答案：
123456789101112
CBABDABDCABA
13.6
14.
63
15.16
3
3
16.
2
17.（12
分）
BD
AB
解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得
Asin
.
sin
ADB
由题设知，
5
2
，所以sin
ADB
2
sin45
sinADB
.
5
由题设知，
ADB
90，所以cos
ADB
2
23
1
.
25
5
（2）由题设及
（1）知，cosBDC
sin
2
.
ADB
5
在△BCD中，由余弦定理得
BC2
BD2
DC2
2BDDCcos
BDC
25
8
2
5
2
2
2
5
25.
所以BC5.
18.（12分）
解：
（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由
（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
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由
（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3
.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得PH
3
3
EH
.
2
2
则H（0,0,0）,
P（0,0,
3）,D（
1,3,0）,DP
（1,3,
3）,HP
（0,0,
3）为平面ABFD的法向量.
2
2
2
2
2
HPDP
3
3
设DP与平面ABFD所成角为
，则sin|
|
4
.
|HP||DP|3
4
3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
4
19.（12分）
解：
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x=1.
由已知可得，点
A的坐标为（1,
2）或（1,
2）.
2
2
所以AM的方程为y
2x
2或y
2x
2.
2
2
（2）当l与x轴重合时，
OMA
OMB0.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以
OMA
OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设
l的方程为y
k（x
1）（k
0），A（x1,y1）,B（x2,y2），
则x1
2,x2
2
，直线MA，MB的斜率之和为kMA
kMB
y1
y2
.
x12
x22
由y1
kx1k,y2
kx2
k得
kMA
kMB
2kx1x2
3k（x1
x2）
4k
（x1
2）（x2
2）
.
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将yk（x1）代入x2
y2
1得
2
（2k2
1）x2
4k2x2k2
2
0.
所以，x1
4k
2
2k2
2
x2
2
x1x2
2k2
.
2k
1
1
则2kx1x2
3k（x1
x2）
4k
4k3
4k12k3
8k3
4k
.
2k2
1
0
从而kMA
kMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以
OMA
OMB.
综上，
OMA
OMB.
20.（12分）
解：
（1）20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f（p）
C202p2（1
p）18
.因此
f（p）C202[2p（1
p）18
18p2（1
p）17]
2C202p（1
p）17（1
10p）.
令f（p）
0，得p
0.1.当p（0,0.1）时，f
（p）
0；当p
（0.1,1）时，f（p）0.
所以f（p）的最大值点为
p0
0.1.
（2）由
（1）知，p0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:
B（180,0.1），X20225Y，
即X4025Y.
所以EX
E（4025Y）40
25EY490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX
400，故应该对余下的产品作检验.
21.（12分）
解:
（1）f（x）的定义域为（0,
1
a
x2
ax1
.
），f（x）
1
x2
x2
x
（i）若a
2，则f（x）0，当且仅当a2，x
1时f
（x）
0，所以f（x）在（0,
）单调递减.
（ii）若a
2，令f（x）
0
aa2
4
a
a2
4
得，x
或x
2
.
2
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当x
（0,a
a2
4）U（a
a2
4,
）时，f（x）
0；
2
2
当x
（a
a2
4,a
a2
4）时，f（x）
0.所以f（x）在（0,a
a2
4）,（a
a2
4,
）单
2
2
2
2
调递减，在（a
a2
4,a
a2
4）单调递增.
2
2
（2）由
（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当
a2.
由于f（x）的两个极值点
x1,x2满足x2
ax
1
0
，所以x1x21，不妨设x1
x2，则x2
1
.由于
f（x1）
f（x2）
1
1
alnx1
lnx2
2
alnx1
lnx2
2
a
2ln
x2，
x1
x2
x1x2
x1
x2
x1
x2
1
x2
x2
所以f（x1）
f（x2）
a
2
等价于1
x2
2lnx20.
x1
x2
x2
设函数g（x）
1
x
2lnx，由
（1）知，g（x）在（0,
）单调递减，又g
（1）
0，从而当x
（1,
）
x
时，g（x）
0.
所以1
x2
2ln
x2
0，即f（x1）
f（x2）
a
2.
x2
x1
x2
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程
]（10
分）
解:
（1）由x
cos
，y
sin
得C2的直角坐标方程为（x
1）2
y2
4．
（2）由
（1）知C2是圆心为A（1,0）
，半径为
2的圆．
由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为
l1，y轴左边的射线为
l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于
l1与C2只有一个公共点且
l2与C2有
两个公共点，或
l2与C2只有一个公共点且
l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，
|
k
2|
2，故k
4
或k
0．
A到l1所在直线
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